(i) Notera att areorna A och C tillsammans utgör halva lilla cirkeln, det vill säga halva cirkeln med diameter 1. Den har area pi*((½)^2)/2. Samma gäller A och D, A+D=pi*((½)^2)/2=pi/8.
Å andra sidan utgör A+B+C+D en kvarts stor cirkel, således A+B+C+D=pi*(1^2)/4=pi/4. Vi ser att arean för den stora kvartscirkeln är dubbelt så stor som areorna för de små halvorna.
Således har vi A+B+C+D=(A+C)+(A+B), och subtraher vi A, B och C på båda sidor av likheten, så får vi A=B. Notera att vi nu inte har bestämt själva areorna, utan bara hur A och B förhåller sig.
(ii)
Om man ritar ut den små (röda) cirklarna, syns det tydligare vad som händer. Den gröna punkten är skärningspunkten mellan tangentlinjer (svarta) till cirklarna, som då måste bilda 90° vid skärningen. Då är vinkeln mellan de två röda cirklarna också 90°.
Då vet vi att också de blåa tangentlinjerna skär varandra i vinkeln 90°. Det kan också ses av symmstriskäl. Från den gröna och från den blåa punktens perspektiv måste allting vara symmetriskt. Alltså bildas en kvadrat rektangel i mitten av bilden (en kvadrat egentligen), eftersom igen, av symmetriskäl så måste återstående två vinklarna vara lika och då måste de vara 90° också.
Nu finns olika sätt att bestämma arean A och jag gör det med liknande metod som i (i).
Vi har att A+x=pi/16, en kvart av en cirkel med radie ½. A+x+x=1/4, arean av kvadraten. Alltså är x=1/4-pi/16. Och då måste A=pi/16-(1/4-pi/16)=pi/8-1/4.
