radie – Mattebloggen

Grattis på pidagen!

Rekommenderad från: 17 år

Förkunskaper: radianer, transformationer.

[kkratings]

Ett lejon springer runt på en rund cirkusarena, som har radien 10 m. Lejonets bana består av raka streck och i slutändan springer han 30 km. Visa att summan av alla vinklar, som lejonet svängde under springturen, är minst 2998 radianer.

Källa: Kvant magazine

Visa lösningen

Säg att $x_1, x_2,\ldots,x_n$ är sträckorna som lejonet springer på, medan $v_1,v_2,\ldots,v_{n-1}$ är vinklarna som han svänger på. Betrakta lejonets bana på följande sätt.

Låt han springa sträckan $AA_1$ med längden $x_1$ . Rotera då arenan kring lejonet, det vill säga punkten $A_1$ , med vinkeln $v_1$ , på så sätt att sträckan $x_2$ blir en fortsättning på sträckan $x_1$ . Efter att lejonet sprunget sträckan $A_1A_2=x_2$ , rotera arenan med vinkeln $v_2$ , så att $x_3$ utgör fortsättningen utav $x_2$ , och så vidare. I så fall springer lejonet rakt fram hela tiden och totalt sett springer han sträckan $AA_n$ , som är 30000 meter lång.

Hur arenans mittpunkt $O$ rört sig under tiden? Först roterar $O$ kring punkten $A_1$ med vinkeln $v_1$ , sedan kring $A_2$ med vinkeln $v_2$ och så fortsätter det på samma sätt. $O$ är aldrig längre bort än 10 meter från rotationens centrum, eftersom rotationens centrum är lejonet, som alltid befinner sig inuti arenan. Därför kommer $O$ som mest flyttast $v_1\cdot 10 m$ vid första rotationen, $v_1\cdot 10 m$ vid andra och så vidare (om $v_i$ mäts i radianer). Så $O$ kommer maximalt att flyttas $(v_1+v_2+\ldots+v_{n-1})\cdot 10 m$ . Alltså: