Syskon (1 poäng). I en familj finns sex barn. Fem av barnen är 2, 6, 8, 12 respektive 14 år äldre än det minsta barnet. Alla åldrarna i familjen är primtal. Hur gammalt är det minsta barnet?
Primtal
Ett primtal är ett positivt heltal som har exakt två delare: 1 och talet självt.
Till exempel är 2, 3, 5 och 7 primtal.
Men 1, 4, 6, 8 och 9 är inte primtal: 1 har endast en delare (1), 4 har tre delare (1, 2, 4), 6 har fyra delare (1, 2, 3, 6), 8 har fyra delare (1, 2, 4, 8) och 9 har tre delare (1, 3, 9).
Sannolikheter (3 poäng). Två vänner singlar slant: den första singlar 10 gånger och den andra singlar 11 gånger. Hur stor är sannolikheten att den andra vännen får klave fler gånger än den första vännen?
Visa lösningar
Syskon (Thomas lösning):
6 är kongruent med 1 modulo 5
8 är kongruent med 3 modulo 5
12 är kongruent med 2 modulo 5
14 är kongruent med 4 modulo 5
Så om det minsta barnets ålder inte är kongruent med 0 modulo 5 kommer något av de fyra äldsta barnens ålder vara det, och de är alla äldre än 5 år, så då skulle deras ålder inte vara ett primtal. Så det minsta barnet måste ha en ålder som är kongruent med 0 modulo 5, och 5 är det enda primtalet med den egenskapen.
De äldre barnen blir då 7, 11, 13, 17 och 19, som alla är primtal.
Sannolikheter (Davids lösning): Svaret är 1/2. Vi vet att den andra antingen får fler klave eller fler krona, men inte båda.
Alltså P(fler klave)+P(fler krona)=1. Men P(fler klave)=P(fler krona) av symmetriskäl, så sannolikheten är 1/2.
