Det Stora och det Lilla Riket är båda rektangulära öar och uppdelade i rektangulära landskap. I varje landskap finns en väg som går längs med en av diagonalerna. På varje ö bildar vägarna en sluten rutt, som inte går igenom någon punkt flera gånger. På bilden ser du det Lilla Riket, som har 6 landskap:
Det Stora Riket har däremot ett udda antal landskap. Hur många landskap kan det Stora Riket som minst ha?
Låt oss bevisa att 7 eller färre landskap är omöjligt att konstruera.
Vi ser att alla diagonaler kan delas upp i två sorter: De som går från övre vänstra hörnet till nedre högra hörnet, samt de som går från nedre vänstra hörnet till övre högra hörnet. Om man har ett udda antal landskap att gå igenom och vägen går runt, så måste det någonstans finnas två diagonaler av samma typ i rad.
Säg till exempel att AB och BC är två diagonaler av samma typ. Punkten B ligger någonstans inuti riket, inte på gränsen. Därför måste två landskap till ha B som ett av hörnen, vi målar dem i grått:
Eftersom den slutna rutten inte fick gå igenom samma punkt flera gånger innebär det att diagonalerna i de gråa landskapen inte går igenom B. Om vi ska kunna konstruera exempel med 7 landskap (och 7 vägar), så har vi tre vägar på oss att binda ihop rutten på bilden. Men det skulle innebära att minst en av vägarna behöver användas till att förbinda två av ändarna i de gråa landskapen, vilket är omöjligt. Därför fungerar det inte att konstruera ett sådant exempel.
