Mattebloggen

Flera av mina bekanta har berättat för mig vad deras första möte med riktiga matematiska bevis var. Och man märker kanske inte först att det man läser eller hör om är så kallade riktiga bevis, förrän man läser ordet ”bevis” explicit. De första sådana för var och en kunde ha varit bevis för Pythagoras sats, något induktionsbevis eller motsägelsebevis.

Här tänkte jag berätta om den mest klassiska klassikern av motsägelsebevis, nämligen att roten ur 2 är ett irrationellt tal.

Vad betyder irrationellt?

Ett irrationellt tal är ett tal som inte går att få med hjälp av naturliga tal 0, 1, 2, 3 …. och de aritmetiska operationerna +, -, * och /. Talen som däremot går att få på det sättet kallas rationella, till exempel . Rationella tal kan alltså skrivas som bråk.

Irrationell och rationell är helt enkelt motsatser. På grund av den här negativa definitionen (det vill säga definiera något genom att använda ett ”inte”), är det naturligt med ett negativt bevis till påståendet (det vill säga motsägelsebevis).

Påstående: är ett irrationellt tal.

Tankegång: Vi skall alltså bevisa att inte är ett rationellt tal. Kan verka svårt först, vi kan ju inte riktigt testa alla möjligheter, alla bråk som överhuvudtaget går att få fram. T.ex. (bara ett exempel nu, helt onödigt för beviset!!!):

Är Nej, för då skulle deras kvadrater vara lika , vilket absolut inte är sant!

Men det finns oändligt många bråk, vi kan sitta och gissa bråk som är ungefär lika med roten ur 2 och sedan verifiera att de inte är exakt lika. Men bara för att vi inte kan hitta något bevisar inte att det inte finns!

Det är nu vi inser att det faktiskt skulle vara lättare att på något sätt testa alla möjligheter samtidigt. Med det menar jag att vi antar att det finns ett sådant bråk och vi sedan kommer fram till att det aldrig kan bli likhet med roten ur 2. Det är kärnan i alla så kallade motsägelsebevis: antag att det går (antag det positiva påståendet, det utan ”inte”) och kom fram till motsägelse.

Bevis: Antag att roten ur 2 är lika med något bråk. Förkorta bråket så långt det går, så att nämnaren och täljaren inte längre går att dela med samma heltal. Vi har alltså nu:

och a och b är heltal som inte har någon gemensam delare.

Som förut försöker vi kontrollera likheten genom att kvadrera:

,

så

.

Varför är denna likhet omöjligt då? Vi tar hjälp av talteori, läran om heltal och delbarheter.

Vänsterledet är ett jämnt tal, så högerledet, måste vara det också. Alltså går att dela med 2, dvs , där är ett heltal. Skriv om likheten:

.

MEN detta innebär ju att så med samma resonemang som förut får vi att är ett jämnt tal. Men nu kommer vi fram till motsägelse, eftersom i situtationen då både och är jämna går det faktiskt att förkorta bråket (med 2). Nu är vi faktiskt klara.

Vi blev klara så fort vi fick motsägelse i vår lösning. Det är därför det heter motsägelsebevis.

Eller en ekvivalent fråga: kan man lära sig matte med hjälp av spel?

Jag har lagt till en spelsida på bloggen med lite snodda småpussel. Syftet med detta är ännu oklart, men det fick mig att tänka på ovanstående frågor. Så nu menar jag alltså spel för en person, säg datorspel.

Kännetecken för spel är det interaktiva, det som just är kärnan i allt lärande.

Säg till exempel att ni skall förstå situationen ”kontinuerlig, men inte deriverbar (i en viss punkt)”. Någon säger till er att denna situation förekommer och ni försöker förstå varför detta är möjligt. Ni kommer kanske på själva eller oftast berättar läraren rakt av exemplet y=|x|, beloppfunktionen. Aha, nu är det klart hur det kan vara möjligt!

Något senare träffar ni på ett annat exempel, som den till höger. Och visst passar den och ni kanske kommer ihåg den i kort tid. Men om någon frågar er om en funktion som är kontinuerlig men inte differentierbar i alla punkter, så föreställer ni er först av allt y=|x|. Lite för att ni såg den först, men mest för att ni förstod den först.

Det kanske inte var ett jättebra exempel. Men fråga nästan vem som helst som har bevisat något. Om man bevisar någonting själv, men sedan får se ett snyggare och kortare bevis för samma sak, minns man ändå med all säkerhet sitt egna bevis, men inte det andra.

Därför är det helt avgörande för inlärningen hur mycket eleven själv får jobba.

Kan man då på något sätt få in matematikens lärdomar i ett spel? Vad är det man redan kan lära sig i existerande spel?

Tag sudoku till exempel. Brukar stå i tidningar ”träna din hjärna mha en sudoku varje dag” osv osv. Det sudoku egentligen tränar är:

1. Förmågan att se över mönstret och urskilja det viktiga, till exempel titta på alla 9:or och fylla i dem som saknas.

2. Tekniken ”systematisk fallundersökning”. Ifall det finns flera möjligheter för en viss siffra, så kanske man skriver en möjlighet lite smått i en ruta och försöker forsätta. Det viktiga här är att inte glömma alla fall.

3. Problemlösningförmågan ifall man löser svåra sudokun. Om man inte fuskar och läser på nätet så kanske man upptäcker en ny metod själv.

Det är inte mer än så. Det händer ännu mindre om man spelat på samma nivå länge.

Poängen med de spelen jag överhuvudtaget kan komma på är att de tränar ”skills” och inte lär ut någon kunskap/fakta. Mycket lättare är det för ämnet historia, många har lärt sig största delen spelandes Civilization och Europa Universalis och inte i skolan. Historia handlar per definition om människans interaktion.

Matematiken och andra naturvetenskaper är mycket mindre beroende av människan.

Ett bra mattespel skulle gå ut på att spelaren löser problem eller hittar bevis. Det får mig att tänka på spelen som liknar Myst, det vill säga quest-spel. Man spelar väsentligen genom att klicka på saker i rätt ordning, gå till olika platser och hitta samband mellan saker som händer. Brukar vara jättekul att spela tills man fastnar på någon svår sekvens.

Går det att göra något liknande med ren matematik? Säg att man samlar ihop lappar med definitioner och påståenden. Lägger man dem i rätt ordning, så kommer kanske ett lemma ut. Och sista bossen är Fermats stora sats!

Låter inte som världens mest spännande spel, men tål att funderas vidare på. Slutsatsen jag drar är att spel kan träna och utveckla specifika förmågor, som är nyttiga i matematikstudier. Logisk resonering, mönsterseende, allt detta kommer till nytta. Men förståelsen för matematisk teori verkar omöjlig att lära ut på något sätt som inte är ekvivalent med traditionell lärare eller bok.

Idag startar min nya mattecirkel. Det är förvisso bara en elev i den än så länge, men jag kallar det hela mattecirkel i alla fall av en gammal vana. Mina mattecirklar brukar innehålla sådana problem som inte förekommer i vanliga skolan, utan snarare i matematiktävlingar, som HMT.

Det är svårt men ganska spännande att introducera någon till matematikvärlden. Vilka områden skall man lära sig mer om först av allt? Vilka problemlösningstekniker?

Det mest essentiella i matematikstudier är att kunna avgöra vad som är ett bevis eller inte. Sedan så småningom får man intuition för vad som är tillräckliga bevis eller inte. Till exempel blir studenter ganska ofta osäkra på ifall de kan anta ett visst påstående i kursboken eller om man ska visa påståendet. Eller hur många Gausseliminationer måste man redovisa för att uppgiften inte ska få avdrag?

Allt detta beror på i princip på erfarenhet, och man lär sig att avgöra sådana frågor efter några månader eller något år.

Hur började du med matematiken? Vilka bevis förstod du först av allt?

(Passande förresten att starta en mattecirkel på pi-dagen :) Grattis alla!)