Ett tal med åtta siffror

Ett tal med åtta siffror

Kan man hitta på ett tal som består av 8 olika siffror, så att talet är delbart med alla siffror som ingår i det?

Visa lösningen

Problem vecka 21

Matchen (2 poäng).
Innan fotbollsmatchen mellan lag Syd och lag Nord fanns det 5 prognoser:
a) det kommer inte att bli oavgjort
b) Syd kommer att släppa in mål
c) Nord kommer att vinna
d) Nord kommer inte att förlora
e) det kommer bli exakt 3 mål i matchen

Efter matchen visade det sig att exakt tre prognoser stämde. Vad blev matchens resultat?

Dvärgarna (4 poäng).
Draken fångade sex dvärgar, låste in dem i sin grotta och sade till dem: “Jag har sju hattar som har var sin färg: röd, orange, gul, grön, blå, lila och vit. Imorgon vid gryningen kommer jag att binda för era ögon och sätta var sin hatt på er och en hatt gömmer jag. Efter det kommer ni att kunna se, men ni får inte längre prata med varandra. Sedan får var och en viska till mig, vilken färg det är som saknas. Om åtminstone tre stycken gissar rätt, befrias ni alla. Om färre gissar rätt, äter jag upp er alla.”

Vad ska dvärgarna bestämma innan gryningen, för att rädda sig själva?

Rutnätet (6 poäng).
Varje punkt med heltalskoordinater på planet målades i en av tre färger. Visa att det går att hitta en likbent rätvinklig triangel med hörn i punkter med heltalskoordinater, som är målade i samma färg.

Visa lösningar

Lösningen till problemet för de äldre vecka 40


Mattegåta

Det finns fyra positiva heltal: a, b, c, d. Deras minsta gemensamma multipel råkar vara lika med a+b+c+d. Visa att abcd är delbart med 3 eller 5 (eller både 3 och 5).

Diskussion

Typiskt problem som kräver motsägelsebevis. Ett första steg är att inse att inget av talen a, b, c eller d får vara delbara med vare sig 3 eller 5 för att produkten inte ska vara det.

Eftersom problemets formulering inte skiljer på a, b, c och d (vi kan byta plats på två av dess bokstäver och få exakt samma problem), kan vi bestämma storleksordningen mellan dem till exempel.

Lösning

Antag att abcd är delbart med varken 3 eller 5.

Utan inskränkning kan vi anta att a>=b>=c>=d. Då kan a+b+c+d maximalt vara 4a (för a är störst).

Samtidigt vet vi att a+b+c+d är den minsta gemensamma multipeln till a, b, c och d. Så summan är delbar med alla dem var för sig, så bland annat a. Detta tillsammans med förra stycket medför att a+b+c+d är antingen lika med a, 2a, 3a eller 4a.

Fall I. a+b+c+d=4a. Men då är alla talen lika med a för att komma upp i den summan. I så fall skulle MGM(a, a, a, a)=a som inte är lika med 4a. Motsägelse.

Fall II. a+b+c+d=3a. Men då är 3a den minsta gemensamma multipeln till talen, det vill säga faktorn 3 behövs. Så något av talen måste vara delbart med 3.

Fall III (det svåraste fallet). a+b+c+d=2a. Så b+c+d=a, och eftersom b var det näst största talet, så är b minst en tredjedel utav a. Dessutom är b en delare till 2a. Således får vi begränsat med alternativ vad b kan vara.

Nämligen kan b vara lika med a/3 eller 2a/3 eller a/2 eller a (någon delare av större än dess tredjedel eller en dubblerad delare till a). De förstå två varianterna innebär att a är delbart med 3, vilket leder till motsägelse. Det sista fallet innebär c=d=0, vilket inte de får vara.

Vi får kvar att b=a/2. Så c+d=a/2 (för att hela summan ska bli 2a). Och c är störst av c och d, så c måste vara minst a/4. Kom ihåg att c också är delare till 2a, som var MGM för talen. Så c kan vara a/4 eller 2a/4 eller 2a/5 eller 2a/6 eller 2a/7.

Ifall c=a/4 så är d=a/4 (för att hela summan ska bli a). Men då är MGM(a, a/2, a/4, a/4)=a och inte 2a. Ifall c=2a/4=a/2, måste d=0, vilket inte går. Ifall c=2a/5 eller c=2a/6=a/3 medför att a är delbart med 3 eller 5, motsägelse. Så c=2a/7.

Då kan vi räkna ut att d=3a/14. Men då är ju d en multipel av 3.

Fall IV. a+b+c+d=a. Då är b=c=d=0. Det får de inte vara!

Nu är alla fall undersökta. Vi har fått motsägelse varenda gång, alltså var vårt antagande fel från början. Någon utan a, b, c eller d måste vara delbar med 3 eller 5, alltså är abcd delbart med 3 eller 5.

Kommentera gärna om jag glömt något fall.