Lösning till problem vecka 16


Thomas skrev ner alla dagar i en viss månad på en rad: 123456789101112… Sedan målade han över 3 av dagarna (som var hans kompisars födelsedagar) och inga övermålade dagar var precis efter varandra. Det visade sig att alla omålade områden består av exakt lika många siffror. Kan den första dagen vara oövermålad eller måste den vara övermålad?

För andra gången på kort tid använder jag mig av Erik R.’s lösning :)

Lösning:

Antag att den första dagen är omålad.

Det finns ett ojämnt antal ensiffriga dagar. Det innebär att om den första övermålade dagen är en tvåsiffrig dag, så måste det omålade området vänster om den ha ett ojämnt antal siffror.

Men det går inte, därför då måste även de andra omålade områdena, som består av tvåsiffriga tal, ha ett ojämnt antal siffror. Således måste den första övermålade dagen vara ensiffrig.

Men om den första övermålade dagen är ensiffrig, så har det omålade området vänster om den maximalt 8 siffror. Eftersom tre målade dagar som mest kan dela in sifferraden i fyra omålade områden kan det totala antalet siffror då max vara 8*4+1+2+2=37.

Men den kortaste månaden (februari i ett vanligt år) ger 9*1+19*2=47 siffror. Därmed kan ingen månad täckas in på detta vis.

Den första dagen måste därmed vara övermålad.

Kommentera