Lösningen till problemet för de äldre vecka 34



Mattegåta

Låt a^b beteckna talet a upphöjt till talet b. Man skall sätta ut parenteser i uttrycket 7^7^7^7^7^7^7 för att bestämma ordningen på operationerna (totalt kommer det att bli 5 parentespar).

Går det att sätta ut parenteserna på två olika sätt så att resultatet på uttrycket blir detsamma?

Diskussion

Jag tror inte någon formulering har diskuterats mer än just detta problemets här på bloggen. Det allra första som många visade för mig vad att problemet hade en enkel lösning, där svaret var “ja”. Nämligen, att man ska sätta ut parenteser, som inte gör någonting, och på detta sätt uppnå samma resultat, som helt utan parenteser. Exempelvis: (7)^(7)^(7)^(7)^(7)^7^7 = (7^(7)^(7)^(7)^(7)^7^7), där båda är lika med 7^7^7^7^7^7^7.

Med detta svar blir dock problemet lite för ointressant för att finnas här på bloggen, så man kan börja misstänka att det är någon som har missat att säga något. Det är inte så uppenbart från problemets formulering, men det är faktiskt så att 7^7^7^7^7^7^7 (än så länge) är odefinierat. Visst, värdet är definierat för 7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}, det vill säga för potenser (fundera på vad operationsordningen är här), men inte för vår abstrakta symbol “^”, som i problemets formulering definierades som en operation mellan två tal.

Med andra ord var det inte en slump att just 5 parentespar behövdes. Även tex tvingade mig att sätta ut måsvingarna för att skriva formeln ovan. Just 5 parentespar, där alla är väsentliga, kommer att bestämma ordningen för upphöjningarna. Nu när vi vet problemets exakta formulering, har vi en chans att lösa det. En sak värd att notera är att det inte spelar någon roll att vi håller på med just talet sju.

Lösning

Notera att (7^(7^7))^7=(7^7)^(7^7). Detta gäller på grund av regeln (a^b)^c = a^(bc) = (a^c)^b. Således kan resterande 3 parentesparen sättas ut på ett likadant sätt på båda uttrycken och deras värde förblir detsamma:
Exempel: ((((7^(7^7))^7)^7)^7)^7=((((7^7)^(7^7))^7)^7)^7

Kommentera