Pizzasats nummer 2


Matematik används inte bara när man ska skära upp pizza, utan också när man ska äta den. Möjligen har ni löst problemet nedan utan att ens tänka på matte.

När en pizzabit tas ut ur kartongen ser det ofta ut så här:
förväntning

Mot detta finns följande strategi:
strategi

Men varför fungerar det? Det hela beror på en sats som Gauss kom på.
gauss

Gauss sats har att göra med att alla ytor har så kallad krökning. Det är ett mått på hur mycket objekt kan böja sig utan att deras “materiella” struktur förstörs (fler exempel på detta kommer senare).

Varje naturlig kurva har en specifik böjningsradie r i varje punkt. Storheten 1/r kallar vi då för krökningen i den punkten. Om kurvan är rak kring punkten, så säger vi att böjningsradien är oändligt stor och krökningen är lika med 0.

krökning

Samma definition gäller för ytor, men nu har punkten många olika värden på krökningen – en i varje riktning. Det maximala samt det minimala värdet av krökningen för en punkt kallas för huvudkrökningar.

kurvatur_yta

TIll exempel, på ett plan har alla punkter alltid krökning 0, medan på en sfär med radie R har alla punkter överallt krökningen 1/R. En cylinder med radien R kommer ha huvudkrökningarna lika med 1/R respektive 0.

kurvatur_cylinder

Om vi böjer lite på ett A4-papper, så kommer inte avstånden mellan punkterna på pappret att förändras. Sådana ändringar av ytor kallas isometrier.

papper

Om vi rullar ihop pappret, kommer vissa punkter ha ett kortare avstånd mellan sig än tidigare, eftersom nu finns det vägar som går genom kortsidorna som nu nuddar varandra.

papper_rulle

Gauss underbara sats (Theorema Egregium) säger att vid en lokal isometri kommer inte ytans Gaussiska krökning (produkten av huvudkrökningarna) att förändras.

Så länge pizzabiten ligger i kartongen är alla dess krökningar lika med 0.

pizzabit_kurvatur

Så fort pizzabiten tas ut, kommer den att böja sig. Då kommer ena huvudkrökningen att växa, medan den andra förblir 0.

pizza_sned_kurvatur

Men om kanterna viks upp kommer den sistnämnda huvudkrökningen sluta vara 0. Men enligt Gauss sats ska produkten av huvudkrökningarna förbli noll, det vill säga den andra huvukrökningen måste bli 0.

pizza_upp_kurvatur

Pizzabiten rätar ut sig och går bra att äta!

(Bilderna är tagna ur ryska internet, källa okänd. Tack konstnären!)

Theorema Egregium förklarar varför vi inte kan omforma ett papper till en boll utan att skrynkla ihop det. Inte heller kan en boll slätas ut till en sfär.

Det mest kända exemplet på detta är kartor. Jorden kan inte få en platt karta utan att avstånd förvrängs. Testa ett kartpussel för att övertyga dig om detta.

1 reaktion till “Pizzasats nummer 2”

Kommentera