Bollvolymer i n dimensioner


Det är lätt att med experiment uppskatta volymer av olika tredimensionella kroppar: Exempelvis kan ett akvarium i from av en rätblock fyllas med vatten och sedan kan man mäta hur mycket vatten som gick åt. Samma kan göras med (ungefär) sfäriska behållare. Med matematik kan man bevisa att formeln för volymen av en tredimensionell boll är \frac{4}{3}\pi R^3, vilket redan Arkimedes visade på den gamla goda tiden.

vatten_boll

Svårare är det när objekt har 4 eller fler dimensioner. Vi har inte längre några fysiska experiment vi kan göra, men för matematiken spelar det mindre roll hur många dimensioner det handlar om. Bollar i olika dimensioner är nämligen väldigt lika varandra om man tittar på dem med hjälp av ekvationer. Men låt oss börja från början.

Vad är en 1-dimensionell boll? Det är ju alla punkter på en linje, som ligger på ett givet avstånd från en given punkt eller närmare. Med andra ord, ett intervall. Om det givna avståndet, det vill säga radien, är lika med R, så är intervallets längd lika med 2R. Det kan vi kalla formeln för volymen av en 1-dimensionell boll (väldigt fancy sätt att säga ”längd”).

En 2-dimensionell boll, som du säkert redan gissat, är en cirkel. På högstadiet (hoppas jag) lär man sig att cirkelns area är \pi R^2 om cirkelns radie är lika med R. Volymen av en 2-dimensionell boll är således fastställd.

cirkel_area

Men hur räknar vi ut (hyper)volymen av en 4-dimensionell boll och hur definieras en sådan ens? Om vi ska fortsätta på samma sätt så måste vi definiera en n-dimensionell boll på följande vis:

En n-dimensionell boll med radie R är ett område i \mathbb{R}^n som innehåller alla punkter med koordinater (x_1, x_2, \ldots, x_n) som uppfyller x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leq R^2.

Men hur ska vi ta reda på bollens volym? Genom att uttrycka den via de föregående volymerna! Volymen av bollen med radien R i n dimensioner, V_n(R), hänger nämligen ihop med volymen av bollen i n-2 dimensioner, V_{n-2}(R), på följande sätt:

V_n(R)=\frac{2\pi R^2}{n}V_{n-2}(R)

Detta bevisas genom att man ”delar upp” n-bollen i (n-2)-bollar (exempelvis den vanliga tredimensionella bollen kan ses som en massa vertikala streck) och sedan beräknar en dubbelintegral.

Formeln räcker, eftersom vi känner till volymerna för n=1 och n=2, alltså kan vi konstruera formlerna för alla högre n också.

V_3(R)=\frac{2\pi R^2}{3}V_1(R) = \frac{2\pi R^2}{3}2R = \frac{4\pi R^3}{3}, som vi har sett tidigare.

Hyperbollen då?

V_4(R)=\frac{2\pi R^2}{4}V_2(R) = \frac{2\pi R^2}{4}\pi R^2 = \frac{{\pi}^2 R^4}{2}

Fler dimensioner? Från rekursionen deducerar vi en formel för udda dimensioner och en för jämna:

V_n(R) = \frac{2^{\frac{n-1}{2}}\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot n} om n är udda och

V_n(R) = \frac{2^{\frac{n}{2}}\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot n} om n är jämnt.

Vad beräknas volymen till då om radien antas vara 1? Vi får följande tabell:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Volym, ca 2 3,14 4,19 4,93 5,26 5,17 4,72 4,06 3,30 2,55 1,88 1,34 0,91 0,60 0,38

Volymen går upp först men sedan verkar den gå det mot noll! Det intressanta är att trots att den 5-dimensionella bollen har störst volym av alla här, så är den egentligen inte så speciell. Om vi ändrar radien blir det någon annan dimension som ger en boll med störst volym (testa själv med hjälp av formeln, vid radie 1,29 är det istället den 9-dimensionella bollen som har störst volym.)

Det verkar lite skumt att volymerna går mot 0, men om man ser på formeln, så innehåller den exponentiella funktioner i täljaren, men i princip fakulteter i nämnaren. För stora tal dominerar fakulteterna alltid, alltså går kvoten mot 0 (och växer i början, för små n, då fakulteterna inte än börjat ”ta fart”).

Ett annat sätt att tänka på det är att för att ekvationen x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 = R^2 ska vara uppfylld för stora n måste många av talen x_i vara nära 0. Exempelvis ligger punkten (\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\ldots,\frac{1}{\sqrt{n}}) på bollens yta och alla de koordinaterna närmar sig 0 när n växer.

Texten ovan är baserad på följande artikel på engelska, som även innehåller beviset för rekursionsformeln. Stort tack!

Kommentera