12 december 2010, 6:00
När Johan Björklund såg inlägget om flätan tipsade han mig om följande konstruktion. Snyggt och smaskigt tycker jag!
Hur man skär en bagel i två länkade halvor
Det är inte så svårt att skära en bagel i två likada halvor, länkade till varandra som två länkar i en kedja.
Det första steget är att sätta ut eller visualisera fyra viktiga punkter. Om du lägger bageln framför dig, är A en av punkterna högst upp (på högersidan i mitten). B är en punkt på hålets ”cirkel” (rakt framför dig), C är en av punkterna som nuddar bordet (i mitten på den vänstra sidan), D är punkten närmast dig.
De punkterade linjerna gör det lättare att sätta ut de viktiga punkterna, de behövs egentligen inte för att skära.
Rita en slät kurva ABCDA genom alla punkterna som börjar och slutar i punkten A. Det är längs med den linjen du ska skära. Du kommer att skära runt bageln på två sätt samtidigt: både runt den stora cirkeln (ringen som utgör själva bageln) och runt bagelns ”tjocklek”.
Den röda linjen är precis som den svarta, men vriden 180 grader. Det bästa vore att sätta kniven i den svarta linjen så att den kommer ut på den röda linjen. Men det är lättare att sätta in kniven både i svarta och i röda linjen och skära till hälften på varje linje.
Efter skärningen kan halvorna flyttas isär, men de är fortfarande ihoplänkade som i en kedja!
Förutom att det är roliga att skära så här, får man äta mer ost, eftersom arean för pålägget blir större!
Bilderna och texten kommer från George W. Hart, gå in på sidan för mer info och problem om bageln. Han skriver bland annat för Museum of Mathematics.
04 december 2010, 6:00
Varje dag innan Jul kommer det publiceras en lite gåta eller något pyssel, och ni kära läsare får gärna skicka in egna bidrag till valentina.chapovalova@gmail.com!
Idag är det ingen gåta, utan ett pyssel.
Magisk fläta
Läder (som fått mjukna upp i exempelvis vatten) fungerar tydligen bra som material för att fläta remmar som sitter ihop. Följ det här schemat:
Själv provade jag med en pappersbit och misslyckades totalt! Är det någon som lyckats göra flätan?
27 september 2010, 22:26
I ett sällskap med många personer kan man leka en lek som kallas ”knuten”. Alla ställer sig i en ring och sluter ögonen. Sedan sträcker alla fram båda sina händer och börjar gå mot mitten. Alla ska ta tag i två andra händer med sina egna.
Efter att alla är klara med det öppnar man ögonen. Målet är nu att lösa upp ”knuten” som bildats utan att släppa taget med händerna. Det gäller att bilda en stor ring igen (det kan också hända att det blir flera ringar).
Ett liknande spel är Planarity, fast personerna i spelet kan ha fler än två händer. Målet är att lösa upp all tilltrassel så att inga par av händer måste hållas över varandra.
Personer är representerade med punkter och en kant som går mellan två punkter visar att de två personerna håller handen. Alla spelande har väldigt uttänjbara händer. Försök att klara några nivåer! (Jag kom till Level 7.)
Sådana här bilder kallas grafer, om de går att ”plana ut” på det här snygga sättet (så att inga två kanter korsar varandra) kallas de planära. Det är svårt att se direkt huruvida en graf är planär eller inte, däremot uppfyller alla planära grafer följande formel.
Eulers formel
En graf är ritad på ett plan på så sätt, att inga två kanter korsar varandra. Om V är antalet hörn i grafen, E – antalet kanter och F – antalet områden som planet delas upp i, så gäller:
V – E + F = 2
Att det blev just talet 2 beror på att man ritade på ett plan. Ritar man grafer på andra konstiga ytor blir det ett annat specifikt tal just för denna yta. Det talet kallas ytans eulerkaraktäristik.
15 juni 2010, 15:26
Det finns två potatisar med godtycklig form och storlek. Visa att man kan lägga på var sin bit koppartråd på deras ytor så att det bildas två böjda ringar (inte nödvändigtvis platta), som har samma form och storlek.
Erik T. förser oss med lösningen nedan. De andra lösningarna var iofs precis likadana, kanske med något annorlunda formuleringar.
Jag ångrar dock lite att folk ibland kan lite för mycket topologi, eftersom jag fick följande kommentar från Johan B. när jag publicerade problemet:
”Jag tror du måste göra något antagande om potatisarna.
Låt ena potatisen vara en fylld torus, men istället för att tvärsnitten är cirklar så är de kochkurvor. En eventuell koppartråd som inte vill vara fraktal måste följa med torusen runt och bilda cirklar. Deras radie kan begränsas underifrån genom att göra innerdiametern på torusen stor. Låt den andra potatisen vara en epsilonsfär, det finns inga cirklar av stor radie på dess yta.”
Man ska anta att potatisar ser ut som potatisar :) Det vill säga är släta 3-dimensionella mångfalder, för de som inte äter potatis.
Lösning:
Placera potatisarna så att de överlappar varandra (om man tänker sig att de inte består av solitt material utan kan ”gå in i varandra”). De skär då varandra i någon slags kurva. Men denna kurvan ligger på båda potatisarnas yta. Alltså kan man lägga två kopparbitar med samma form och storlek (ge dem samma utseende som kurvan) på två valfria potatisars ytor.
