En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika areor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får bo på samma area (fast antalet rum kan vara olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i en sådan lägenhet.
Här gäller det att bestämma det minsta antalet rum så att uppdelningarna är möjliga. Det betyder två saker:
1. Att bestämma något antal rum så att uppdelningarna är möjliga.
2. Visa att för alla mindre antal åtminstone någon uppdelning skulle misslyckas.
Ett sätt att lösa de två punkterna är att gå nerifrån och uppåt, det vill säga starta med så få rum som möjligt (säg 1 rum) och sedan gå vidare till nästa antal, när uppdelningarna inte funkar. Vi testar:
1 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer
2 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer
3 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer
4 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste alla ha lika stor area, säg x. Om vi ska dela upp rummen mellan 3 personer, måste en av dem få 2 rum och de andra få 1 rum var. Areorna blir 2x, x, x, det vill säga olika.
5 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste en av dem få 2 rum och alla de andra få 1 rum var. Så de senare tre rummen har alla lika stor area, säg x. Då har de första två rummen tillsammans arean x. Notera att det går då att dela upp lägenheten mellan 2 personer rättvisst. Men går det att dela upp mellan 3 personer? Då skulle de antingen ha föredelningen 2 rum- 2rum-1 rum eller 3 rum-1 rum-1 rum. Notera att sammanlagda arean är 4x, så varje person måste få arean 4x/3. Så de som har enrummare har arean på den lika med 4x/3. Det kan inte finnas två sådana, för att 4x/3+4x/3 är inte lika med x (som ju summan av de två ”icke-x”-rummen måste vara). Så fördelningen måste alltså vara 2 rum-2 rum-1 rum. Då är rumsareorna x, x, x, 4x/3 och 2x/3. Men x, x, x och 2x/3 går inte att fördela jämnt mellan 2 resterande personer. Så det går inte med 5 rum.
6 rum: Försöker vi som förut att bevisa att det inte går, kommer vi fram till att det faktiskt går. Så fort vi har ett exempel, är vi klara. Låt rummen har areorna 1, 1, 1, 3, 3, 3 (m²). Uppdelning mellan 4 personer: 1+1+1, 3, 3, 3, uppdelning mellan 3 personer: 1+3, 1+3, 1+3, uppdelning mellan 2 personer: 1+1+1+3, 3+3.
