Dario fick en stor säck i julklapp av en väldigt rik person. I säcken ligger sjukt många ädelstenar, gröna och gula, men han kan inte avgöra på formen vilken färg de har. Dario tar ut 100 ädelstenar på måfå först och sedan 10 ädelstenar på måfå. När är sannolikheten större att han får lika många stenar av varje färg: i första eller andra fallet?
Ju färre ädelstenar man drar, desto större är sannolikheten för att man ska dra lika många av varje färg. Om N stenar dras, så kan resultatet bli på 2N olika sätt (först kommer en gul eller en grön sten, sedan en gul eller en grön och så vidare). I hur många av de fallen har vi lika många av varje sort?
Jo, när vi bestämmer oss för vilka i följden som skall vara gröna (50 stycken i fallet med 100 dragna stenar), så har vi ett bestämt utfall, eftersom resten av stenarna måste vara gula. Och att välja N/2 stycken bland N kan man göra på N!/((N/2)!(N/2)!) olika sätt.
Alltså är sannolikheten för att ta ut N/2 av varje färg lika med
(1/2N)*N!/((N/2)!(N/2)!)
Vi sätter in våra värden:
(1/210)*10!/(5!5!)
är ungefär lika med 0,25,
medan
(1/2100)*100!/(50!50!)
är ungefär 0,08.
Alltså är sannolikheten att få ut lika många större av varje färg större när vi drar 10 stenar.
Dessutom kan vi bevisa att sannolikhetsfunktionen är avtagande för växande N (visa med induktion till exempel).
