Följder med regel

(a) Först verkar det som att talet dubblas, men sedan minskar det ibland. Regeln är nämligen att varje nästa tal är det föregående talets fördubblade siffersumma.

(b) Ett ensiffrigt tal kan inte bli sig självt när det fördubblas, om det är positivt. Ett tresiffrigt tal kan maximal ha siffersumman 27, och fördubblad siffersumma kan alltså inte vara tresiffrigt. På samma sätt kan inte tal med fyra siffror eller fler bli sig själva när man tillämpar regeln.

Låt oss titta på tvåsiffriga tal. Ett tal har alltid samma rest vid division med 9 som dess siffersumma. Det betyder att för talet som uppfyller vår egenskap gäller att dess fördubblade siffersumma ger samma rest vid division med 9 som dess siffersumma. Det betyder att talets siffersumma, och då även talet, är delbart med 9.

Tvåsiffriga tal som är delbara med 9 är 18,27,36 och större tal. Siffersumman för ett tvåsiffrigt tal är dock maximalt 18, alltså är talet självt maximalt 36. Så vi behöver titta på bara just 18, 27 och 36. Alla de har siffersumman 9, således är det bara 18 som uppfyller vår egenskap.

(c) Alla tal som har tre siffror eller fler kommer att minska med hjälp av tillämpning av regeln, så till slut kommer vi från 2²⁰¹² komma ner till ett tvåsiffrigt eller ensiffrigt tal. Är talet tvåsiffrigt, kan det efter en tillämpning av regeln bli maximalt 36, som stycket ovan visar. Men om talet är maximalt 36, så har den siffersumma maximalt 11 (2+9), således efter en tillämpning till kommer det vara maximalt 22. Sedan kommer det vara maximalt 20 (1+9 fördubblat). Nu kan vi kontrollera alla möjligheter.

20 blir till 4 efter en tillämpning -> ensiffrigt
19 blir 20 blir 4 -> ensiffrigt
18 blir 18 blir 18 förevigt …
17 blir 16 blir 14 blir 10 blir 2 -> ensiffrigt
16 blir 14 blir 10 blir 2 -> ensiffrigt
15 blir 12 blir 6 -> ensiffrigt
14 blir 10 blir 2 -> ensiffrigt
13 blir 8 -> ensiffrigt
12 blir 6 -> ensiffrigt
11 blir 4 -> ensiffrigt
10 blir 2 -> ensiffrigt

Så det är kvar att visa att vi inte kunnat få 18, i alla andra fall får vi så småningom ett ensiffrigt tal. Men vilka tal blir till 18? De som har siffersumma 9. Det vill säga tal som måste vara delbara med 9.

Och vilka tal ger upphov till tal som är delbara med 9? Sådana vars fördubblade siffersumma är delbar med 9. Men för att ett tal fördubblat skall vara delbart med 9, måste även själva talet vara delbart med 9. Alltså kan tal, delbara med 9 bara föregås av tal, som är delbara med 9.

Talet 2²⁰¹² är inte delbart med 9, alltså kan det aldrig blir till 18 efter några tillämpningar av regeln. Därför kommer vi så småningom komma till ett ensiffrigt tal.