Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1

Hur kommer det sig att det finns spiraler på kottar, kronärtskockor och ananaser? Om du inte har sett förklaringen, rekommenderar jag Vi Harts videoserie ”Spirals, Fibonacci, and Being a Plant”: del 1, del 2 och del 3.

(Eller kolla upp en sida på svenska med många bra bilder.)

kotte

En av sakerna som avslöjs är att växternas blad växer ut med en och samma vinkel i förhållande till föregående bladet, nämligen vinkeln $\frac{360^\circ}{\varphi}$ , där $\varphi$ är det gyllenne snittet, även kallad det mest irationella talet. Detta för att bladen aldrig ska hamna direkt över och blockera solljus för varandra.

Eftersom bladen inte är hur tunna som helst, kommer de så småningom ändå överlappa varandra delvis. Därför bildas det spiraler, vilket förklaras i videorna. Men varför är antalet spiraler alltid lika med ett fibonaccital, för tallkottar oftast 5, 8 eller 13 (plocka upp en kotte och räkna spiralerna åt båda hållen)?

Min förklaring är att gyllene snittet approximeras med exempelvis 8/5, vilket betyder att växten efter 8 blad har avlagt $8\cdot\frac{360^\circ}{\varphi}$ grader, vilket är ungefär lika med $8\cdot\frac{360^\circ}{\frac{8}{5}}$ grader, det vill säga typ 5 varv. Och så med alla andra heltalsapproximationer, när växten
har gått ett ungefär helt antal varv, så har det vuxit ut ett fibonacciantal blad. När ett nytt varv börjar, bara då kan spiralerna börja växa, och därför är antalet spiral lika med antalet blad som vuxit ut hittills, det vill säga ett fibonaccital.

Vi sade förut att $\varphi$ var det mest irrationella talet. Vad ska det betyda? Alla irrationella tal är ju lika irrationella, men vissa tydligen mer irrationella än andra. För växten innebär det att det nya bladet dyker upp inte bara på en ledig plats, utan också på en plats där det finns som mest utrymme (jag vet inte riktigt hur detta ska förklaras matematiskt).

Men varför skulle inte en växt kunna växa med en annan irrationell vinkel, som exempelvis $\frac{360^\circ}{\pi}$ eller $\frac{360^\circ}{e}$ grader? Talet $\frac{22}{7}$ är ju en väldigt bra approximation av $\pi$ , så varför skulle inte en sådan $\pi$ -växt kunna ha 22 spiraler?

Nu när jag inte kan spekulera mer matematiskt, går jag ut i naturen och letar. De första två växter jag hittar verkar vara typiska $\varphi$ -växter, men den tredje har vinkeln närmare $114,6^\circ$ , det vill säga $\frac{360^\circ}{\pi}$ !

Eller nja, inte om man kollar på de färdigväxta bladen, då är det en vanlig $\varphi$ -växt:
SAMSUNG

Den här då? Det är lite svårt att se i vilken ordning bladen har växt ut.

SAMSUNG

Men om det är någon av våra förmodade vinklar, bladen emellan, så är det i alla fall $\pi$ :

SAMSUNG

Hurra! En $\pi$ -växt! Så inte alla växter följer $\varphi$ -lagen… Eller har jag mätt fel? Varför är de flesta växter ändå $\varphi$ -växter?

Kan du hitta andra irrationell växter i naturen, kanske med vinkeln $\frac{360^\circ}{\sqrt{2}}$ mellan bladen? Om en vecka kommer jag med mer spekulationer och förklaringar om växternas utväxtvinklar.

Relaterade

2 reaktioner till “Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1”

Mikael Tylmad skriver:

14 maj 2013 kl. 22:03

Matematiken i naturligt förekommande system som växter är verkligen fascinerande! Jag rekommenderar denna varmt:

http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop.pdf

Jag ville leka lite med fraktaler som såg så naturliga ut som möjligt, och denna kommer exempelvis från ovanstående bok:

http://spelprogrammering.nu/r2/6.42.html

Tack för en mycket intressant blogg!
Val skriver:

15 maj 2013 kl. 17:03

Vilken häftig bok! Tack för tipset Mikael :)

Jag försöker skriva om sån matte som jag själv tycker är intressant. Har du några önskemål, är det bara att säga till!

Lämna ett svarAvbryt svar

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.

Dela inlägget:

Relaterade

2 reaktioner till “Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1”

Lämna ett svarAvbryt svar