Problemlösning – Sida 9

Lösningen till problemet för de äldre vecka 38

Mattegåta

En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.

Om S⁺ är den totala arean av delarna i cirkeln, som består av punkter med samma tecken på koordinaterna och S^– är totala arean av delarna med punkter som har olika tecken på koordinaterna, vad är S⁺-S^– lika med?

Diskussion

När problem handlar om att jämföra areor, så är det ofta så att delar av de här areorna är lika, speciellt när delarna har konstiga former (jämför med problemet för de yngre vecka 35).

Börja med att rita den enklare varianten (då cirkelns mitt är i första kvadranten) och försök att ta bort så många lika stora delar från S⁺ och S^– som möjligt och jämför det som blir kvar.

Lösning (av Johan Björklund, något modifierad)

Proof by picture:

Jag tillför två hjälplinjer paralella med koordinataxlarna genom (2a,2b). De är spegelbilder av koordinataxlarna speglade genom linjer (igenom parallella med koordinataxlar) genom (a,b).

Det är lätt att se att flera av områdena har lika area (markerat med bokstäver). De kommer att ta ut varandra när vi beräknar S⁺-S^– (S⁺ är den gula plus den rosa arean, medan S^– är den gula plus den blå). Kvar blir den centrala rektangeln med area 4ab.

Tillägg (av Erik Svensson)

Detta var ifall mittpunkten låg i den första kvadranten. Om den istället ligger i den tredje kvadranten, då är fallet uppenbart det samma efter rotation med ett halvt varv, och ifall mittpunkten ligger i andra eller fjärde kvadranten, då speglar vi i y- respektive x-axeln och får samma fall fast med S+ och S- ombytt, så att den sökta arean byter tecken.

Vi finner emellertid att just 2a * 2b ändå uttrycker arean i samtliga dessa fall.

Lösningen till problemet för de yngre vecka 37

Mattegåta

En springare hoppar alltid på schackbrädet antingen två rutor vågrätt och en ruta lodrätt eller tvärtom.

Plötsligt kom en ond schackspelare och placerade springaren på ett litet 6×6-bräde. Då började springaren hoppa frenetiskt mellan rutorna. Här syns spåren efter hoppandet.

Det visade sig, att springaren var på varje ruta exakt en gång. Den började på ruta nummer 1. Återställ alla nummer upp till 36 som saknas.

Diskussion

För att bestämma lösningen kan man börja med hörnen. Till exempel så står det 17 i övre vänstra hörnet, vilket betyder att de enda rutorna som springaren når därifrån är 16 och 18. Därför kan man sätta ut 18 redan nu.

Resten av siffrorna kan vi inte vara säkra på direkt. Det man kan göra är att skriva in alla möjliga versioner på var till exempel siffran 3 kan vara. Efter det skirver vi in alla möjliga versionen på siffran 4 (från alla möjligheter för siffran 3). Vi fortsätter att sätta ut möjligheter för 5, 6 och 7. När vi senare kommer till en siffra som redan finns (som 8), kan vi sudda bort några av möjligheterna.

Ibland blir det för många möjligheter och då får man göra observationer på några andra tal (var kan talen 34 och 36 finnas?) På slutet är det faktiskt bara en möjlig väg som är kvar och det är den här.

Lösning

Lösningen till problemet för de äldre vecka 37

Mattegåta

Fredrik och Mona har 1999 kronor i kontanter tillsammans och ingen av dem har några tjugolappar (de har alltså bara valörerna 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 kronor). Fredrik ska köpa grisen i säcken av Mona och Mona tar inte kort. Grisen i säcken kostar ett helt antal kronor och det är inte mer än vad Fredrik har i cash.

Visa att Fredrik garanterat kan köpa grisen i säcken och få rätt summa i växel.

Diskussion

Det har kommit in två lösningar, som är ganska olika. Den första lösningen undersöker vad det kan finnas för valörer och sammanfattar allting i ett enda fall. Den andra lösningen säger inget om de konkreta valörerna, utan baserar sig på induktion. Välj själva vilken ni tycker bäst om!

Lösning 1 (av Erik Svensson)

Antag att Mona och Fredrik, av till synes måhända besynnerliga skäl, beslutar att Mona först av allt lånar ut alla sina pengar till Fredrik. Då vet vi att Fredrik har totalt 1999 kronor, och att han nu ska betala till Mona en viss summa pengar, som är summan av grispriset och pengarna han just lånat. Denna summa överstiger inte 1999 kronor, eftersom grisen kostade högst det Fredrik hade från början, vilket tillsammans med Monas pengar alltså blir högst den totala mängden pengar i rörelse, dvs 1999 kr.

Vi har därmed reducerat problemet till att handla om huruvida Fredik kan skriva varje tal under 2000 som en summa av de kontantvalörer som finns tillgängliga.

Låt oss studera fallet där Fredik har så många stora valörer som möjligt. Vi noterar att om han klarar det i det fallet, så går det även i alla andra fall, ty att byta ut en stor valör mot flera mindre kan uppenbart inte reducera antalet möjliga summor.

Fallet med maximala valörer är att Fredik innehar följande kontanter:

1x 1000 kr
1x 500 kr
4x 100 kr
1x 50 kr
4x 10 kr
1x 5 kr
4x 1 kr

Det är lätt att visa att varje tal under 2000 kan skrivas som en summa av ovanstående valörer. Varje tal 1-9 kan ju skrivas med bara enkronor för talen 1-4, med en femkrona för 5 och med en femkrona och resten enkronor för 6-9. På exakt samma sätt kan varje tiotal upp till hundra nås, och inom varje sånt tiotal kan vi nå varje ental med en- och femkronorna. På samma sätt kan vi även nå alla hundratal med 100- och 500-lapparna, och inom varje hundratal når vi varje 10-tal med 10- och 50-kronorna, och inom varje tiotal inom varje hundratal når vi varje ental med hjälp av 1- och 5-kronorna. Därmed kan varje tal upp till 1000 skrivas. Och vill vi ha varje tal upp till 2000 så lägger vi bara till 1000-lappen där den behövs.

Således kommer Fredik kunna betala Mona exakt rätt mängd pengar, vilket skulle bevisas.

Lösning 2 (av Johan Björklund)

Vi gör detta med induktion. Om Fredrik har 0 kr så är grisen gratis och vi är klara.

Antag att Fredrik kan köpa grisen om Fredrik har p kronor (och griskostnaden är ≤p). Om Fredrik har p+1>0 kronor så kan han givetvis köpa den om grisen är gratis. Om den inte är gratis så försöker han betala en krona.

Antag att den lägsta valören Fredrik har är m. Då gäller att 1999≡m-1 (mod m) då alla valörer delar 2000. Då varje valör delar ”nästa” valör så måste det då vara så att det finns m-1 kronor i lägre valörer (fördelat mellan Mona och Fredrik).

Men då Fredrik hade lägsta valör m så måste alla de m-1 kronorna tillhöra Mona. Om Fredrik ger sin m-sedel till Mona och får de m-1 kronorna tillbaka så har han p kronor kvar och har betalat av 1 krona på grisen, dvs vi är i det tidigare lösta fallet. Induktion ger att han alltid kan betala.

Lösningen till problemet för de yngre vecka 36

Mattegåta

Gissa vilken symbol som ska stå istället för frågetecknet i den här följden. Vilken symbol kommer efter den?

Diskussion

Tricket är omplacera symbolerna så att de är uppställda på en kolonn. Då är det lättare att se att de första symbolhalvorna bildar siffror!

Siffrorna är formade så som de visas på digitala klockan. Så de nästa symbolerna är dubblade åttan och nian (första halvan normal, andra speglad).

Lösning

Lösningen till problemet för de äldre vecka 36

Mattegåta

Ekvationen x²+px+q=0 har bara heltalsrötter och man vet att både p och q är primtal. Hitta p och q.

Diskussion

Det hjälper att känna till faktorsatsen, som ger oss att polynomet kan uttryckas som (x-x₁)(x-x₂), där x₁ och x₂ är rötterna.

Vidare är det bra att känna till följande samband mellan koefficienterna (i vårt fall är det p och q) i en andragradare och dess rötter.

Viètes formler

Om ekvationen x²+px+q=0 har två rötter x₁ och x₂, så gäller:
x₁ + x₂ = -p
x₁x₂ = q.

Forsättningen på dessa tankar är ganska naturlig, som vi ser nedan.

Lösning (av Love Forsberg)

Låt a,b vara lösningarna till ekvationen. Då har vi att
(x-a)(x-b) = x²-(a+b)x+(ab) = x²+px+q=0, så
p = -(a+b), q = ab.

Men q = ab, q primtal och a,b heltal ger a eller b lika med ±1. Vi kan anta att a = ±1. Det följer också att b = ±q är ett primtal.

Vi noterar att primtal är positiva, så b har samma tecken som a.

Så p = -( ±1+b). Positiva a och b ger ett negativt p, vilket inte är tillåtet, så a och b är negativa.

p = -(-1+b) = -b+1, d.v.s. p är ett primtal som är ett högre än primtalet q. Det finns bara en möjlighet, p = 3, q = 2 (a = -1, b = -2).

Skolornas matematiktävling

Skolornas matematiktävling är den officiella mattetävlingen vi har för gymnasister i Sverige.

Förutom att att tävla i matte är jätteroligt, kan dina resultat också ge meritpoäng vid antagning på universitet/högskola, både som student och doktorand.

Så kom ihåg att be din lärare om att anmäla dig till årets omgång av SMT, sista anmälningsdagen är imorgon! Själva tävlingen äger rum den 28 september.

Dessutom så har SMT uppgraderat till en ny snygg hemsida, so check it out, även om du inte kan tävla.

Lösningen till problemet för de yngre vecka 35

Mattegåta

Cissi fyllde år så hon bakade en tårta till sin födelsedag. Tårtan var dock inte rund, utan formad som en regelbunden sexhörning ABCDEF. Cissi markerade K och L, som var mittpunkterna på sidorna EF och FA respektive. Sedan skar hon längs med BK och sedan längs med LC. Hanna fick den triangulära biten BOC, medan Sofie fick den fyrkantiga biten KOLF. Vilken tjej fick mer tårta?

Diskussion

När två figurer har så olika form som Hannas och Sofies bitar, är det svårt att jämföra dem. En idé är att ge dem mer tårta, men exakt lika mycket var. Sedan jämför vi de större bitarna.

Lösning

Se hur mycket tjejerna får om de också fördelas var sin bit OKEDC:

Men om vi roterar ena hexagonen, så ser vi att det egentligen är lika mycket tårta! Därför fick Hanna och Sofie lika mycket tårta även i början.

Lösningen till problemet för de äldre vecka 35

Mattegåta

Hitta det största antalet kongruenta icke-konvexa polygoner som man kan dela in en kvadrat i, på så sätt att polygonernas sidor är parallella med kvadratens och inga två polygoner går att få ifrån varandra genom translation. Visa varför just det antalet fungerar och varför det inte går med ett större.

Diskussion

Hur ska den här konstiga formuleringen tolkas?

Jo, att polygonerna har bara lodräta och vågräta sidor, så vinklarna överallt är 90 grader (eller 270). Och att alla figurera är kongruenta.

Vad betyder det att två figurer är kongruenta? Med det menas att man kan ta första figuren, flytta den på något sätt och precis täcka den andra figuren. Man får rotera och vända på den första figuren som man vill.

Faktum är att alla sådana här rörelser antingen är rotationer, speglingar, translationer eller kombinationer av de tre sakerna. Vi vet att rena translationer är förbjudna enligt uppgiften. Så det gäller att bestämma antalet sätt att rotera och spegla en figur så det alltid blir olika positionerade figurer. Sedan ska man hitta på ett exempel med det antalet också.

Lösning (av Erik Thörnblad)

Jag hävdar att åtta är det maximala antalet:
Bevis:
Rimligtvis har polygonerna hörn. Kolla på ett specifikt hörn. Kalla ena änden för A och andra änden för B. När man sedan roterar polygonen och bara tittar på just det hörnet, så framgår det att det finns totalt åtta olika sätt att vrida hörnet på, så att sidorna hela tiden är parallella med kvadratens sidor (som jag nu antagit är lodräta och vågräta).

Detta innebär att man som mest kan skapa åtta polygoner som uppfyller alla krav som ställts.

Lösningen till problemet för de yngre vecka 34

Mattegåta

Hitta två äkta bråk, det ena med nämnaren 8 och det andra med nämnaren 13, så att differensen mellan det största och det minsta av dem är så liten som möjligt.

Diskussion

Vad menas med att ett bråk är äkta? Det är ett bråk vars täljare är mindre än dess nämnare (och båda är positiva heltal). Exempel på äkta bråk är $\frac{3}{5}$ och $\frac{100}{101}$ . Ett äkta bråk har alltså alltid ett värde mellan 0 och 1!

Nu har vi ett lite fuskigt sätt att lösa problemet, de äkta bråken med nämnare 8 respekrtive 13 är ju inte så många! För att gissa svaret kan man sätta ut alla äkta bråks värden på tallinjen. Tag nämligen sträckan mellan 0 och 1 och dela in i åtta lika stora delar. På markeringarna har vi bråken $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}$ och $\frac{7}{8}.$

Samma sak kan göras med trettondedelar, men det är lite för plottrigt att göra det på samma bild, eller hur? Det vore smidigare att rita en exakt bild, där $\frac{1}{13}, \frac{2}{13}$ och så vidare är utsatta, om sträckan hade en naturlig uppdelning i just 13 delar. Med andra ord, om antalet markeringar kan delas både med 8 och med 13, så är det ganska lätt att se skillnaden mellan bråken också.

Därför söker vi talens minsta gemensamma multipel, med andra ord det minsta positiva heltalet som både är delbart med 8 och med 13. Minsta gemensamma multipel betecknas också MGM. Och den största gemensamma delaren betecknas SGD, det behövs för att bestämma MGM av 8 och 13.

Lösning (av Toomas Liiv)

SGD(8,13)=1. Nämnarna är relativt prima.

MGM(8,13)=8*13=104, vilket också är minsta gemensamma nämnare till bråken.

Differensen av det största och minsta bråket kommer också att kunna skrivas med nämnaren 104 som ett äkta bråk. Det minsta sådana bråket är $\frac{0}{104}$ , vilket uppnås med bråken $\frac{8}{8}$ och $\frac{13}{13}$ , men dessa är olyckligtvis inte äkta bråk.

Det näst minsta bråket med nämnaren 104 är $\frac{1}{104}$ , vilket ger oss ekvationerna

$\frac{13x}{104}-\frac{8y}{104}=\frac{1}{104}$

och

$\frac{8x}{104}-\frac{13y}{104}=\frac{1}{104}$

som efter division med 104 kan skrivas som

$13x-8y=1$

och

$8x-13y=1$ .

Den första ekvationens minsta positiva lösning är $x=5$ och $y=8$ . Den andra ekvationens minsta positiva lösning är $x=5$ och $y=3$ .

Detta ger oss att

$\frac{5}{8}-\frac{8}{13}=\frac{65}{104}-\frac{64}{104}=\frac{1}{104}$

och att

$\frac{5}{13}-\frac{3}{8}=\frac{40}{104}-\frac{39}{104}=\frac{1}{104}$

Lösningen till problemet är alltså $\frac{5}{8}$ och $\frac{8}{13}$ eller $\frac{5}{13}$ och $\frac{3}{8}$ .

Lösningen till problemet för de äldre vecka 34

Mattegåta

Låt a^b beteckna talet a upphöjt till talet b. Man skall sätta ut parenteser i uttrycket 7^7^7^7^7^7^7 för att bestämma ordningen på operationerna (totalt kommer det att bli 5 parentespar).

Går det att sätta ut parenteserna på två olika sätt så att resultatet på uttrycket blir detsamma?

Diskussion

Jag tror inte någon formulering har diskuterats mer än just detta problemets här på bloggen. Det allra första som många visade för mig vad att problemet hade en enkel lösning, där svaret var ”ja”. Nämligen, att man ska sätta ut parenteser, som inte gör någonting, och på detta sätt uppnå samma resultat, som helt utan parenteser. Exempelvis: (7)^(7)^(7)^(7)^(7)^7^7 = (7^(7)^(7)^(7)^(7)^7^7), där båda är lika med 7^7^7^7^7^7^7.

Med detta svar blir dock problemet lite för ointressant för att finnas här på bloggen, så man kan börja misstänka att det är någon som har missat att säga något. Det är inte så uppenbart från problemets formulering, men det är faktiskt så att 7^7^7^7^7^7^7 (än så länge) är odefinierat. Visst, värdet är definierat för $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ , det vill säga för potenser (fundera på vad operationsordningen är här), men inte för vår abstrakta symbol ”^”, som i problemets formulering definierades som en operation mellan två tal.

Med andra ord var det inte en slump att just 5 parentespar behövdes. Även tex tvingade mig att sätta ut måsvingarna för att skriva formeln ovan. Just 5 parentespar, där alla är väsentliga, kommer att bestämma ordningen för upphöjningarna. Nu när vi vet problemets exakta formulering, har vi en chans att lösa det. En sak värd att notera är att det inte spelar någon roll att vi håller på med just talet sju.

Lösning

Notera att (7^(7^7))^7=(7^7)^(7^7). Detta gäller på grund av regeln (a^b)^c = a^(bc) = (a^c)^b. Således kan resterande 3 parentesparen sättas ut på ett likadant sätt på båda uttrycken och deras värde förblir detsamma:
Exempel: ((((7^(7^7))^7)^7)^7)^7=((((7^7)^(7^7))^7)^7)^7