Roliga mattegåtor – Sida 26

Spel på en remsa

Rekommenderad från: 15 år

[kkratings]

Det finns en rutig remsa 1xn:

remsa

Anders och Filip spelar ett spel. De turas om att göra drag: Anders får sätta ett kryss i en tom ruta och Filip får sätta en ring i en tom ruta. Dock får inte två kryss hamna bredvid varandra och inte heller två ringar. Spelaren, som inte kan göra ett drag när det är hans tur, förlorar.

Anders gör det första draget. Vem har ett vinnarstrategi, det vill säga vem kan alltid vinna oavsett hur motståndaren spelar?

Observera att svaret kan bero på talen n, som säger hur lång remsan är.

Visa lösningen

För det första är n=1 ett specialfall. Det finns bara ett sätt som spelet kan gå till på, nämligen att Anders sätter kryss och Filip kan inte göra något drag längre och därför förlorar.

Men för alla andra storlekar på remsan så vinner Filip. Det roliga är att hans första drag måste vara speciellt, men efteråt kan han spela hur som helst så länge hans drag är tillåtna och ändå alltid vinna, oavsett hur Anders spelar.

Anders börjar med att sätta kryss någonstans. Det kan vara på remsans ände eller så kan det vara någonstans däremellan. I vilket fall som helst kan Filip sätta ring i en av remsans ändrutor:

lv20 eller

lv20_2 De fortsätter spela under tillåtna regler (aldrig två kryss eller två ringar bredvid varandra). Låt oss säga nu att Filip på något sätt lyckas förlora. Det betyder att han i en viss situation har ingenstans att sätta sin ring och de har precis varit Anders tur.

Eftersom Anders började och det precis har varit hans tur, så har han gjort ett fler drag än Filip, det vill säga det finns ett fler kryss än ringar på remsan.

Men notera att i den här situationen måste två utsatta kryss ha en ring mellan dem. För att två kryss kan inte vara bredvid varandra, och hade det bara funnits tomma rutor mellan dem, så skulle Filip ha haft ett möjligt drag.

Alltså finns det minst en ring mellan varje par av kryss. Om vi börjar räkna upp symboler från kanten där Filip gjorde sitt första drag (första ringen) kommer vi se: ring, kanske fler ringar, kryss, ringar, kryss, ringar, kryss, … , slutar med kryss eller ring. (Här betyder ”ringar” att det kan vara exakt en ring också). Schematiskt exempel: OXOOOXOOXOOOXOOOXOOX.

Men då ser vi att varje kryss har minst en ring strax till vänster om sig. Det betyder att antalet kryss kan i den här situationen inte vara fler än antalet ringar. Vårt antagande om att Filip inte kunde göra drag var fel, därmen kommer Filip alltid att kunna göra drag efter att Anders har gjort sitt. Alltså är det Anders som först inte kommer kunna göra drag och förlorar för n>1.

Tehuset

Rekommenderad från: 13 år

[kkratings]

55 indier och turkar träffades på ett tehus. Varje person drack antingen te eller kaffe. När en indier dricker te så talar hen alltid sanning och när hen dricker kaffe så luras hen alltid, medan turkarna är precis tvärtom. På frågan ”Dricker du kaffe?” svarade 44 personer ”ja”, ”Är du en turk?” svarade 33 personer ”ja” och på frågan ”Regnar det ute?” svarade 22 personer ”ja”. Hur många indier drack te på tehuset?

Visa lösningen

Notera att det är okänt huruvida det regnade eller inte. Teoretiskt finns det alltså två olika situationer. Men ställer man upp ekvationssystem, så kan man komma fram till att ena situationen (att det inte regnar ute) är omöjlig. Här nedan följer Johans lösning, som klarar sig galant utan ekvationer.

Lösning:

Vilka är det egentligen som svarar ”ja” på frågan om de dricker kaffe? De enda som svarar ”ja” är kaffedrickande turkar (som ju talar sanning) och tedrickande turkar (som ljuger om sitt tedrickande). Så antalet ”ja”-svar är precis antalet turkar. De som svarar ”nej” är tedrickande indier (som talar sanning) och kaffedrickande indier (som ljuger om sitt kaffedrickande). Så antalet turkar är 44 och alltså är antalet indier 11.

Vad säger oss svaren på frågan ”Är du turk?” egentligen? Det är kaffedrickarna som svarar ”ja” och tedrickarna som svarar ”nej” (oavsett nationalitet). Så antalet kaffedrickare är 33 och tedrickare 22.

Eftersom antalet indier är 11 och det är 33 personer som dricker kaffe, så måste minst 22 turkar dricka kaffe. Om exakt 22 turkar talar sanning (dricker kaffe), så dricker alla indier kaffe. I det fallet finns alltså 0 indier som dricker te. Då är det enbart de 22 kaffedrickande turkarna som talar sanning på det här tehuset och alltså regnar det ute (om det inte hade regnat, skulle 33 personer ha talat sanning).

Antalet ”ja”-svar på frågor stämmer i det här fallet, så noll tedrickande indier är en möjlig lösning. Vi måste dock kontrollera att inga andra varianter finns.

Tidigare kom vi fram till att antalet kaffedrickande turkar är minst 22. Det fallet vi inte har undersökt än när de fler än 22. De talar sanning och då kan det inte regna ute (för annars skulle vi fått fler än 22 ”ja”-svar).

Då är antalet sanningssägare 33 (för de andra 22 personerna ljög och sa att det regnade). Men vi vet att antalet sanningsägare
måste var ett jämt tal. Varför det?

Genomför följande experiment. Om en turk och en indier har olika innehåll i koppen låt de byta koppar med varandra. Men då går de antingen från att båda ljuger till att båda talar sanning eller tvärsom. Låt då alla turkar ta så mycket kaffe de kan genom sådana byten. Det finns 33 kaffekoppar, så till slut dricker 33 turkar kaffe och 11 indier dricker te (det enda de kan dricka efter experimentet). Så antalet sanningsägare har blivit 44. Men notera nu att vid varje byte så ökade antalet sanningssägare med 2 eller minskade med 2 (ändrade inte paritet). Så det måste ha varit ett jämnt antal sanningssägare från början. Vilket motsäger att 33 sanningsägare från början skulle varit möjligt.

Alltså är 0 tedrickande indier den enda möjligheten.

Ett matematiskt korttrick

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

En trollkarl med förbundna ögon och hans assistent utför följande trick. Trollkarlen har 29 kort med talen 1 till 29 på. Han ger korten till någon person i publiken, som väljer ut två av dem. Resten av korten ges till assistenten, som sedan väljer två av de resterande korten och visar till personen i publiken. Personen läser upp högt båda talen för trollkarlen (i vilken ordning han vill). Därefter gissar trollkarlen vilka kort som personen valde ut i början.

Hur skall trollkarlen och assistenen förbereda sig för att alltid lyckas med tricket?

clipart-magician-012

Visa lösningen

Diskussion:

Problemet kan först verka svårt när vi har så många kort att hålla reda på. När talet i uppgiften är stort, försök att lösa samma uppgift, fast med ett mindre tal. Välj till exempel antalet kort till 5.

Ifall bara 4 kort är inblandade handlar det inte om något trick längre. Assistenen kan ju bara välja de två korten som är kvar och trollkarlen gissar förstås vilka kort som saknas.

Lösning för 5 kort:

För att tricket alltid ska funka måste varje par av tal som trollkarlen hör ge ett bestämt par av tal som trollkarlen sedan ska gissa på. Det gäller alltså att ”para ihop” par av tal och alla dessa fyra tal måste vara olika för lyckat trick. För 5 tal kanske man listar ut svaren på följande sätt:

Para ihop alla kanter i en femhörning med var sin diagonal så som det ser ut på bilden. femhörning färg

lv19_1 Till exempel så är följande kanter bruna: den som binder ihop 2 & 3, samt den som binder ihop 1 & 4. Ifall assistenten ser att åskådaren plockar bort korten 2 och 3, så pekar han på korten 1 & 4 och trollkarlen kan då komma ihåg att kanten 1 & 4 hade den bruna färgen och säga exakt vilka kort som plockades bort från början (de som också hade den bruna färgen).

lv19_2

Ett annat exempel vore om personen i publiken valde korten 1 & 3, så pekar assistenten på korten 4 & 5 eftersom de paren har samma röda färg:

Lösning för 29 kort:

De flesta skickade in lösningen som följer. Här gäller det att tänka som att alla korten läggs på rad och att efter 29 kommer 1 igen. Trollkarlen och assistenten kan även tänka att korten ligger i en cirkel i ordning.

Vad händer då om en person i publiken väljer vilka som helst två kort? Om de inte ligger bredvid varandra, så pekar assistenten på de korten som ligger direkt efter vart och ett av de bortplockade, som till exempel här:

lv19_4 Om de valda korten ligger bredvid varandra, så pekar assistenen på två kort som också ligger bredvid varandra, nämnligen de två som kommer direkt efter. Här är ett exempel:

lv19_5

Trollkarlen kan se skillnad på de olika fallen. Ligger de talen han hör inte bredvid varandra, så gäller det första fallet. Då ska han bara subtrahera 1 från varje (och säga 29 ifall något av talen var 1). Ligger talen bredvid varandra, så ska han subtrahera 2 från varje (på samma sätt här, lite speciell subtraktion vid gränsen).

Notera att lösningen fungerar på samma sätt för vilket som helst antal kort och inte bara 29.

Att täcka över en svart kvadrat

Rekommenderad från: 10 år

[kkratings]

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

vecka18

Visa lösningen

Uppdelning i nästan lika heltal

Rekommenderad från: 15 år

[kkratings]

På hur många sätt kan man skriva talet 2009 som en summa av några positiva nästan lika heltal? Talen kallas nästa lika om deras skillnad är (till beloppet) maximalt 1. Sätten betraktas som samma om det enda som skiljer dem åt är ordningen på termerna.

vecka17

Visa lösningen

Diskussion:

Först och främst ska man pröva sig fram till lösningar, för att ”känna på” problemet. Det gäller alltså att komma på några sätt att dela 2009 i några nästan lika stora delar. En första tanke är att dela upp det som en summa av lika stora delar. Hur man göra det beror på vilka tal 2009 är delbart med.

2009 = 7*287 = 7*7*41

Så till exempel har vi uppdelningarna i exakt lika termer

2009 = 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287

2009 = 1 + 1 + … + 1 (2009 stycken ettor)

2009 = 41 + 41 + … + 41 (49 stycken 41:or)

2009 = 2009

Men vad händer om vi försöker dela upp i ett visst antal termer, där antalet inte är en delare till 2009? Till exempel två termer? Då delar vi på två så gott det går, resultatet blir 1004 med rest. Men uppdelningen

2009 = 1004 + 1005

funkar ju, för att 1004 och 1005 är nästan lika.

Försök på samma sätt med tre termer. 2009 delat på 3 blir 669 och resten är 2. Då kan vi göra såhär:

2009 = 669 + 670 + 670

Den här idén med rester kommer vi att använda i lösningen.

Lösning:

Enligt villkoren måste varje sätt att summera upp till 2009 innehålla maximalt två sortes termer: ena kan uttryckas som x och andra som x+1. Ifall det fanns andra tal, skulle de inte vara nästan lika med x eller x+1.

Notera nu att för varje antal termer (beteckna antalet med n), så finns det ett sätt att dela upp 2009 i just så många nästan lika termer. Nämligen, dela 2009 med n med rest:

2009 = n*k + r

där k är kvoten och r är resten. Man vet att resten alltid är mindre än det man delade med, således mindre än antalet termer.

Likheten kan skrivas om:

2009 = k + k + … + k + r

där termen k förekommer n gånger. Men för att få just n stycken termer, fördelar vi r stycken ettor på r stycken k-termer. Det kan vi göra eftersom k är mindre än n. Således:

2009 = k + k + … + k + (k+1) + (k+1) + … + (k+1)

där termer av typen k förekommer (n-r) gånger och termer av typen (k+1) förekommer r gånger.

Så nu har vi 2009 stycken sätt att dela upp! Ett sätt för varje antal termer. Men finns det inga andra sätt?

Nej, faktiskt inte. Vi sa ju tidigare att termerna måste vara x och x+1. Har vi ett fixerat antal termer i summan

2009 = x + x + … + x + (x+1) + (x+1) + … + (x+1)

så kan vi inte ändra vare sig några x till x+1 eller tvärtom, för då skulle det hela inte summera upp till 2009.

Således är svaret: 2009 sätt.

Symmetrisk figur

Rekommenderad från: 10 år

Förkunskaper: spegelsymmetri

[kkratings]

Bygg ihop bitarna nedan till en spegelsymmetrisk figur. Varje bit skall användas exakt en gång.

tre_bitar

Visa lösningen

Klassiska bevis: Monges sats

Om du precis har börjat intressera dig för matematik, då säger jag grattis! Du kommer att bli fascinerad av problem, teorier och bevis många gånger!

Det är inte lika lätt om man fått matematiken serverad på ett guldfat sedan barnsben (eller tonårsben). Ju längre tid som går, desto mer måste man lära sig för att bli imponerad av något nytt tankesätt. Men som pris får man oftast upptäcka något ännu mer fascinerande än förra gången.

Ett av de här tillfälen var jag med om när jag för första gången besökte Uppsala. Det var någon gång vid årsskiftet 2001/2002 och jag gick i ettan på gymnasiet och kunde förstås inte så mycket om universitetsmatematik. Vilket i och för sig inte behövs för historien. Men snart får ni se hur allt ändå hänger ihop.

Vi fick sitta i ett klassrum och en matematiker berättade följade problem för oss.

Tre olika cirklar ligger i planet och de skär inte varandra (och ligger inte inuti varandra heller). För varje par av cirklar dra två linjer, som tangerar båda två cirklarna. Om cirklarna är olika stora, kommer dessa två linjer att skära varandra. Frågan är nu: kommer de tre erhållna skärningspunkterna att ligga på samma linje?

monge

Det visar sig att de måste. Försök att lösa problemet med den geometrin du kan. Det verkar vara svårt att visa, genom att bara rita linjer och bestämma vinklar i planet.

Däremot finns en elegant lösning, som använder sig utav en tredje dimension!

Varför och hur?

Det är en väldigt imponerande idé, att gå högre upp än vad som verkar behövas. Om problemet inte kan lösas, så skall man försöka att titta på det ur en annan synvinkel. Men oftast ligger svårigheten i att välja rätt synvinkel.

Just att gå upp i högre dimensioner visade sig vara nyttigt även i andra vetenskaper. Mycket förklarades av insikten om att jorden är sfärisk, extra dimensioner behövs för att strängteorin skall hålla. Även min forskning handlar om att förstå enklare strukturer genom att titta på de mer kompilcerade. Men hur hjälper den tredje dimensionen i vårt problem?

Föreställ er att det inte är cirklar, utan klot som ligger på ett plant papper, då ser det hela precis ut som på bilden om vi kollar uppifrån. Linjerna är fortfarande linjer, men i rymden kan vi faktiskt konstruera oändligt många linjer som är gemensamma tangenter till två av kloten. Alla dessa gemensamma tangenter bildar en kon, som har sin spets i papprets plan. Spetsen är då även skärningspunkten för de ursprungliga två linjerna.

Men om det finns tre kulor, så är det inte bara så att alla kan läggas på ett papper, vi kan lägga ett plant papper ovanpå dem också! Det pappret tangerar alla kloten, och det har lika mycket rätt att innehålla konspetsarna som det undre planet hade.

Således finns konspetsarna, det vill sägga de erhållna tre punkterna i båda planen. Och två plan skär varandra i en linje! Alltså ligger punkterna på en och samma linje.

Nu kan vi alltså glömma bort hela tredje dimensionen-grejen. Vi har visat att de tre punkterna ligger på samma linje i det tvådimensionella planet.

Här kan ni även titta på en film som illustrerar lösningen.

Tallskogen

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

På ett område 1km x 1km växer en tallskog. Alla tallarna har diametern 50 cm. Visa att en fältbiolog kan hitta en ledig rektangel 10m x 20m i skogen, för att kunna sola där med alla sina vänner om det finns a) 1200 b) 4200 c) 4500 d) 4600 träd i skogen.

SONY DSC

Visa lösningen

Ett hekto socker

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

En balansvåg har två skålar. Om tyngderna på skålarna är lika visar balansvågen jämvikt. Annars visar den vilken skål som är tyngre.

Det finns en stor påse strösocker, en balansvåg samt en vikt på 1g. Hur kan man snabbast väga upp ett hekto strösocker? Observera att om man lägger två sockerhögar i en och samma skål, så blandas sockret ihop. Sockerhögarna får sparas mellan vägningarna.

Visa lösningen

Det finns två saker vi måste göra: dels hitta på ett sätt att få 100 g överhuvudtaget och dels bevisa att det sättet verkligen är det snabbaste. Det är då kanske mer logiskt att göra detta i omvänd ordning: först uppskatta hur många vägningar behövs som minst, och sedan f’örsöka hitta på en algoritm för detta antal vägningar.

I allmänhet, gör alltid först den delen av lösningen som verkar vara enklast. I vårt fall är det ganska lätt att uppskatta en gräns i alla fall. Vi kan mäta hur mycket socker vi maximalt kan väga upp efter ett visst antal vägningar.

Första gången finns det bara en sak att göra: väga upp 1 g socker med hjälp av vikten. (1 g socker uppvägt)

Andra gången kan vi max väga upp 2 g socker till (placera vikten + 1 g socker på ena skålen och uppnå balans genom att hälla socker i den andra skålen). Efter detta har vi engramsvikten, en sockerhög som väger 1 g och en sockerhög som väger 2 g. (3 g socker uppvägt)

Tredje gången kan vi igen ta alltihop på en skål och på så sätt få en sockerhög som väger 4 g. (7 g socker uppvägt)

Fortsätt räkna på samma sätt, det vill säga väg upp så mycket socker som möjligt varje gång. Efter 6 gånger kommer vi ha 63 g socker uppvägt som mest. Det kan vara uppdelat i olika högar, men det är bara 63 g totalt som vi känner till massan för. Alltså räcker det inte med 6 vägningar.

Men går det med 7?

Det går faktiskt, men det är ett lite lurigt sätt. Jag tackar Johan som har berättat lösningen för mig. Djalal hade också en korrekt lösning.

Först observerade vi att man kunde dubbla all vikt man hade. Men genom att strunta i att använda engramsvikten, så kan vi dubblera allt vi hade minus 1 gram. Man kan förstås få dubletter av enskilda småhögar också, eller få en hög som vägde 1 g mer än en annan. Vi kan faktiskt även få en hög som väger 1 mindre än en viss vald, helt enkelt genom att placera den gamla högen på ena vågskålen och engramsvikten på den andra och sedan hälla socker tills det blir balans.

Första vägningen: 1 g vikt = 1 g socker

Andra vägningen: 1 g vikt + 1 g socker = 2 g socker

Tredje vägningen: 3 g socker = 3 g socker

Fjärde vägningen: 6 g socker = 6 g socker

Femte vägningen: 1 g vikt + 12 g socker = 13 g socker

Sjätte vägningen: 25 g socker = 25 g socker

Sjunde vägningen: 50 g socker = 50 g socker

Efter den sista vägningen har vi två högar med 50 g socker i varje, så det är bara att lägga ihop dem. Vi har fått ett hekto strösocker!

Snigelns underbara resa

Rekommenderad från: 15 år

[kkratings]

v13 En dag bestämde sig en snigel för att starta en resa. Snigeln rörde sig framåt längs med en rak sträcka i 6 minuter tills det var nog för dagen. Under den tiden kom några människor och tittade på snigels underbara resa. Hela tiden var snigeln betraktad av åtminstone en människa. Det visade sig att varje människa kollade på snigeln i exakt 1 minut och under den tiden kröp den exakt 1 meter. Hur mycket kunde snigeln maximalt krypa under den dagen?

Förtydliganden: För det första så betraktade varje människa snigeln bara under resans gång. För det andra, så kollade varje människa på snigeln 1 minut i sträck och inte utspritt hur som helst.

Visa lösningen