Mattebloggen

Hur man håller ett bra föredrag

Förra veckan befann jag mig på en mattekonferens i Glasgow. Temat var kategorifikationer, så ni kan gissa att de flesta av föredragen var ganska svåra. Det hände mer än sällan att jag bara förstod en liten del eller inte något alls.

Det lustiga är dock att det till en väldigt stor del beror på hur föreläsaren lägger upp presentationen och till en inte så stor del på innehållet. Själv har jag hållit i färre föredrag än det finns fingrar på min vänstra hand, men lyssnare har jag varit på många fler än vad jag kan minnas.

Så jag tänkte ge en lyssnares perspektiv på det hela. Eventuella föredragshållare som läser detta får betrakta listan som tips för eventuell förbättring.

Låt oss dock enas om att föredragen i fråga är inte för allmän publik, det vill säga snarare om något expertområde. Det kan vara en specialföreläsning för studenter, något för temadagen på högstadieskolan, men absolut inte något politiskt tal till exempel. Föredraget hålls för större publik, säg 15 personer eller fler, som kan ha mycket olika bakgrund men är intresserade av föredragets ämne (alternativ finner titeln spännande). På förhand känner föredragshållaren inte till alla i publiken.

På vilket sätt undviker man att göra det för lätt, för svårt eller med för hög sömnfaktor?

1. Förebered innehållet. Förhoppningsvis vet du på förhand vad du vill säga. Det märks tydligt om talaren kan sin sak väl och föredraget flyter smidigare om så är fallet. Skriv ner precis allt du ska säga tydligt på stödpapper, om du skall använda tavlan, i annat fall är det fördelaktigt att skippa anteckningar.

2. Planera tiden. Det är mycket vanligt att tiden tar slut innan du hunnit berätta allting. Ett sätt att undvika detta är att repetera föredraget högt själv eller framför testpublik och se hur lång tid det tar. Sedan lägg på en tredjedel av den tiden för eventuella frågor. Om det ändå blir tidsbrist när du väl gör det på riktigt, var inte rädd att avsluta tidigare än du tänkt. Visst vill man kanske förmedla något väldigt viktigt, men det kan göra mer skada än nytta när publiken ändå är för trötta för att lyssna. Tycker de att föredragets början var spännande, kommer de kanske själva komma fram och fråga det som intresserar dem efteråt. Kom ihåg att föredraget är till för publiken.

3. Presentera idén. Det finns något viktigt i det du har att säga. I matematiken är det ofta någon idé som tillämpas under föredraget. Börja gärna med att säga några ord om vad du vill förmedla och vad som är största poängen i det som kommer. Nämner man inte det alls är det stor risk att många förlorar sig i de tekniska detaljerna och då inte tar till sig idén.

4. Använd illustrationer. Säg att du använder tavlan. Kom ihåg att ”en bild säger mer än 1000 ord” och försök att vid varje tillfälle ha åtminstone en bild eller ett diagram någonstans på tavlan. Annars tilltalar inte föredraget människor med visuell förståelse. Samma sak om du använder overhead (eller powerpoint) – ha sliden liggande och synlig i åtminstone 3 minuter. Rita gärna på overheadslides eller ha stegvis uppbyggande av powerpointsidor, då ser åskådaren hur bilden skapas och mycket lättare kan följa talarens tankegång. Notera också att inte bara bilder kan vara bra illustrationer, även exempelvis vardagsberättelser kan illustrera en poäng.

5. Tala till publiken. Som sagt, du föreläser inte för tavlan, golvet eller väggen, utan för publiken. Vanan att titta på lyssnarna när man talar kommer naturligt med erfarenheten. Ögonkontakten inbjuder åskådarna till mer interaktion, som till exempel att ställa frågor.

6. Undvik sidospår. Det händer att man kommer på något extra att säga eller upptäcker ett sätt att förklara något extra noga. Inget fel i sig, men lyssnarna har (förhoppningsvis) mycket ny information att ta till sig redan. Kräver något i ditt föredrag mycket förkunskaper, är det ingen idé att försöka gå igenom dem ”lite snabbt”. Antingen kan personen som lyssnar det eller inte och på kort tid går det inte att få full förståelse. Förklara det svåra i ett par meningar och i stora drag, unvik exakta definitioner och formuleringar.

7. Ha en röd tråd. Påminn om idén från punkt 3 genom hela föredraget. Återknyt det du har berättat till din början, på så sätt blir poängen tydliga. Berättelsen blir också mer växlande: från fördjupande till övergripande. Sammanfatta gärna i slutet vad det är du egentligen har berättat om, tyvärr blir detta sällan gjort på grund av brister i tidsplaneringen,

8. Använd humor, men inte för mycket. Humor kan användas för att väcka upp folk som börjat tänka på annat. Föredrag brukar ha stort kunskapsvärde men inte så högt underhållningsdito. Å andra sidan kommer du inte uppfattas som seriös föredragare om du skämtar för mycket. Ungefär tre roliga meningar eller illustrationer per timme rekommenderas. Som i alla andra sammanhang, var positiv, du har då större chans att nå ut till dina lyssnare.

Symmetrisk figur

Rekommenderad från: 10 år

Förkunskaper: spegelsymmetri

[kkratings]

Bygg ihop bitarna nedan till en spegelsymmetrisk figur. Varje bit skall användas exakt en gång.

tre_bitar

Visa lösningen

Klassiska bevis: Monges sats

Om du precis har börjat intressera dig för matematik, då säger jag grattis! Du kommer att bli fascinerad av problem, teorier och bevis många gånger!

Det är inte lika lätt om man fått matematiken serverad på ett guldfat sedan barnsben (eller tonårsben). Ju längre tid som går, desto mer måste man lära sig för att bli imponerad av något nytt tankesätt. Men som pris får man oftast upptäcka något ännu mer fascinerande än förra gången.

Ett av de här tillfälen var jag med om när jag för första gången besökte Uppsala. Det var någon gång vid årsskiftet 2001/2002 och jag gick i ettan på gymnasiet och kunde förstås inte så mycket om universitetsmatematik. Vilket i och för sig inte behövs för historien. Men snart får ni se hur allt ändå hänger ihop.

Vi fick sitta i ett klassrum och en matematiker berättade följade problem för oss.

Tre olika cirklar ligger i planet och de skär inte varandra (och ligger inte inuti varandra heller). För varje par av cirklar dra två linjer, som tangerar båda två cirklarna. Om cirklarna är olika stora, kommer dessa två linjer att skära varandra. Frågan är nu: kommer de tre erhållna skärningspunkterna att ligga på samma linje?

monge

Det visar sig att de måste. Försök att lösa problemet med den geometrin du kan. Det verkar vara svårt att visa, genom att bara rita linjer och bestämma vinklar i planet.

Däremot finns en elegant lösning, som använder sig utav en tredje dimension!

Varför och hur?

Det är en väldigt imponerande idé, att gå högre upp än vad som verkar behövas. Om problemet inte kan lösas, så skall man försöka att titta på det ur en annan synvinkel. Men oftast ligger svårigheten i att välja rätt synvinkel.

Just att gå upp i högre dimensioner visade sig vara nyttigt även i andra vetenskaper. Mycket förklarades av insikten om att jorden är sfärisk, extra dimensioner behövs för att strängteorin skall hålla. Även min forskning handlar om att förstå enklare strukturer genom att titta på de mer kompilcerade. Men hur hjälper den tredje dimensionen i vårt problem?

Föreställ er att det inte är cirklar, utan klot som ligger på ett plant papper, då ser det hela precis ut som på bilden om vi kollar uppifrån. Linjerna är fortfarande linjer, men i rymden kan vi faktiskt konstruera oändligt många linjer som är gemensamma tangenter till två av kloten. Alla dessa gemensamma tangenter bildar en kon, som har sin spets i papprets plan. Spetsen är då även skärningspunkten för de ursprungliga två linjerna.

Men om det finns tre kulor, så är det inte bara så att alla kan läggas på ett papper, vi kan lägga ett plant papper ovanpå dem också! Det pappret tangerar alla kloten, och det har lika mycket rätt att innehålla konspetsarna som det undre planet hade.

Således finns konspetsarna, det vill sägga de erhållna tre punkterna i båda planen. Och två plan skär varandra i en linje! Alltså ligger punkterna på en och samma linje.

Nu kan vi alltså glömma bort hela tredje dimensionen-grejen. Vi har visat att de tre punkterna ligger på samma linje i det tvådimensionella planet.

Här kan ni även titta på en film som illustrerar lösningen.

Mattecirkel: lektion i lådprincipen

Vår mattecirkel tuffar på vidare. Den är fortfarande med Anna, men eftersom jag tänkte skriva lite fiktion här, så skriver jag inte ut det i titeln.

För nyligen läste jag i en klok bok om hur man lär ut induktion. Bland annat fanns en påhittad dialog mellan en elev och en lärare där bådas tankegångar var klara. Man kunde se vanliga tankefel hos eleven och hur man kunde sätta eleven på rätt tankespår genom ledande frågor.

Den senaste gången handlade vår lektion om lådprincipen, som är även känd under namnet Dirichlets princip. Här är några av problemen som löstes:

1. a) Bland 22 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Visa att de finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida.
b) Bland 21 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Kan man vara säker på att det finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida?

2. Det finns 15 små hål i en maläten matta 4×4 m. Visa att man kan klippa ut en liten matta av storlek 1×1 som är utan hål eller med ett hål på kanten.

3. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

Och här är ett (!) utav möjliga scenarion för en genomgång om lådprincipen.

Läraren: Tänk på följande problem. I en kasse ligger vita och svarta strumpor. Hur många strumpor måste man som minst ta upp ur kassen (om man måste dra på måfå) för att garanterat få upp två strumpor av samma färg?

…

Eleven: Det måste ju vara 3 strumpor! Har vi maximalt otur kommer de första två strumporna vara av olika färger. Men då måste den tredje ha samma färg som nån av de första två. Så minsta antalet är 3 strumpor.

Läraren: Helt rätt! Men var försiktig med vad du menar med ”maximal otur”. Till exempel, att först dra upp en vit strumpa och sedan en svart eller lika mycket otur som att först dra upp en svart strumpa och sedan dra upp en vit. Och i uppgiften är det inte viktigt att få upp strumporna så snabbt som möjligt, utan vara säker på att dra upp två lika för ett visst antal.

Nästa fråga: I en studentkorrior på 5 rum bor 6 personer. Visa att det finns ett rum med minst två personer.

Eleven: Enkelt! Sätter man in 1 person i varje rum så blir det 1 över och då måste den personen flytta in i något rum där det redan finns nån!

Läraren: Men varför måste det vara minst 1 person i varje rum, det stod det inget om i villkoren?

Eleven: Nej, ok, men det var det sämsta möjliga fallet.

Läraren: På sätt och vis är väl alla fallen ”sämst” hur vi än gör, det blir ju minst 2 personer i något rum i alla fall? Varför skulle vi inte kunna omplacera personerna på något smart sätt så att det inte behöver vara 2 eller fler i något rum?

Eleven: Men det går ju inte! Om något rum blir tomt, så måste det bli fler med ett annat!

Läraren: Men nu utgår du ändå från att du först placerar in 1 person i varje rum.

Eleven: Ok, jag börjar om från början. Om det är 0 eller 1 personer placerade i varje rum, så räcker inte rummen till för 6 personer.

Läraren: Precis! Nu har du i stort sett bevisat lådprincipen. Om det finns n stycken rum och fler än n personer, och personerna bor i rummen, så måste något rum ha minst 2 personer. Eller, i en mer välkänd version:

Om n lådor innehåller minst n+1 duvor, så innehåller någon låda minst 2 duvor.

Bevis är precis som i problemet. Om varje låda skulle innehålla maximalt 1 duva, skulle n lådor maximalt innehålla n duvor. Motsägelse.

Lektioner fortsätter på liknande sätt och problemen ökar i svårighetsgrad. Problem nummer 2 skulle kunna vara följande:

I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

Oftast är det bra att poängtera när man går igenom lösningen vad som är lådor och vad som är duvor. Det är inte så självklart i problemen från utdraget ovan. Notera också att man oftast drar igenom beviset för lådprincipen varje gång istället för att bara citera den. Det är essentiellt för förståelsen av principen.

Tallskogen

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

På ett område 1km x 1km växer en tallskog. Alla tallarna har diametern 50 cm. Visa att en fältbiolog kan hitta en ledig rektangel 10m x 20m i skogen, för att kunna sola där med alla sina vänner om det finns a) 1200 b) 4200 c) 4500 d) 4600 träd i skogen.

SONY DSC

Visa lösningen

NMC 2009

Igår skedde en viktig etapp i att utse Sveriges vassaste (i matematik) gymnasieelever. Det var det nordiska matematiktvälingen NMC (Nordic Mathematical Contest). Ungefär 20 personer från varje land i Norden får delta i tävlingen, men det är inte så mycket kamp mellan länder, som kamp inom länder. Löser man flest problem i sitt eget land, har man stor chans att komma vidare till den internationella matematikolympiaden (som i sin tur är lika mycket en persontävling som landtävling).

Här är årest problem. Hur många kan du lösa? (Jag har löst tvåan än så länge).

Klassiska bevis: roten ur 2 irrationellt

Flera av mina bekanta har berättat för mig vad deras första möte med riktiga matematiska bevis var. Och man märker kanske inte först att det man läser eller hör om är så kallade riktiga bevis, förrän man läser ordet ”bevis” explicit. De första sådana för var och en kunde ha varit bevis för Pythagoras sats, något induktionsbevis eller motsägelsebevis.

Här tänkte jag berätta om den mest klassiska klassikern av motsägelsebevis, nämligen att roten ur 2 är ett irrationellt tal.

Vad betyder irrationellt?

Ett irrationellt tal är ett tal som inte går att få med hjälp av naturliga tal 0, 1, 2, 3 …. och de aritmetiska operationerna +, -, * och /. Talen som däremot går att få på det sättet kallas rationella, till exempel $\frac{(5-10)}{3}=\frac{-5}{3}$ . Rationella tal kan alltså skrivas som bråk.

Irrationell och rationell är helt enkelt motsatser. På grund av den här negativa definitionen (det vill säga definiera något genom att använda ett ”inte”), är det naturligt med ett negativt bevis till påståendet (det vill säga motsägelsebevis).

Påstående: $\sqrt2$ är ett irrationellt tal.

Tankegång: Vi skall alltså bevisa att $\sqrt2$ inte är ett rationellt tal. Kan verka svårt först, vi kan ju inte riktigt testa alla möjligheter, alla bråk som överhuvudtaget går att få fram. T.ex. (bara ett exempel nu, helt onödigt för beviset!!!):

Är $\sqrt2=\frac{3}{2}?$ Nej, för då skulle deras kvadrater vara lika $2=\frac{9}{4}$ , vilket absolut inte är sant!

Men det finns oändligt många bråk, vi kan sitta och gissa bråk som är ungefär lika med roten ur 2 och sedan verifiera att de inte är exakt lika. Men bara för att vi inte kan hitta något bevisar inte att det inte finns!

Det är nu vi inser att det faktiskt skulle vara lättare att på något sätt testa alla möjligheter samtidigt. Med det menar jag att vi antar att det finns ett sådant bråk och vi sedan kommer fram till att det aldrig kan bli likhet med roten ur 2. Det är kärnan i alla så kallade motsägelsebevis: antag att det går (antag det positiva påståendet, det utan ”inte”) och kom fram till motsägelse.

Bevis: Antag att roten ur 2 är lika med något bråk. Förkorta bråket så långt det går, så att nämnaren och täljaren inte längre går att dela med samma heltal. Vi har alltså nu:

$\sqrt2=\frac{a}{b}$ och a och b är heltal som inte har någon gemensam delare.

Som förut försöker vi kontrollera likheten genom att kvadrera:

$2=\frac{a^2}{b^2}$ ,

så

$2{b^2}=a^2$ .

Varför är denna likhet omöjligt då? Vi tar hjälp av talteori, läran om heltal och delbarheter.

Vänsterledet $2b^2$ är ett jämnt tal, så högerledet, $a^2$ måste vara det också. Alltså går $a$ att dela med 2, dvs $a=2k$ , där $k$ är ett heltal. Skriv om likheten:

$2{b^2}=(2k)^2=4k^2$ .

MEN detta innebär ju att $b^2=2k^2$ så med samma resonemang som förut får vi att $b$ är ett jämnt tal. Men nu kommer vi fram till motsägelse, eftersom i situtationen då både $a$ och $b$ är jämna går det faktiskt att förkorta bråket (med 2). Nu är vi faktiskt klara.

Vi blev klara så fort vi fick motsägelse i vår lösning. Det är därför det heter motsägelsebevis.

Ett hekto socker

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

En balansvåg har två skålar. Om tyngderna på skålarna är lika visar balansvågen jämvikt. Annars visar den vilken skål som är tyngre.

Det finns en stor påse strösocker, en balansvåg samt en vikt på 1g. Hur kan man snabbast väga upp ett hekto strösocker? Observera att om man lägger två sockerhögar i en och samma skål, så blandas sockret ihop. Sockerhögarna får sparas mellan vägningarna.

Visa lösningen

Det finns två saker vi måste göra: dels hitta på ett sätt att få 100 g överhuvudtaget och dels bevisa att det sättet verkligen är det snabbaste. Det är då kanske mer logiskt att göra detta i omvänd ordning: först uppskatta hur många vägningar behövs som minst, och sedan f’örsöka hitta på en algoritm för detta antal vägningar.

I allmänhet, gör alltid först den delen av lösningen som verkar vara enklast. I vårt fall är det ganska lätt att uppskatta en gräns i alla fall. Vi kan mäta hur mycket socker vi maximalt kan väga upp efter ett visst antal vägningar.

Första gången finns det bara en sak att göra: väga upp 1 g socker med hjälp av vikten. (1 g socker uppvägt)

Andra gången kan vi max väga upp 2 g socker till (placera vikten + 1 g socker på ena skålen och uppnå balans genom att hälla socker i den andra skålen). Efter detta har vi engramsvikten, en sockerhög som väger 1 g och en sockerhög som väger 2 g. (3 g socker uppvägt)

Tredje gången kan vi igen ta alltihop på en skål och på så sätt få en sockerhög som väger 4 g. (7 g socker uppvägt)

Fortsätt räkna på samma sätt, det vill säga väg upp så mycket socker som möjligt varje gång. Efter 6 gånger kommer vi ha 63 g socker uppvägt som mest. Det kan vara uppdelat i olika högar, men det är bara 63 g totalt som vi känner till massan för. Alltså räcker det inte med 6 vägningar.

Men går det med 7?

Det går faktiskt, men det är ett lite lurigt sätt. Jag tackar Johan som har berättat lösningen för mig. Djalal hade också en korrekt lösning.

Först observerade vi att man kunde dubbla all vikt man hade. Men genom att strunta i att använda engramsvikten, så kan vi dubblera allt vi hade minus 1 gram. Man kan förstås få dubletter av enskilda småhögar också, eller få en hög som vägde 1 g mer än en annan. Vi kan faktiskt även få en hög som väger 1 mindre än en viss vald, helt enkelt genom att placera den gamla högen på ena vågskålen och engramsvikten på den andra och sedan hälla socker tills det blir balans.

Första vägningen: 1 g vikt = 1 g socker

Andra vägningen: 1 g vikt + 1 g socker = 2 g socker

Tredje vägningen: 3 g socker = 3 g socker

Fjärde vägningen: 6 g socker = 6 g socker

Femte vägningen: 1 g vikt + 12 g socker = 13 g socker

Sjätte vägningen: 25 g socker = 25 g socker

Sjunde vägningen: 50 g socker = 50 g socker

Efter den sista vägningen har vi två högar med 50 g socker i varje, så det är bara att lägga ihop dem. Vi har fått ett hekto strösocker!

Mattecirkel med Anna: lektion 2

Här är ett smakprov av vår andra lektion, som handlar om att väga saker på en balansvåg och avgöra om de är lätta, tunga, falska etc. Här nedan ser ni några av lektionens svåraste problem.

lektion2

Nu kan man försöka analysera vad det är egentligen som lärs ut på mattecirkeln. På sätt och vis är lektionerna mycket mer lika spel än någon annan undervisningsform. Mycket görs på egen hand och man ”levlar” när problemernas svårighetsgrad ökar. Samtidigt används det man samlade på sig under tidigare ”levels” (lättare problem).

En bra lektion lär ut idéer. Den här lektionen lärde inte ut någon specifik idé, utan var en härlig blandning av olikheter, informationsteori, falluppdelning och kombinatorik. Som inte i sig är metoder, utan just idéer till lösningar. Jag avslutar med ett citat:

What is the difference between method and device? A method is a device which you used twice.

–George Pólya, ”How to solve it”

Kan man lära ut matte med hjälp av spel?

Eller en ekvivalent fråga: kan man lära sig matte med hjälp av spel?

Jag har lagt till en spelsida på bloggen med lite snodda småpussel. Syftet med detta är ännu oklart, men det fick mig att tänka på ovanstående frågor. Så nu menar jag alltså spel för en person, säg datorspel.

Kännetecken för spel är det interaktiva, det som just är kärnan i allt lärande.

Säg till exempel att ni skall förstå situationen ”kontinuerlig, men inte deriverbar (i en viss punkt)”. Någon säger till er att denna situation förekommer och ni försöker förstå varför detta är möjligt. Ni kommer kanske på själva eller oftast berättar läraren rakt av exemplet y=|x|, beloppfunktionen. Aha, nu är det klart hur det kan vara möjligt!

spel

Något senare träffar ni på ett annat exempel, som den till höger. Och visst passar den och ni kanske kommer ihåg den i kort tid. Men om någon frågar er om en funktion som är kontinuerlig men inte differentierbar i alla punkter, så föreställer ni er först av allt y=|x|. Lite för att ni såg den först, men mest för att ni förstod den först.

Det kanske inte var ett jättebra exempel. Men fråga nästan vem som helst som har bevisat något. Om man bevisar någonting själv, men sedan får se ett snyggare och kortare bevis för samma sak, minns man ändå med all säkerhet sitt egna bevis, men inte det andra.

Därför är det helt avgörande för inlärningen hur mycket eleven själv får jobba.

Kan man då på något sätt få in matematikens lärdomar i ett spel? Vad är det man redan kan lära sig i existerande spel?

Tag sudoku till exempel. Brukar stå i tidningar ”träna din hjärna mha en sudoku varje dag” osv osv. Det sudoku egentligen tränar är:

1. Förmågan att se över mönstret och urskilja det viktiga, till exempel titta på alla 9:or och fylla i dem som saknas.

2. Tekniken ”systematisk fallundersökning”. Ifall det finns flera möjligheter för en viss siffra, så kanske man skriver en möjlighet lite smått i en ruta och försöker forsätta. Det viktiga här är att inte glömma alla fall.

3. Problemlösningförmågan ifall man löser svåra sudokun. Om man inte fuskar och läser på nätet så kanske man upptäcker en ny metod själv.

Det är inte mer än så. Det händer ännu mindre om man spelat på samma nivå länge.

Poängen med de spelen jag överhuvudtaget kan komma på är att de tränar ”skills” och inte lär ut någon kunskap/fakta. Mycket lättare är det för ämnet historia, många har lärt sig största delen spelandes Civilization och Europa Universalis och inte i skolan. Historia handlar per definition om människans interaktion.

Matematiken och andra naturvetenskaper är mycket mindre beroende av människan.

Ett bra mattespel skulle gå ut på att spelaren löser problem eller hittar bevis. Det får mig att tänka på spelen som liknar Myst, det vill säga quest-spel. Man spelar väsentligen genom att klicka på saker i rätt ordning, gå till olika platser och hitta samband mellan saker som händer. Brukar vara jättekul att spela tills man fastnar på någon svår sekvens.

Går det att göra något liknande med ren matematik? Säg att man samlar ihop lappar med definitioner och påståenden. Lägger man dem i rätt ordning, så kommer kanske ett lemma ut. Och sista bossen är Fermats stora sats!

Låter inte som världens mest spännande spel, men tål att funderas vidare på. Slutsatsen jag drar är att spel kan träna och utveckla specifika förmågor, som är nyttiga i matematikstudier. Logisk resonering, mönsterseende, allt detta kommer till nytta. Men förståelsen för matematisk teori verkar omöjlig att lära ut på något sätt som inte är ekvivalent med traditionell lärare eller bok.