Katedralskolan – Mattebloggen

Bäst resultat vinner!

Den senaste träffen på Katedralskolan genomförde vi en liten tävling bland deltagarna.

Varje deltagare fick 5 stycken problem att lösa på kort tid. Dock behövde inte problemen lösas fullständigt, utan det viktiga var att uppnå ett resultat. Men jämna mellanrum samlade jag in resultaten på varje problem. Sedan får det sämsta resultatet 1 poäng, nästa resultat får 3 poäng och så vidare.

Till exempel, när det hade gått 5 minuter av tävlingstiden så lämnade deltagarna in sina svar (tillsammans med exempel) på problem 1. Säg att deltagarna lyckas med svaren 20, 22, 20 och en lösning är felaktig. I det här fallet är det bra att ha så litet svar som möjligt. Personen med svaret 22 får då 1 poäng, personerna med svaren 20 får då 4 poäng var (de delar jämnt på 3- och 5-poängaren). Personen utan giltig lösning får inga poäng.

Testa själv att uppnå så bra resultat som möjligt på 25 minuter. Läs igenom problemen först och starta sedan klockan. Posta gärna dina bästa resultat i kommentarerna sedan, så kan vi se vem som vinner ”tävlingen” här på bloggen.

Fem minuter per problem

1. Placera springare på schackbrädet 8×8 för att de ska angripa samtliga lediga rutor. Ju få springare desto bättre.

2. Skriv ner på en rad några på varandra följande positiva heltal som har siffersummor ej jämnt delbara med 8. Ett exempel: 18, 19, 20. Ju fler tal desto bättre.

3. Fyll i en tabell av format 3×5 med olika positiva heltal. Summan i ett vilket som helst par grannrutor skall inte vara jämnt delbart med 3. Som grannar räknas rutor med en gemensam sida eller ett gemensamt hörn. Ju mindre det största talet i tabellen blir desto bättre.

4. Hitta ett tal med samma siffersumma som siffersumman hos 1992 och samma sifferprodukt som sifferprodukten hos 1992. Ju större talet är desto bättre.

5. Det finns tillräckligt många kort med talen 9, 49, 169, 289, 729 och 625. Plocka ut ett antal kort med summan 2004. Ju färre kort desto bättre.

Problemlösning lådprincipen

Den här vårterminen har jag äran att tillsammans med en annan lärare leda problemlösningskursen på Katedralskolan i Uppsala! Vi håller 2 timmarslektioner för intresserade elever på skolan, samt för nior som ska börja läsa där.

Tanken med träffarna är att träna eleverna inför kommande tävlingen SMT (SM i matte för gymnasister) och utveckla elevernas problemlösningsförmåga. Framförallt ska vi ha kul och upptäcka spännande ny matte tillsammans.

Problemlösning intro
Problemlösning heltalsekvationer

Nedan är den tredje lektionen som jag höll i (femte lektionen totalt).

Problemlösning Katedralskolan, 2012-05-09

Lådprincipen

“Om tio duvor sitter i nio lådor, så måste någon låda innehålla minst två duvor”

0. På en skola går 400 elever. Visa att två av dem fyller år samma dag.

1. a) Niklas har en stor låda med vita och svarta strumpor. En morgon har han bråttom och vill få ett par matchande strumpor så snabbt som möjligt ur lådan. Hur många strumpor måste han dra upp på måfå för att vara säker på att få ett par av samma färg?

b) Samma fråga, men med tre färger.

c) Det finns nu 10 vita, 10 röda samt 10 vita strumpor i lådan. Hur många strumpor ska Niklas dra på måfå för att vara säker att få upp alla olika färger?

2. I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

3. Det finns 15 pyttesmå hål i en maläten matta 4m×4m. Visa att man kan klippa ut en liten matta av storlek 1m×1m som är utan hål.

4. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

5. På Jorden utgör havet mer än hälfen av planetens yta. Visa att det finns två diametralt motsatta punkter på planeten, som båda ligger i havet.

6. 65 elever gjorde nationella provet i Engelska B. På mutliga, skriftliga respektive förståelsedelen kunde man få IG, G, VG eller MVG. Stämmer det att man kan hitta två elever som fick samma betygskombination?

7. Visa att vilka fem personer man än tar, så har två av dem samma antal kompisar i den gruppen.

8. Visa att vilka 52 heltal man än tar, så går det att hitta två vars summa eller skillnad är delbar med 100.

9. På ett militärlager finns kängor i storlek 41, 42, 43, två hundra kängor av varje storlek. Totalt är det tre hundra vänsterkängor och tre hundra högerkängor. Visa att man kan bilda åtminstone 100 par kängor som matchar.

Extraproblem. Visa att bland 6 personer går det alltid att hitta tre som känner varandra eller tre som inte känner varandra.

Problemlösning heltalsekvationer

Nedan är den andra lektionen som jag höll i. Vi övade på att lösa ekvationer, där variablerna var heltal. Vi gick igenom uppgift 0 på tavlan och totalt sett löstet uppgifterna 1-5. Det var en svår lektion med andra ord.

Inte det roligaste ämnet heller inom problemlösning tycker jag, men sådana här uppgifter träffar man jämt på i SMT-kvalen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-25

Tal och ekvationer

0. Hur många lösningar har ekvationen xy = 10
a) i positiva heltal;
b) i heltal;
c) i reella tal?

1. Produkten av tre positiva heltal är 77 medan deras summa är mindre än 77. Bestäm summan.

2. Samtliga portar i ett hyreshus har samma antal våningar. Det finns lika många lägenheter på varje våning. Man vet att antalet våningar är större än antalet lägenheter per våning vilket i sin tur är större än antalet portar. Det finns minst två portar. Totalt finns det 105 lägenheter. Bestäm antalet våningar.

3. Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till ekvationen 4x+7xy = 100.

4. Produkten av två positiva heltal är 19 större än kvadraten på det första talet. Bestäm det andra talet.

5. En 40-foting har ett huvud, en drake har tre huvuden. Det flyger en svärm av sådana djur. Det finns totalt
а) 26 huvuden och 298 fötter;
b) 39 huvuden och 648 fötter.
Hur många fötter har en drake?

6. Finns det sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y² = 21;
b) x²-y² = 20;
c) x²-y² = 22?

7. Av en rutad kvadrat klipper man en mindre rutad kvadrat. Det finns 23 rutor kvar. Bestäm storleken på den större kvadraten.

8. Det är ett känt faktum att 1993 är ett primtal. Bestäm om det finns sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y²=1993;
b) x³-y³=1993;
c) x⁴-y⁴=1993.

9. (SMT) Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 17 positiva heltal som endast innehåller siffran 7 och ange alla sådana framställningar. Två framställningar som skiljer sig enbart beträffande termernas ordning räknas bara en gång.

10. (SMT) Bestäm x² + y² + z² om x, y, z är heltal som uppfyller
x + y + z = 60
(x − 4y)² + (y − 2z)² = 2

Blandade problem

1. a) Man har suddat första siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 7. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.
b) Man har suddat andra siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 6. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.

2. (SMT) Differensen mellan tva femsiffriga heltal ar 246. Visa att de tio siffror som ingår i de båda talen inte alla kan vara olika.

Problemlösning intro

Nedan är första lektionen, som kan användas som introduktion till problemlösning för intresserade elever. Problemen 0 och 5 går man igenom på tavlan genom att tillsammans med eleverna få fram lösningen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-11

Startuppgifter

0. I en skål växer en bakteriekultur. Varje sekund delar sig alla bakterier i två nya. Efter en minut är skålen helt full med bakterier. Efter hur länge var skålen full till hälften?
(Ledtråd: tänk från slutet.)

1. En bit föll ur en gammal tidskrift. Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?

2. Du har tillgång till 24 kg spikar och en balansvåg med två skålar. Hur kan du mäta upp 9 kg spikar?

3. En snigel tar sig upp för en påle, den börjar från markens nivå. Varje dag kommer snigeln upp 5 cm, medan varje natt åker den ner 4 cm. När kommer snigeln upp till toppen, om pålen är 75 cm lång?

4. Ta bort 10 siffror från talet 1234512345123451234512345, så att talet som står kvar är så stort som möjligt.

Problemlösningstips 1: lös ett “förenklat” problem

5. I en 5×5-tabell står det ett plustecken i en hörnruta och i alla andra rutor står ett minustecken. En tillåten operation är att invertera alla tecken i en hel rad eller en hel kolonn. Går det att genom tillåtna operationer få alla tecken till att vara plus?
(Svar: nej. Ledtråd: titta på samma problem för en 2×2-tabell)

6. Det finns en träkub med sidan 3 cm. Det är ganska lätt att såga upp den i 27 små kuber med sidan 1 cm genom att såga sex gånger. Går samma sak att genomföra med färre sågningar om det är tillåtet att flytta bitarna emellanåt?

7. Visa att en konvex polygon med n hörn har vinkelsumman 180(n-2) grader.

8. Visa att n(n+1)(n+2) är delbart med 6 för alla heltal n.

9. Lös ekvationen (x²+x-3)²+2x²+2x-5 = 0

Logikövningar

10. I ett hav bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:
– Jag har 8 armar. Och du har bara 6.
Då blev den mörkblåa sur:
– Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.
Den svarta bläckfisken höll med:
– Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!
Varpå den randiga bläckfisken sade:
– Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.
Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?

11. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! ” ”I vilken stad brinner det? ” ”I Turmö ”. Till vilken stad skall brandkåren?

Mattecirkel på Katedralskolan i höst

Jag är glad att annonsera nyheten: det kommer hållas en matematikcirkel för intresserade gymnasieelever i höst! Som bas kommer jag att ha Katedralskolan i Uppsala (alternativt rektorsvillan), men elever från alla skolor är givetvis välkomna.

Detta har jag sett fram emot länge. Det som börjar i höst är dock på lite högre nivå än högstadiet och kanske med mer vikt på tävlingsproblem. Mattecirkeln ska kunna förbereda eleverna för Skolornas Matematiktävling, SMT.

Cirkeln välkomnar eleverna i årskurs 1-3 och även nyfikna 9:or. Man behöver inga förkunskaper än högstadiematte och cirkeln kommer inte att ta upp så mycket av skolmaterialet (Matte A, B osv). Uppgifterna som kommer att tas upp liknar snarare gåtorna på den här bloggen.

Vi drar i gång ungefär i mitten av september! Jag återkommer med mer information.