Gammaldags klocka
En gammaldags klocka slår lika många slag som antalet timmar är när den slår in en ny timme: Till exempel slår den 2 slag om klockan är 2 på dagen eller naten och 12 slag om det är 12 på dagen eller natten. Dessutom slår den exakt ett slag i mitten av varje timme (det vill säga precis halv ett, halv två osv.). Vilket är det största antalet slag som klockan göra under 2015 minuter i sträck?
Lösningen till problemet för de yngre vecka 46
Mattegåta
När Dag tog studenten, fick han en klocka som hade en timvisare, en minutvisare och en sekundvisare. Hur många gånger per dygn sammanfaller alla tre visarna? (Förklara varför.)
Diskussion
Det här var ett svårt problem. Ett förvirrande faktum är vi måste studera tiden i dubbel bemärkelse. Problemet hade egentligen varit densamma ifall tre löpare hade sprungit med olika hastigheter runt en bana. Vi undrar när alla tre träffas, så vi kommer betrakta visarna som löpare.
Hur snabba är de då? Sekundvisaren är snabbast och ”springer” med hastigheten ett steg per sekund (stegen är de 60 markeringarna på klockan). Sedan kommer minutvisaren som tar en sextiondedels steg per sekund och långsammast är timvisaren, som ”promenerar” med hastigheten 1/720 steg per sekund (5 steg per timme eller 60 steg på 12 timmar). Nu kan vi pilla med hastigheterna om vi vill för att se när de olika visarna träffar varandra.
Lösning
Vi kan börja med att undersöka när två av visarna, minutvisaren och timvisaren, träffar på varandra under ett dygn. De börjar klockan 0:00 på samma ställe, på tolvan, och sedan rycker minutvisaren iväg. Eftersom minutvisaren klarar av 60 steg på en timme, medan timvisaren tar 5 steg, kommer de att träffas nästa gång efter mer än 1 timme. Mer exakt tar det faktiskt 12/11 av en timme. Minutvisaren drar iväg sedan och kommer gå om timvisare med jämna mellanrum.
Så minut- och timvisaren träffas:
1. efter 0 timmar (de börjar på samma ställe)
2. efter 1 och 1/11 timme
3. efter 2 och 2/11 timme
4. efter 3 och 3/11 timme
5. efter 4 och 4/11 timme
6. efter 5 och 5/11 timme
7. efter 6 och 6/11 timme
8. efter 7 och 7/11 timme
9. efter 8 och 8/11 timme
10. efter 9 och 9/11 timme
11. efter 10 och 10/11 timme
12. efter 11 och 11/11 timme = 12 timmar
13. efter 13 och 1/11 timme
14. efter 14 och 2/11 timme
15. efter 15 och 3/11 timme
16. efter 16 och 4/11 timme
17. efter 17 och 5/11 timme
18. efter 18 och 6/11 timme
19. efter 19 och 7/11 timme
20. efter 20 och 8/11 timme
21. efter 21 och 9/11 timme
22. efter 22 och 10/11 timme
23. efter 23 och 11/11 timme = 24 timmar, vilket är ett nytt dygn, så det räknas inte!
Så minutvisaren och timvisaren träffas 22 gånger per dygn, men vilka av gångerna hakar sekundvisaren på?
Vi kan kolla på vilka positioner sekundvisaren hamnar efter perioder på 1 och 1/11 timme. Sekundvisaren har hastigheten 3600 steg per timme, så totalt kommer den gå en massa varv plus 3600/11 steg som är lika med 327 och 3/11 steg som är lika med 5 varv och 27 och 3/11 steg. Så på klockan kommer visaren att hamna mellan femman och sexan nånstans. Vi kollar alla situationer då timvisaren sammanföll med minutvisaren:
1. sekundvisaren är på 0 steg = prick på klockan 12!
2. sekundvisaren är på 27 och 3/11 steg = mellan kl 5 och kl 6
3. sekundvisaren är på 54 och 6/11 steg = mellan kl 10 och kl 11
4. sekundvisaren är på 21 och 9/11 steg = mellan kl 4 och kl 5
5. sekundvisaren är på 49 och 1/11 steg = mellan kl 9 och kl 10
6. sekundvisaren är på 16 och 4/11 steg = mellan kl 3 och kl 4
7. sekundvisaren är på 43 och 7/11 steg = mellan kl 8 och kl 9
8. sekundvisaren är på 10 och 10/11 steg = mellan kl 2 och kl 3
9. sekundvisaren är på 38 och 2/11 steg = mellan kl 7 och kl 8
10. sekundvisaren är på 5 och 5/11 steg = mellan kl 1 och kl 2
11. sekundvisaren är på 32 och 8/11 steg = mellan kl 6 och kl 7
12. sekundvisaren är på 59 och 11/11 steg = 60 steg = 0 steg = prick på klockan 12!
Sedan upprepar historien sig!
Ingenstans, förutom klockan 12 på natten och på dagen hamnar sekundvisaren ens mellan rätt siffror (t.ex. i situation 8 är sekundvisaren mellan kl 2 och kl 3, medan minut- och timvisaren är mellan kl 7 och kl 8). Detta betyder att alla tre visarna träffas exakt två gånger per dygn!
Matteproblem för de yngre vecka 46
Mattegåta
När Dag tog studenten, fick han en klocka som hade en timvisare, en minutvisare och en sekundvisare. Hur många gånger per dygn sammanfaller alla tre visarna? (Förklara varför.)
