Etikett: längd

Fyrhörningens diagonal

I fyrhörningen ABCD är AB = 5 cm, BC = 17 cm, CD = 5 cm, DA = 9 cm och sträckan BD är ett helt antal cm. Hur lång är sträckan BD?

Bilden är inte exakt, utan endast schematisk

Visa lösningen

Sträckan BD är kortare än ”omvägen” BA + AD, således kortare än 5 cm + 9 cm = 14 cm. Men på samma sätt måste sträckan BC vara kortare än ”omvägen” BD + DC. Så sträckan som är 17 cm lång ska vara kortare än BD + 5 cm. Därför måste BD vara längre än 12 cm. Men sträckan BD var ett helt antal centimeter lång, så det måste vara exakt 13 cm.

Vill du få extrainfo om problemlösning via e-post från Mattebloggen?

Det kan vara allt från problemlösningstips till info om olika tävlingar. Din e-postadress kommer att hanteras varsamt.

Namn

E-post

Författare Valentina ChapovalovaPublicerat den 10 december 201502 januari 2016Kategorier Roliga mattegåtor, TävlingEtiketter diagonal, fyrhörning, längd, sträckaLämna en kommentar till Fyrhörningens diagonal

Uppdelad rektangel

[kkratings]

En rektangel är uppdelad i 6 kvadrater (se bilden nedan). Hur stor är den största kvadraten om den minsta har sidlängden 1cm?

Obs! Figuren är inte nödvändigvis perfekt, därför räknas det inte som en lösning att mäta längderna.

Visa lösningen

Om vi betecknar sidan på de nedre vänstra kvadraten med a, så kan vi räkna ut att den största kvadratens sida är 2a – 1, eftersom den och den minsta kvadraten tillsammans är lika långa som de två kvadraterna med sida a tillsammans. Vidare kan vi på liknande sätt räkna ut att nästa kvadrat har sida 2a-2 och den nedre högra har sidan 2a-3:

Eftersom hela figuren är en rektangel, så är höjden densamma både på vänstra och den högra sidan. Alltså har vi att:

a + (2a – 1) = (2a – 3) + (2a – 2)

Detta kan förenklas till:

3a – 1 = 4a – 5

Således är a = 4. Den största kvadratens sida beräknas då till 2*4 – 1 = 7.

Författare Valentina ChapovalovaPublicerat den 03 december 201212 mars 2013Kategorier Geometri, Roliga mattegåtorEtiketter kvadrat, längd, rektangel, uppdelningLämna en kommentar till Uppdelad rektangel

Triangellandet

[kkratings]

Triangellandet har formen av en liksidig triangel. En inre gräns delar landet i två stater, som har lika stor area. Beskriv hur gränsen ser ut (formen och positionen) om den har den minsta möjliga längden.

Visa lösningen

Låt oss anta för enkelhets skull att triangelns sida är 1. Då är landets area $\frac{\sqrt 3}{4}$ .

Det finns två fall: antingen går gränsen från ett hörn till den motsatta sidan eller mellan två sidor.

Fall 1.

Om en sträcka ska gå från ett hörn till den motsatta sidan i en triangel och dela den i två delar med lika stora areor, så måste sträckan vara medianen (och alltså även höjden). I en liksidig triangel är höjden lika med $\frac{\sqrt 3}{2}$ .

Fall 2.

Vi tittar på den lilla triangeldelen som bildas, den ska ha arean $\frac{\sqrt 3}{8}$ . Den har å andra sidan vinkel 60 grader och areaformeln säger: