Etikett: liksidig triangel

Låt oss anta för enkelhets skull att triangelns sida är 1. Då är landets area .

Det finns två fall: antingen går gränsen från ett hörn till den motsatta sidan eller mellan två sidor.

Fall 1.

Om en sträcka ska gå från ett hörn till den motsatta sidan i en triangel och dela den i två delar med lika stora areor, så måste sträckan vara medianen (och alltså även höjden). I en liksidig triangel är höjden lika med .

Fall 2.

Vi tittar på den lilla triangeldelen som bildas, den ska ha arean . Den har å andra sidan vinkel 60 grader och areaformeln säger:

Arean = .

Således och , oavsett formen på triangeln.

Vi försöker minimera sidan , till vår hjälp har vi cosinussatsen:

Vi skall minimera , alltså och således även

För att hela uttrycket ska bli så litet som möjligt, bör kvadrattermen vara lika med 0. Alltså har vi:

Då kan vi räkna ut längden på den minsta gränsen i det här fallet:

Det blev en mindre sträcka än i det första fallet, således är svaret .