trigonometri – Mattebloggen

Klurig fyrhörning

Rekommenderad från: 17 år

[kkratings]

En konvex fyrhörning ABCD har kända sidlängder: AB = 5, BC = 10, CD = 14, DA = 11. Fyrhörningens diagonaler skär varandra med en viss vinkel. Hur stor är den vinkeln?

Visa lösningen

Lösningen till problemet för de äldre vecka 42

Mattegåta

Vilket är värdet av följande integral?

Diskussion

Uttrycket under integralen ser ju lite hemskt ut. Tillämpa då en av de viktigaste reglerna i matte:

Ser du något hemskt, gör variabelbyte!

Men vilket variabelbyte skall göras? Det som skulle passa oss i slutet är någon form av trigonometriskt samband som skulle förenkla integralen.

I vårt fall har vi något som liknar ”trigonometriska ettan” så det får vi sträva efter.

Trigonometriska ettan

För en godtycklig vinkel $\alpha$ gäller:

$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$

Så ett byte att tänka på är en sådan som gör om cosinus till sinus eller vice versa.

Lösning (av Erik Svensson)

Vi börjar med att separera integralen, så att vi får två integraler, en för cosinus-delen och en för sinus-delen:

Vi använder sedan det trigonometriska faktum att sin(x) = cos(x-pi/2) för att skriva om den innersta sinusfunktionen i sinus-integralen:

Vi genomför variabelbytet u = x-pi/2. Integralen får då de nya gränserna -pi/2 till 0:

Vi observerar dock att cos(u) är en jämn funktion, varför vi kan ändra gränserna och få samma integral från 0 till pi/2.

Om vi nu slår samman våra två integraler, och betraktar dem som en gemensam integral över x, då får vi den välkända trigonometriska ettan:

Integralens värde blir då förstås differensen av ändpunkterna, det vill säga pi/2.

Matteproblem för de äldre vecka 42

Mattegåta

Vilket är värdet av följande integral?

Minnesregler för trigonometri – del 2

Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.

Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?

Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:

$!\text{sin}(2x)=2\text{sin}x\text{cos}x!$

$cos2x=cos^2x-sin^2x$

Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakta samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin (2sinxcosx=2cosxsinx). Men cosinus är inte alls rättvis! Den ställer sig själv i kvadrat på första plats, medan hans vän sinus får nöja sig med andra platsen och ett minustecken.

Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.

Jämför med formlerna för skillnad mellan två vinklar:

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta sinxcosy först, för att x är det som står först (och av sinus och cosinus måste ju sinus prioritera sig själv lite före). Cosinus busar igen och ändrar tecknet till plus.

Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.

Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna (länk bild från del 1), så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.

Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.

Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?

Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:

$sin(2x)=2 sinx\cdot cosx\ \ \ (=sinx\cdot cosx+cosx\cdot sinx)$

$cos(2x)=cos^2x-sin^2x\ \ \ (=cosx\cdot cosx-sinx\cdot sinx)$

Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakt samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin: ( $2\cdot sinx\cdot cosx=2\cdot cosx\cdot sinx$ ). Men cosinus är inte alls rättvis! Den ställer sig själv i kvadrat på första plats, medan hans vän sinus får nöja sig med andra platsen och ett minustecken.

Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:

$sin(x+y)=sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny$

$cos(x+y)=cosx\cdot cosy-sinx\cdot siny$

Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.

Jämför med formlerna för skillnaden mellan två vinklar:

$sin(x-y)=sinx\cdot cosy-cosx\cdot siny$

$cos(x-y)=cosx\cdot cosy+sinx\cdot siny$

Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta $sinx\cdot cosy$ först, för att x är det som står först (och av sinus och cosinus måste ju sinus prioritera sig själv lite före). Cosinus busar igen och ändrar tecknet till plus.

Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.

Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna, så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.

sincostabell

För $sin90^\circ=sin(30^\circ+60^\circ)$ , så $1=sin(30^\circ+60^\circ)$ , så 1 ska bli resultat av några operationer mellan $sin30^\circ$ , $cos30^\circ$ , $sin60^\circ$ och $cos60^\circ$ som är $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt 3}{2}$ , $\frac{\sqrt 3}{2}$ och $\frac{1}{2}$ respektive. Då känns det ganska rimligt att det ska bli $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\cdot \frac{\sqrt 3}{2}$ . Så förmodligen är $sin(x+y)=sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny$ , men för att vara helt säkra, kan vi kolla att t.ex. likheten

$sin90^\circ=sin(45^\circ+45^\circ)=sin45^\circ\cdot cos45^\circ+cos45^\circ\cdot sin45^\circ$ stämmer. Stämmer det så är det hög chans att vi använde rätt formel.

Mer tecken på sinus är snäll och rättvis:

$sin(-x)=-sinx$ , minus är med på båda sidorna lika mycket. Detta innebär att sinus är en så kallad udda funktion.

Och att cosinus är skum och dum:

$cos(-x)=cosx$ , tecknet försvinner bara sådär. Det betyder att cosinus är en jämn funktion.

Minnesregler för trigonometri – del 1

Det finns vissa saker som man bara måste lära sig utantill. Det kan tyckas att det är det enda som gäller i matten, men det kan räcka ganska långt att kunna bara några få formler.

Till exempel så kan vi prata om trigonometri. Jag tänkte dela med mig lite tips om hur man bäst kommer ihåg det essetiella och hur det går att härleda allt det viktiga därifrån.

För det första måste man lära sig vad sinus och cosinus är för någonting.

Båda två är funktioner som ger ut ett tal, när man stoppar in en vinkel. Men vad är det för tal? När vinkeln är känd (och mindre än 90 grader), så kan vi rita en rätvinklig triangel med den vinkeln. Låt oss säga att vår vinkel kallas för x. Det går förstås att rita flera olika stora rätvinkliga trianglar med x, men det kommer inte spela någon roll.

Vi mäter sidorna på vår uppritade triangel och konstateterar att kateterna är a och b långa och hypotenusans längd betecknar vi c. Då är sinus värde lika med den motstående kateten genom hypotenusan och cosinus är den närliggande kateten genom hypotenusan. Alla likformiga trianglar har samma förhållande mellan sidorna, därför spelar det ingen roll vilken storlek på triangeln vi väljer.

ratvinklig_sin_cos

ratvinklig_kossa Men hur ska man komma ihåg vilken funktion som är vilken om man nyss har lärt sig dem? Tänk på att cos (cosinus) låter lite som ”kossa” och kossan den är lat, därför vill den vara nära sin vinkel (orkar inte gå till motstående sidan). Och sin är då den andra funktionen.

Ett annat sätt att komma ihåg det är att sinus är snäll och cosinus är elak. Så sinus offrar sig och går till den motstående sidan. Fler tecken på sinus snällhet och cosinus elakhet kommer vi se i del 2.

Om du nu kan lite vanlig geometri är det inga problem att räkna ut sinus och cosinus för flera kända vinklar! Här väljer jag att mäta vinklarna i grader.

De saker som du behöver kunna är:

– Pythagoras sats

– vad vinkelsumman i en triangel är

– att likbenta trianglar har basvinklarna lika

– att trianglar med lika basvinklar är likbenta

Vi kan då räkna ut vad sinus för vinkeln 30° är, om man inte minns det. Rita såklart först en rätvinklig triangel med en vinkel lika med 30°. Och eftersom vinkelsumman för vilken triangel som helst är 180°, så är den sista vinkeln lika med 180°-90°-30° = 60°.

90-60-30x2

Rita sedan upp en likadan triangel, fast spegelvänd, och för ihop halvorna. Det som bildas är förstås en ny triangel, eftersom vinklarna på 90° passar ihop och bildar en linje. Men notera att den stora triangeln har alla vinklarna lika med 60°, därför är den liksidig. Alltså är c = 2a.

Nu är det lätt att räkna ut sinus av vinkeln 30°.

$sin 30^\circ = \frac{a}{c}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$

På så sätt är det rätt enkelt att lista ut vad cos 60° är för någonting. Det är nämligen samma som sinus 30°, eftersom om vi kollar på de två olika spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, så blir enas motstående sida den andras närliggande och tvärtom. Hypotenusen är densamma.

Men hur tar vi reda på sin 60° (och samtidigt cos 30°)? För det måste vi bestämma förhållandet b/c. Men eftersom $a^2+b^2=c^2$ (Pythagoras sats), så kan vi i vårt fall skriva:

$(\frac{1}{2}c)^2+b^2=c^2$
så $b^2=c^2-\frac{1}{4}c^2=\frac{3}{4}c^2$

Eftersom alla längder är positiva har vi $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ och då är

$sin 60^\circ = cos 30^\circ = \frac{b}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Och hur gör vi nu med vinklarna 0°, 45°, 90° grader? Det går faktiskt att rita upp motsvarande triangel och ”triangel”. Fundera på vad sinus och cosinus för de respektive viklarna blir. Faciten kommer i nästa del.

Om man minns de här trianglarna är det möjligt att alltid räkna ut sinus eller cosinus som man behöver. Men om det är lite svårt med geometrin, finns det en rätt bra minnestabell.

Skriv upp alla ”kända” vinklar: 0°, 30°, 45°, 60° och 90°. Deras sinus och cosinus följer då ett intressant mönster:

sincostabell