A Mathematician’s Lament och allt som är fel med matematikundervisningen i skolan

Rolig matte?

Det är inte eleverna som är dålig och inte heller är det lärarnas fel att “matematiken” inte går in i elevernas hjärnor. Titta istället på kursplanerna för dagens mattekurser och försök att motivera varför vi på 2000-talet ska lära ut andragradsekvationer till samtliga gymnasieelever. Om du använder dig av matte i ditt liv försök att svara ärligt på hur mycket studierna egentligen har förberett dig.

A musician wakes from a terrible nightmare. In his dream he finds himself in a society where
music education has been made mandatory. “We are helping our students become more
competitive in an increasingly sound-filled world.”

Citatet ovan är från texten A Mathematician’s Lament, skriven av Paul Lockhart redan 2002. Jag läste den för bara ett par veckor sedan och den var fortfarande högaktuell och kommer vara det ett långt tag framöver! Jag har hittat texten som jag kommer utgå från när jag förbereder matematiklektioner i framtiden. Läs den! Du kanske håller med eller tycker att den är helt överdriven, men förhoppningsvis kommer den leda dig till nya tankar om matematikundervisningen i Sverige.

10 reaktioner till “A Mathematician’s Lament och allt som är fel med matematikundervisningen i skolan”

  1. Jag läste den för kanske ett år sedan och har tidvis tänkt tillbaka på den.

    Den första delen är djup och har rätt i mycket av vad den vill säga, men när författaren kommer till förslagen på hur det hela ska förändras, så blir det alldeles för överdrivet. Om jag ser på mina egna bildlektioner och tänker mig att matematik skulle läras ut på samma vis, så inser man snabbt att det i en stor del av skolorna blir lekstuga, vilket implicerar att eleverna varken lär sig räkna, som nu, eller tänka, enligt förslaget.

    Dessutom krävs det vissa färdigheter, innan man kan skapa något kreativt. Precis som man för att måla en vacker tavla behöver god teknik, behöver man för att visa viktiga satser inom matematiken, ofta goda kunskaper i algebraisk manipulation och andra matematiska trix, som inte kan läras direkt ur en lärobok, utan behöver nötas in.

  2. Jag tycker att på de exempel han visar (t.ex. uppgiten med cirkeln) så blir det snarare “laborationer” än lekstugor. Jag skulle vilja kalla ideallektionen för “kreativ verkstad”. Såklart behövs vissa färdigheter, men jag ser det som att färdigheterna vevs in i problemen på så sätt att eleven är villig att lära sig dem för att klara den mer intressanta uppgiften. Tyvärr förekommer inte så många exempel på det i texten. Det återstår för oss att hitta på sådana problem.

    Sedan tror jag att man lär sig att tänka så länge man håller på med kreativ aktivitet på lagom avancerad nivå.

    Hur tycker du mattelektioner ska se ut för att de ska vara givande för så många som möjligt?

  3. Det jag menar med lekstuga, är att den redan bristande disciplinen kommer bli ännu sämre, vilket implicerar att inte mycket blir gjort under dessa föreslagna lektioner. Om man tar ämnet bild, som till stor del lärs ut på det föreslagna viset, finns det många exempel på att elever inte får något betyg, inte på grund av att de ej är kapabla, utan att de helt enkelt ser på hela ämnet mycket slappt, på grund av att den ofta lärs ut så, och då helt enkelt inte gör sina uppgifter.

    Stora konstnärer är ofta mycket kreativa, men för detta krävs väldigt digra färdigheter, som de ofta har. När jag, som inte är duktig i bildämnet, blir tillsagd att med hjälp av penseln uttrycka en känsla eller ett skeende, så kan jag inte göra detta, eftersom mina färdigheter inte räcker till. Detta kan dock exempelvis Picasso mycket väl och det beror på att han har färdigheterna, bland annat. Jag tror att samma problem kommer uppstå, om man tar Lockharts förslag till det yttersta.

    Samtidigt anser jag att dagens matematikutbildning inte heller håller måttet. Det främsta felet är nog att man ser på skolan som en fabrik. När barn är sex år, sätts de in, och tio år senare kan man ta ut dem och då har alla blivit goda medborgare. Saken är den att det inte fungerar så. Varje person lär sig på sitt eget sätt. För det första är grupperingen av elever i åldrar närmast godtycklig; det finns många exempel på personer som är yngre som lär sig lättare än andra äldre i vissa ämnen eller för den delen även alla. Vissa personer lär sig audiellt, andra visuellt, några bättre ensamma, andra bättre i en liten grupp och de tredje behöver en stor grupp. Det finns ett glapp i hela systemet, men det är det inte mycket att göra åt.

    När jag gick i mellanstadiet hade jag lyckan att ha en någorlunda medelmåttig matematikbok. Visst kunde man bli förargad på den ibland, men den innehöll inte överdrivet många standarduppgifter, som jag har sett att många andra böcker gör. Det är häri mycket av problemet ligger, att eleven får en metod kastad i ansiktet och sedan en överdriven drös med uppgifter påhittade endast för att passa metoden. Ibland förklaras inte ens metoden eller varför den fungerar.

    Till exempel kan man ta hur man lär in niondeklassare att beräkna volymen på ett klot. I min bok fick jag en formel och ett löst exempel. Jag frågade läraren och fick till svar att det inte är något att bry sig om, ty man först kan förstå detta med hjälp av rotationsintegraler från Ma E. detsamma står i lärarpärmen för boken. Det finns dock ett sätt, som de gamla grekerna kände till, att härleda formeln på euklidisk väg. Eleverna måste helt enkelt acceptera att den fungerar. Detta är fel.

    Så jag håller med dig om, att man bör börja ta mer hänsyn till kreativiteten, dock inte enligt Lockhearts förslag, där matematiken blir som bild, utan att istället för enbart typuppgifter också ta med lite intressantare ting, åtminstone till en början.

  4. Jag håller med dig, Toomas, om att man kanske inte kan följa Lockhearts förslag fullt ut, men jag tror att det går att följa det mer än du tror. Valentina har rätt då hon säger att det snarare blir laborationer än lekstugor. Du skriver att man först behöver kunskaper och färdigheter innan man kan göra något med dem, men jag tror att man kan få dessa kunskaper just genom att experimentera, laborera och lösa problem. Man lär ju inte sig att måla genom att först nöta in en massa kunskaper, utan genom att experimentera, och prova sig fram tills man har hittat sina tekniker. Sedan skadar det förstås inte om läraren kommer med tips om sådana.

    Jag är inte heller superförtjust i sådana där böcker med formel, exempel och en massa tråkiga standarduppgifter “påhittade för att passa metoden”, utan även intresserad av att i grunden veta hur allting fungerar. Jag håller med om att lärarna borde förklara sådant mycket mer.

    Sedan blev jag lite nyfiken på det där med klotets volym. Hur lyder grekernas metod? Och om du dessutom råkar veta hur man kommer fram till deriveringsreglerna också, så tar jag gärna del av det med. Det där är saker jag länge har undrat. ;)

  5. Om du menar att man skall reformera undervisningen till att den mer är styrd av problem och frågor, än svar, så håller jag med dig. Det som är problemet med många matematikböcker är att de just endast innehåller svar, och inga frågor. Om man inte redan sedan innan känner till ämnet, kommer framställningen att upplevas som obegriplig, ty man inte vet varför man gör något. Jag anser dock fortfarande att innan man kan springa, så behöver man lära sig att gå. Jag tror inte att färdigheterna fullt ut kan läras in genom att pröva sig fram, ty se till många av dagen elevers förkunskaper: jag har vänner i samma ålder som mig, som inte förstår bråk. Hur skall de då kunna resonera abstrakt kring problem, där dessa kunskaper krävs?

    Grekernas metod består av en tredimensionell konstruktion, likt den som används för att bevisa att en pyramids volym är en tredjedel av prismats volym, som står på samma basyta. Här tar man ett halvklot och omskriver den med en cylinder, vari man placerar en kon som sedan inverteras. Med hjälp av klassiskt geometriskt resonemang kan man sedan komma fram till att volymen av halvklotet är volymen av cylindern subtraherat med volymen av konen. Det illustreras detaljrikare på http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.01/rahul1.html och http://www.algebra.com/algebra/homework/Volume/proof-of-volume-of-a-sphere.lesson

    Deriveringsreglerna kommer man fram till med hjälp av derivatan definition, vilket halvt beskrives i Ma C och D, men detaljrikare i Envariabelsanalys, som jag dock ännu själv inte har studerat. Det visar sig att om man har två grafer och vill beräkna arean mellan dem, så kan man dela upp den i en så kallad Riemannsumma, där man skär den i oändligt många och “oändligt” tunna skivor och adderar dem. Det är detta man kallar en integral. Vidare visar det sig att man kan beräkna denna, genom att finna den primitiva funktionen till funktionen i integralen, det vill säga derivera funktionen i integralen baklänges, och sedan beräkna differensen mellan funktionsvärdet av den primitiva funktionen där den oberoende variabeln varierar från den övre till den undre integrationsgränsen, det vill säga värdena som man arean man vill beräkna begränsas av. Ett klot är dock ett tredimensionellt objekt, och vi vill beräkna volymen, inte arean. Detta kan göras med det betydligt mer komplicerade flervariabelsanalysen, eller genom att göra en smart konstruktion. Man låter grafen rotera runt x-axeln, och på något vis, som dock för mig ännu är obekant, så kan man återigen komma på ett motsvarande sätt att integrera på, som dock nu ger en volym, och inte en area. När man väl kan detta, skulle det visst vara helt elementärt.

  6. Självklart ska problem anpassas efter förkunskaperna. Dina kompisar som fortfarande inte kan bråk (jag har sådana också) kan nog också lösa problem om än till att börja med inte så abstrakta. Ett problem är en uppgift man inte vet hur man löser, så t o m 1-1/2-1/3 kan vara ett problem för vissa. Denna uppgift tog det t e x fyra mellanstadielärare på min förra skola att lösa tills den duktigaste av dem kom på att man kan rita en cirkel, dela upp den i sex delar och fylla i den med olika färger. Detta problem förutsätter endast att man kan förlänga bråk och att man kan subtraktion av bråk med lika nämnare.

    Problemet med en mer problembaserad undervisning skulle dock i början vara stress för läraren. Jag tror inte att alla lärare vågar göra en förändring i undervisningen bara sådär. Eleverna skulle i början också klaga om de fick problem kastade i ansiktet när de har vant sig vid att ha problem vid standarduppgifter. Efter ett tag skulle det nog däremot bli bra.

  7. Det är väldigt intressant att få höra hur ni som är elever uppfattar matteundervisningen. Jag har själv inte så mycket erfarenhet av “vanlig undervisning” då jag bara gick i åttan i en vanlig svensk skola och då fick hålla på med eget arbete på matematiklektionerna. Kommer dock ihåg att nästan ingen i min klass hade VG eller MVG i matte, kanske 3 av 25.

    Det verkar som att vi är eniga om att undervisning kan klassas som tråkig eller i alla fall otillräcklig, då handlar det om att man inte går inte på djupet med fakta och inte förklarar hur och varför. Min filosofi är att i det ideella fallet upptäcker eleven själv något mönster eller samband och det är endast då man lär sig matematik “på riktigt”. Detta är förstås inte svart och vitt utan det finns en sorts skala av självständiga upptäckter. Läraren leder upptäckterna men väl ställda problem, han kan göra stegen korta och lättillgängliga eller något klurigare (men roligare för dem som vill ha utmaning). Förstås kan man lära sig matematisk kunskap, vad det nu är, på många andra sätt också, inklusive genom visuella eller verbala uttryck. Men jag anser inte att sådan kunskap “stannar kvar” i hjärnan när den inte längre behövs. Upptäckterna under laborationslektioner är det som gör ämnet intressant.

    Jag anser att bild, sång och många andra färdigheter lär man sig bäst genom egen övning och det är där liknelsen är som störst med matematiken. Jag skulle inte ha något emot undervisningen i bild som liknar min matematikundervisning. Kanske skulle en lektion se ut så här: först frågar jag eleverna om enskilda färger. Vilka färger tycker de känns gladare än andra? Vilka blir man lugn av? Sedan skulle jag ge uppgifter i att uttrycka någon känsla, exempelvis glädje, i en färgkombination. Sedan kanske vi diskuterar former. Sedan ber jag uttrycka en mer abstrakt känsla, t.ex. frustration. Så däri ligger likheten, i ökande svårgihetsgrad på uppgifterna, men bildämnet anser jag vara mycket friare. Det är kanske svårare att lära sig än matte, men det är svårare att göra fel också. De viktigaste gemensamma principerna är att ju mer man utövar ämnet, desto lättare blir det att utöva det i framtiden. Och ju mer uppgifterna tilltalar eleverna desto mer gärna vill de utöva ämnet. Nu när jag tänker efter skulle jag hitta på roligare bilduppgifter :)

    Angående färdigheter. Det är förstås mycket svårt som lärare att jobba med en ojämn grupp. Naturligtvis kan man inte lära ut särskilt mycket abstrakt talteori om inte eleverna kan bråk. Men de kan inte bråk just för att det är himla tråkigt att göra typuppgifter om bråk. Det skulle inte vara så svårt att åtgärda en enskild kunskapslucka för en lärare om det fanns lite tid. Jag tror och hoppas att det går att baka in “bråkkunskaper” i en laborativ lektion där slutproblemen är intressanta även för dem som kan bråk sen innan. Matematiken är ju inte linjär utan man kan förgrena sig hur mycket som helst i varje delämne och eventuellt sitta och experimentera med något enskilt problem. Det är mycket man kom lära sig på vägen om problemet är roligt.

    Enormt arbete är det för läraren förstår, om skolor ser ut som de gör nu. Håller med om att det inte är det bästa att stoppa in elever i samma ålder i samma klass. En idé jag har är att skapa sådana här laborativa lektioner och lägga upp på hemsidan så att alla lärare kan ladda ner dem. Väldigt bra idé det här om kloten förresten, skulle kunna bli en fin avslutning på en serie lektioner om volymer.

  8. Det är en jättebra idé du har fått med att skapa laborativa lektioner. Det vore även för mig väldigt roligt att kolla på dem och kanske se om jag kan tillämpa dem på lektioner som jag håller i skolan lite då och då. ;)

    Jag ville också gärna dela med mig lite av min egen erfarenhet av sådana lektioner. På min skola (och Kunskapsskolan i Sverige överhuvudtaget) finns det stora mattesatsningar som märks av på olika sätt. För min del innebär det att ha en extra mattelektion med problemlösning varje vecka med andra matematikintresserade i årskursen, plus att en gång om året få åka på internatvecka (om man kan kalla tre dagar för en vecka) för att ha en massa laborativmatte tillsammans med de allra duktigaste från alla Kunskapsskolor i landet. Vi har faktiskt gjort många intressanta saker där.

    I sexan jobbade vi mest med talsystem och gjorde bland annat en japansk abakus plus att vi tävlade om vem som kunde skriva om tal till det binära talsystemet först. (Det senare var ingen lärarbestämd aktivitet utan något vi gjorde för att vi var färdiga och hade tråkigt. Det är lätt att komma på egna övningar när man befinner sig i en nördig atmosfär.) Dagarna avslutades med en övning då skulle välja ett talsystem mellan 2 och 9, tillverka en abakus som passar detta talsystem samt beskriva hur den fungerar. Av någon anledning fastnade dock inte vad vi hade lärt oss särskilt bra på de andra från min skola. Det kan nog bl a bero på att de inte har fått så mycket användning för det de lärt sig efter att de hade kommit hem. En laboration är ganska onödig om den inte har med den vanliga undervisningen att göra…

    I sjuan introducerades wikisarna för oss. Då fick efter att ha löst en uppgift redovisa hur vi hade tänkt på en wiki. Vi gjorde övningar som hade med pi och cirklar att göra. En övning som jag tyckte mycket bra om för att den var lärorik, var uppgiften att göra en kon med en viss bottenyteradie och höjd. För mångas del handlade det om att inse att mantelytan på en kon är en hoprullad cirkelsektor och inte en triangel. Dessutom fick de flesta lära sig Pythagoras sats. Det är väldigt intressant att se hur folk löser denna uppgift. De flesta gjorde det och gjorde även någon sorts ny upptäckt. Till och med för mig var det utmanande.

    I åttan gjorde vi några mycket roliga uppgifter. Tyvärr kräver många av dem ganska avancerad utrustning. Temat var matematiska modeller.

    Den första intressanta uppgiften kräver mycket dyr utrustning. Vi hade speciella ultraljudsmätare som kunde mäta hur långt vi befann oss från apparaten och rita ett st-diagram. Vi fick alltså några grafer och vi skulle försöka få apparaten att rita dessa genom att röra oss fram och tillbaka i olika hastigheter framför den. Det känns så otroligt synd att utrustningen inte finns på skolan då denna övning hade passat även för icke-nördar för att ge förståelse för funktioner och grafer.

    Den andra intressanta uppgiften handlade om att verkligen göra en fysiklaboration och försöka skapa en matematisk modell för förändringarna. Man fick välja mellan att testa hur mycket en fjäder dras ut under en speciell vikt eller att med elektricitet värma upp vatten och se hur varmt det sker beroende på mängd vatten, och höjden på spänningen. Vi fick helt enkelt systematiskt testa olika vikter eller mängd vatten och spänning och mata in i Excel. Därefter gjorde vi diagram och kom fram till olika sorters resultat. Vissa kom kanske bara fram till att högre spänning till exempel ger snabbare uppvärmning, medan andra lyckades komma med en formel på det genom att göra en linjär regression. Det gav t ex mig nytta när jag skulle ge mig på Matematik B. Jag har dock en viss synpunkt. Uppgifter med t ex linjal o dyl som mest avancerade utrustning ger endast frustration. Om man inte kan få tillräckligt säkra mätvärden kan man inte heller få någon bra matematisk modell. Matte blir det endast av uppgiften om resultatet blir tillförlitligt. Därför kan det vara bra om man har tillgång till ett välutrustat fysiklabb till det här och lärare som kan använda utrustningen. Det här handlar mest om tillämpad matte, men det är väldigt intressant.

    Fördelen med dessa lektioner är verkligen att alla löser problemen på olika sätt, lär sig olika saker och när man byter grupp och kanske löser ett annat problem så kan alla bidra med det de själva har lärt sig tidigare och slå ihop kunskaperna. På dessa lektioner diskuteras mycket och elever från olika grupper hjälper ibland varandra. Jag tycker det är mycket bra. Det är bara lite synd att vi inte får så mycket användning av dessa kunskaper i vanliga skolan. Det handlade t ex i sexan om fel saker. Sjuan och åttan var bättre.

    Sedan vet jag inte riktigt till vilken grad alla dessa uppgifter skulle kunna tillämpas i ett vanligt klassrum. På dessa lektioner var vi ju mest högpresterande elever. I en vanlig högstadieklass skulle det kanske inte fungera, men väl på naturvetenskapsprogrammet i de lättare kurserna. Jag håller med om att det kan bli ganska problematiskt med det vanliga systemet där alla i samma ålder är i samma klass oavsett nivå. Det är mest därför jag går på Kunskapsskolan…

    Sedan blev jag bara lite nyfiken på dig, Valentina. Du skriver att du bara gick i den vanliga svenska skolan i åttan. Vad gjorde du i nian? :P

  9. Vilket häftigt program du går Lisa! Jag hade ingen aning om att det fanns grundskolor som var så pass bra på matematikundervisning. Varför tyckte du att det var fel saker ni gick igenom i sexan? Blev aldrig de olika talsystemen användbara?

    Jag själv har aldrig gått i nian, utan hoppade över det och började på Danderyds mattegymnasium direkt efter åttan.

  10. Nja, talsystem ingår inte riktigt i grundskolematten. Vissa lärare lär ut det som fördjupning, men det är inget man behöver kunna. Vi har visserligen haft återkommande uppgifter om det binära talsystemet på de där extra mattelektionerna (spetsmatte), men då fick jag oftast förklara det på nytt varje gång. I och för sig så finns det bara en person kvar förutom mig som åkte dit i sexan av de fyra personerna som går på nians spetsmattelektioner, men ändå…

    Sedan vet jag inte exakt hur det är för alla andra i matten, bara att min skolas system funkar utmärkt för mig. Det finns medelmåttor också. Dessa tror jag faktiskt kan råka illa ut på grund av systemet. Det finns till exempel flera elever som brukar gå till mig för mattehjälp när de anser att lärarna inte förklarar tillräckligt bra. Det känns som att systemet mest stöttar högpresterande och lågpresterande medan det ibland kan bli svårt för en medelmåtta att få hjälp. Med mitt VG i engelska får jag knappast något extra stöd fastän jag blir allt sämre för varje termin som går. Allt har sina fördelar och nackdelar.

Kommentera