Matematik i Genikampen – första avsnittet

I höst är jag en av deltagarna i SVT:s program Genikampen. Programmet går i åtta avsnitt och jag tänkte beskriva händelserna i avsnitten ur ett matematiskt perspektiv.

Själv är jag matteintresserad och har övat mycket i problemlösning. Jag tror att detta har gjort mig smart på flera sätt, inte bara bra i huvudräkning. Matte för mig är så mycket mer än att räkna och därför vill jag visa nedan hur man kan tänka på ett matematiskt sätt även när man inte “räknar”. Matte för mig handlar om att tänka.

Foto: Knut Koivisto  /SVT
Foto: Knut Koivisto /SVT

Orientering på sträcka

Tävling ett börjar med att vi blir uppdelade i lag med 6 personer i varje. Uppgiften är att orientera i skogen, det vill säga passera 4 kontrollpunkter innan man kommer fram till målet. Laget får en karta, men ingen kompass. Det gäller att göra detta inte på kortast tid, utan på kortast sträcka! Två personer i laget har GPS-sändare, som sträckan mäts på, men även de andra 4 personerna i laget ska hålla ihop med personerna med GPS, ingen får “scouta” framme. (Överlag fick deltagarna veta reglerna i detalj och även fick ställa förtydligande frågor, vilket inte visas i tv.)

Jag antar att man tar medelvärdet av de två GPS-positionerna för att få fram banan för att sedan mäta avståndet. Vi fick veta att om avståndet skiljde sig med mindre än 50 m, så var det tiden som gällde. 50 m var så pass lite i sammanhanget (man gick kanske i 35 minuter), så det rätta valet var att strunta totalt i tiden och fokusera på att gå precis kortast.

Hur hjälper matten här då? Jo, man bestämmer att personerna med GPS-sändarna måste gå så rakt som möjlig (DUH!). Detta löser man genom att de inte går först, utan i mitten eller sist. Då kan de personerna som går först gå lite fel (och på så vis “scouta”). Om personerna som går först går längs med kateterna i en rätvinklig likbent triangel med kateterna 3 m, så kommer personen med GPS:en gå “bara”

\sqrt{2}*3 \approx 4,24 m

4,24 m istället för 6 m alltså! En vinst på 1,76 m! Sker detta 100 ggr, vilket var rimligt för banan, så vinner man redan 176 m på att gå så. Pythagoras sats ftw!

Givetvis är detta egentligen en försumbar optimering i jämförelse med att “gå rätt”, vilket sätter orienteringsskills över matten i det här fallet. Så är det ibland, men lite bidrag från olika sätt att tänka här och var är sånt som avgör tävlingarna.

Foto: SVT /SVT
Foto: SVT /SVT

Orientering på tid

Andra delen av första tävlingen gick ut på att orientera på ett fabriksområde och hitta halvgömda kontoller. I kontrollerna fanns ledtrådar, mer om dem senare. Här hade gula laget 3 minuters försprång, vilket visade sig inte bara hjälpa, utan stjälpa.

Det fanns nämligen i princip två optimala sätt att ta kontroller (med kortast sträcka): medurs eller moturs (ordningen för kontrollerna blev ganska naturlig), eftersom man skulle tillbaka till samma ställe. Gula laget började, men eftersom blåa laget följde samma riktning, kunde de spara tid på att inte leta efter kontroller, utan observera det gula laget när de var precis ikapp, men lite efter. Det hade blivit annorlunda ifall det blåa laget hade valt motsatt riktning, då skulle förmodligen inget lag få fördel (eller i alla fall är den förväntade fördelen lika) av att vara “efter”. Banorna skulle korsa varandra i ungefär mitten och då skulle det blivit mer “rättvisst”. Lite kul ändå att slumpen påverkar!

Uträkningar

Sista delen av första tävlingen gick ut på att göra uträkningar (Genikampen kallar det “lösa ekvationer”, men jag håller inte med om den termen, eftersom “ekvationer” för mig förutsätter ett närvaro av ett “lika med”-tecken och någonting okänt.) Om uppgifterna görs i fel ordning (det vill säga, man försöker få ett resultat utan att veta att KATT = 2 och HARE = 5), så kan man inte få ett svar, men man kan förenkla uttrycken. Gula laget öppnade just ett uttryck med okända först (och visste ju inte vad som väntade), så det enda som fanns i början var att förenkla, vilket gjorde att man kunde räkna ut resultatet av det uttrycket snabbare efteråt.

lapp123

lapp456

Som sagt, beräkningar är inte allt som matte är. Nu råkar jag vara snabb på att göra aritmetiska beräkningar, men kanske hälften av de verksamma matematiker jag träffar är inte bra på snabba beräkningar alls. Det är lite som att vara bra på Rubiks kub: Man har antingen lärt sig det eller inte. Man kan vara smart på knep & knåp utan att vara bra på Rubiks kub. Jag skulle inte heller säga att de som är bra på huvudräkning är automatiskt bra på matte, även om man förmodligen är bra på att se mönster, vilket hjälper en att räkna snabbare. Överlag, de som är bra på räkning är personer som är så pass lata att de vill göra det snabbt :)

Testa dig själv på tid om du tycker att det är kul att räkna. Facit.

Paintball-quiz

Andra tävlingen gick ut på att ha paintball-dueller med frågesport. Inte jättemycket matte, men man kan fundera över taktiken matematiskt. Det gäller att bedöma sina chanser att träffa vid skjutningen samt chanser att svara rätt på frågan. Om du inte är säker alls på att träffa (t.ex. Valentina som aldrig har sjutit/träffat i sitt liv) bör du skjuta snabbt om det är liten sannolikhet om din motståndare träffar. Med stor sannolikhet missar båda och då har du i alla fall första tjing på frågan. Men det kan också vara dumt att svara först om du t.ex. funderar mellan två alternativ: Då kan det vara bra att motståndaren eventuellt kan utesluta ett av alternativen genom att svara fel. Men den situationen händer typ aldrig.

Om man däremot är bra på att träffa bör man förmodligen börja med att undvika skottet från motståndaren och sedan skjuta själv i lugn och ro. Detta kan ge en säkra poäng, samt chansen att svara först!

Givetvis kan motståndare av liknande “typ” träffar varandra, vilket resulterar i symmetrisk strategi och en Nash-jämvikt, men det är inget man hinner tänka på när man står där framme :) Då blir det lite kaotiskt och återigen slumpen som avgör.

Frågorna som kom och några extra.

Ordbygge

Duellen gick ut på att forma ord. Ser man inte färdiga ord så är det brute force som gäller (dvs testa alla möjligheter: Vilken kub är först, vilken är tvåa, hur ska tvåan vara vriden, etc.). Under antagandet att alla bokstäver är unika får vi

3!\cdot 4^2 = 96

uppställningar av tre kuber, eftersom kuberna kan ordnas på 6! = 3 sätt och roteras på 4^3 sätt. Men sedan kan varje uppställning “visas upp” på 4 sätt (genom att ha ett av de fyra orden framme), så därför delar man med 4. Tycker du sånt här med att räkna sätt är skoj, kolla upp en lektion i kombinatorik som jag har lett.

På samma sätt kan man räkna ut att fyra kuber kan ordnas på

4!\cdot 4^3 = 1536

sätt och fem kuber på

5!\cdot 4^4 = 30720

sätt (under förutsättningen att alla bokstäverna är unika). Antalet sätt halveras ungefär för varje par av likadana bokstäver, men den storleksordningen blir det i alla fall.

Såklart är det mänsikligt omöjligt att testa alla sätt på begränsad tid, men lyckligtvis behöver man det inte, eftersom man kan utesluta massa fall, för att det ska ju bildas ord. Till exempel, om ordet börjar på ett “T”, så kan inte andra bokstaven vara “N” och den insikten sparar en 3!*4^3 = 384 fall. Så det var ju mänskligt att lösa det sista pusslet, även om det tog lång tid. Tricket är ändå att se ett ord som är med och anpassa kubuppställningen efter det. För mig var det att se början “AO” som fick mig att tänka på “AORTA”, som då senare gav två möjliga uppställningar av kuben, vara den ena var rätt (gav ord även på de andra sidorna: “LIVET”, “KENYA” och “TITAN”).

A Mathematician’s Lament och allt som är fel med matematikundervisningen i skolan

Det är inte eleverna som är dålig och inte heller är det lärarnas fel att “matematiken” inte går in i elevernas hjärnor. Titta istället på kursplanerna för dagens mattekurser och försök att motivera varför vi på 2000-talet ska lära ut andragradsekvationer till samtliga gymnasieelever. Om du använder dig av matte i ditt liv försök att svara ärligt på hur mycket studierna egentligen har förberett dig.

A musician wakes from a terrible nightmare. In his dream he finds himself in a society where
music education has been made mandatory. “We are helping our students become more
competitive in an increasingly sound-filled world.”

Citatet ovan är från texten A Mathematician’s Lament, skriven av Paul Lockhart redan 2002. Jag läste den för bara ett par veckor sedan och den var fortfarande högaktuell och kommer vara det ett långt tag framöver! Jag har hittat texten som jag kommer utgå från när jag förbereder matematiklektioner i framtiden. Läs den! Du kanske håller med eller tycker att den är helt överdriven, men förhoppningsvis kommer den leda dig till nya tankar om matematikundervisningen i Sverige.