Att räkna utan tal och bokstäver

När någon ställer frågan “Vad är matematik för dig?” svarar jag ibland “Att tänka.” Det kan tolkas som ett luddigt svar eller att jag kanske tror att matematik är viktigare än allt annat. Men så är inte riktigt fallet och jag ska försöka visa vad jag menar med hjälp av ett exempel.

Problem

Framför dig är en rektangel. Du sätter ut två punkter inuti rektangeln och förbinder alla de med alla hörnen, till exempel så som bilden visar. Vilken area är störst: den svarta eller den grå?

flackar1

Försök att tänka ut svaret utan att använda dig av några som helst variabler eller uträkningar. Svårt, eller hur?

Låt mig presentera ett tankesätt som gör den här uppgiften väldigt lätt istället.

Fläckar

Föreställ dig ett vitt A4-papper och ett litet barn som målar med blått och gult akvarellfärg. Hon målar abstrakt konst, det vill säga det gula blir någon slags oregelbunden fläck, det blå likaså. Barnet målar inte så noggrant, på vissa ställen täcker fläckarna över varandra och på så sätt bildas det gröna områden.

flackar2
När bilden blev färdig visade det sig att den sammanlagda arean av de två fläckarna är lika stor som arean av hela pappret. Visa att den gröna arean är lika stor som den vita arean.

Beviset får vi genom att ställa den enkla frågan: “Hur mycket area behövs för att komplettera den blå, den gula arean och den gröna arean till arean av hela pappret?” Visuellt behövs bara den vita arean, för att det är den som är kvar. Men om vi tänker på att fläckarna tillsammans skulle utgöra arean av hela pappret så ser vi att det saknas en till grön area för det. Det gula och det gröna är nämligen en hel fläck, men det blåa saknar just det gröna för att bli en hel fläck (eller tvärtom). Eftersom det saknas precis lika mycket när vi tänker på två olika sätt så måste den gröna arean och den vita arean vara lika stora.

Vi löste uppgiften utan att använda oss av X eller någon annan variabel. Egentligen resonerade vi precis som men gör med ekvationer, men med ord istället. Ibland kan det vara lättare, ibland svårare, men här är det mer intuitivt tycker jag, speciellt om man ska förklara lösningen för någon annan!

Tänka geometri

Vad har uppgiften med abstrakta fläckar med riktig geometri att göra? Låt oss bevisa att den svarta och den grå arean är lika i följande figur:

flackar3

Vi kan även tänka att regelbundna former utgör fläckar. I följande figur kan vi göra om färgerna till gult, blått, grönt och vitt. Ser du de två fläckarna? Och att det gröna är precis skärningen de emellan och det vita är precis den delen de inte täcker?

flackar4

För att visa att den gröna arean är lika stor som den vita behöver vi bara förklara varför trianglarna tillsammans utgör arean av hela rektangeln. Varje sådan triangelarea utgör hälften av rektangelns area (för detta kan vi t.ex. använda areaformlerna, för rektangeln är det basen gånger höjden, men för triangeln är det precis hälften av det). Alltså utgör summan av areorna på trianglar exakt hela rektangelns area. Klart!

Kan du identifiera fläckarna i den ursprungliga uppgiften och lösa den utan att räkna alls? Kom ihåg att fläckarna kan ha godtycklig form och behöver inte ens vara sammanhängande!

Uppgifter utan räkning

Detta är vad jag menar med att “tänka matte” istället för att “räkna matte”, vilket är det uttrycket de flesta använder (eftersom de oftast gör just det senare, men inte det första).

Siffror och variabler är bra att införa när de behövs, men det finns fördelar med att försöka klara sig utan dem. Det kan vara tillräckligt för att lösa ganska komplicerade problem, som till exempel uppgiften i början. När vi presenterar idéer, uppgifter och lösningar av den typen för barn blir de oftast inte rädda, då det bara finns ord och bilder. Barn har inte fördomar mot resonemang med ord, till skillnad mot variabelräkning. Där har fördomarna oftast utvecklas efter att barnet tvingats jobba på ett visst sätt med ekvationer (dock kan de tyvärr ha fördomar mot geometri också). Så passa på och sätt dina elever (och dig själv) i situationer, där du inte har någon aning om hur man löser problemet. Du får då vara kreativ och kommer förmodligen att komma på ett lättare sätt att hantera uppgiften än vad någon annan skulle ha berättat för dig.

Bas 10

En alien med 4 fingrar och en människa möter varandra:

Vad är en bas?

De flesta förstår räkning med olika baser utan att behöva lära sig någon formell definition. Vi räknar i bas 10 och det finns ental, tiotal, hundratal och så vidare. Vi har 10 siffror: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 och varje (naturligt) tal bestäms entydigt av att några siffror skrivs i en viss ordning.

Men vad händer om vi har brist på siffror? Datorerna har bara siffrorna 0 och 1 till exempel. Eftersom det är två siffror säger vi att datorernas tal är skrivna i bas två. De första sju talen skulle då vara: 1,10,11,100,101,110,111. Vad långa talen blir! Så kan det gå när det finns så få siffror. Har vi brist på siffror, måste vi använda fler potisioner.

Vad händer om vi hittar på egna siffror? Låtsas som att vi har sexton siffror: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Då kan vi räkna i bas sexton:
Exmpelvis kommer talet 9999 precis före talet A000. Det största sexsiffriga talet är talet FFFFFF och så brukar man beteckna färgen “vit” hexadecimalt (det vill säga i bas sexton)!

Varför skulle varje bas vara bas 10?

Hur kommer det sig att alienen med fyra fingrar räknade i bas 10? Det är för att han själv tycker att han har 10 fingrar! De första fyra talen skriva i hans bas är nämligen 1,2,3,10 (han har bara fyra siffror).

Detta verkar hända med varje bas. Om vi räknar i bas n, så har vi n siffror (varav t.ex. 0 är den första), vilket betyder att de första n-1 positiva heltalen kan betecknas med bara en siffra. Men för ett tal till (och det blir talet n) behöver vi två siffror! Det minsta tvåsiffriga talet betecknas just 10 (om vi valde just 0 och 1 att beteckna de minsta siffrorna).

Bas ett?

Inga konstigheter verkar ske när vi räknar med bas två eller någon annan större bas. Baserna följer samma räkneregler som vanligt, vi behöver bara hålla reda på vilka siffror som finns tillgängliga.

Men hur skulle man kunna räkna med bas ett? Om det bara är en siffra tillåten, hur ska vi då kunna skriva 10, som ska beteckna vår bas med hjälp av just vår bas?

Det går inte, vi kan bara skriva en symbol, så alla talen måste skrivas olika långa för att vi ska kunna skilja på dem. Om vår symbol är a, så ser våra fem första positiva heltal ut så här: a, aa, aaa, aaaa, aaaaa.
Men ska vi välja en siffra istället för a och i så fall vilken siffra?

Större baser har ju den egenskapen att talen är lätta att “räkna om” till vårt vanliga bas tio.
T.ex. så är 1011 i bas två lika med

1*8+0*4+1*2+1*1 = 11

i bas tio, och 30A i bas sexton är lika med

3*256+0*16+10*1 = 778

i bas 10.

Hur blir det då med talet aaa i bas 1?

a*1+a*1+a*1 = 3

Då är 3a = 3. Alltså är a=1. Och talet ett i bas ett måste skrivas just 1.

Notera att om alla tal i bas 1 består av 1:or så är det omöjligt att skriva talet 0. Positionssystemet fungerar inte heller som det brukar, eftersom alla positioner står för exakt lika mycket: 1. Tal adderas då genom att skrivas ihop:

111 + 1111 = 1111111.

Om vi vill ha ett talsystem som ska kallas för bas ett och behålla så mycket egenskaper för en bas som möjligt, så har vi hittat det. Vi kan dock omöjligen hitta något som behåller alla egenskaper och kallas för bas 10 i sin egen beteckning.

Introducera x tidigt i skolan?

Nyligen pratade jag med en kollega om ekvationer. Att så pass måna barn och ungdomar i Sverige har svårt att förstå hur ekvationer funkar.

En möjlig förklaring till detta är att det blir för stort hopp i abstrakt tänkande när ekvationer först introduceras. Många elever tycker inte om x eftersom de förknippar den nya symbolen med svår matematik.

Egentligen är ju ekvationer ganska enkelt! (Som all matematik, när man väl fattar.) Ett sätt att få elever att inte bli rädda för det nya skrivsättet är att introducera x tidigare i grunskolan, föreslog min kollega.

Ni har säkert sett något liknande i matteboken på lågstadiet:

 12 - 7 = \Box

Eller ett streck eller till och med en glad gubbe istället för rutan.

Varför inte skriva x istället? Det gör man redan tydligen i vissa länder, till exempel i Ungern (löst rykte, jag har ingen referens, någon som vet?)

Barnen får skriva en siffra på platsen där x är:

 12 - 7 = x

vilket antagligen gör de mindre rädda för variabler så småningom. (Naturligvis bör olika bokstäver användas, inte uteslutande x.)

Det är en intressant idé, men jag ser omedelbart en nackdel för elever som senare börjar läsa på gymnasienivå och träffar på ekvationer och formler av typen

f(x) = 2^x

där x inte står för någon speciell siffra. Men x står alltid för ett speciellt tal innan man börjar prata om funktionsbegreppet. Men förhoppningsvis är eleverna mogna nog på gymnasiet för att ta till sig den abstraktionsnivån.

A Mathematician’s Lament och allt som är fel med matematikundervisningen i skolan

Det är inte eleverna som är dålig och inte heller är det lärarnas fel att “matematiken” inte går in i elevernas hjärnor. Titta istället på kursplanerna för dagens mattekurser och försök att motivera varför vi på 2000-talet ska lära ut andragradsekvationer till samtliga gymnasieelever. Om du använder dig av matte i ditt liv försök att svara ärligt på hur mycket studierna egentligen har förberett dig.

A musician wakes from a terrible nightmare. In his dream he finds himself in a society where
music education has been made mandatory. “We are helping our students become more
competitive in an increasingly sound-filled world.”

Citatet ovan är från texten A Mathematician’s Lament, skriven av Paul Lockhart redan 2002. Jag läste den för bara ett par veckor sedan och den var fortfarande högaktuell och kommer vara det ett långt tag framöver! Jag har hittat texten som jag kommer utgå från när jag förbereder matematiklektioner i framtiden. Läs den! Du kanske håller med eller tycker att den är helt överdriven, men förhoppningsvis kommer den leda dig till nya tankar om matematikundervisningen i Sverige.

Adventspyssel 18

Citat från en av mina favoritserier, House M.D.:

Cuddy: She’s a third-year med student. She graduated high school when she was 15. She filled out the time before med school getting PhDs in both applied math and art history.
House: She’ll be incredibly useful if my next patient is an Escher drawing. Those things are seriously screwed up.

På Eschermuséet i den Haag

Om man pratar matematik och konst, dyker konstnären Escher alltid upp med sina typiska surrealistiska och vackra verk. Om ni är obekanta med honom, så är det bara att bildgoogla på hans namn och vips, så har ni hittat en ny skrivbordsbakgrund!

Escher var en Nederländsk konstnär, så hans museum finns i hemlandet, närmare bestämt i den Haag (japp, i samma stad som högsta domstolen). När jag var där passade jag på att ta lite bilder. Om ni någonsin råkar vara där, ger jag er ett hett tips att gå upp till den högsta våningen!

Inga figurer är omöjliga

Hur kan du till exempel kunna ta ett foto föreställen den här röda figuren? Hur kan figuren egentligen se ut i vår 3D-värld?

En nörd på muséet

Svenska skolböcker

Som privatlärare börjar jag sätta mig in i de svenska matteböckernas värld. Själv gick jag bara ett år på svenska högstadiet och då fick jag hålla på med egna matteböcker.

Skillnaderna i 5:ans mattebok och 8:ans mattebok vad gäller pedagogiken är inte så påfallande stora. Men jag märker att 8:orna har blivit inskolade väldigt hårt medan 5:orna inte ännu hunnit bli det (men är på god väg!).

Jag syftar på uppgifternas struktur. Uppgifterna är nyttiga och faktiskt rätt så bra, men alldeles för många är alledeles för triviala!

Inte triviala i den meningen att de löses direkt av vilken elev som helst. Men de är triviala för vuxna. Det beror på att nästa alla dem löses med 1 steg. Eller med 1 formel. Eller med 1 metod.

Så fort uppgiften ska lösas med 2 steg (eller gud bevare, fler), blir eleverna rätt så vilsna. Ett exempel jag och en åtta höll på med senast (en av de svårare uppgifterna i läxan) gick ut på att få fram vissa vinklar från en bild, x och y. Efter ett tag fick vi fram:
x+y = 180
x+36 = 180

Då säger pojken, att han vet, hur man ska få fram x, men han vet inte hur man ska få fram y. Han hade aldrig löst exakt en sådan uppgift förut. Så han har inte den exakta metoden i fickan just för den här uppgiften. Och den här (ganska bra) uppgiften är inte uppdelad i steg! Panik!

En liknande upplevelse hade min pojkvän för ett tag sedan. Han skulle förklara för någon att arean på en viss triangel var “basen gånger höjden genom två” och då svarade eleven: “ahaaa, det är alltså ‘gånger'” som om han/hon lärt sig nu att det var faktiskt “gånger” som skulle plockas fram från någon sorts virtuell verktygslåda när traingelareauppgifter kom.

Barnet har lärt sig receptet, barnet har lärt sig att avkoda uppgifterna i boken, således kan barnet lyckas i matte i svenska skolan. Om 90% av uppgifterna består av ett enda steg, varför ska då eleverna förvänta sig något annat.

En jättebra video med en TED-talk på samma tema. Talaren Dan Meyer talar inte bara om problem, utan också om möjliga lösningar!

Patient Problem Solving

Videohjälp

Som prenumerant på Nyhetsbrev matematik från skolverket har jag stött på nyheten om Fröken Matte som tydligen gjort succe på YouTube. Det är en fröken från Hagagymnasiet i Borlänge som har lagt upp videor som behandlar matte B på nätet. Alla elever kan således repetera något begrepp eller se på någon lektion de missat.

Jag stödjer fullkomligt en sådan form av hjälp. Det finns hur mycket instruktionsvideor på nätet som helst, men inte så mycket på svenska och inte så mycket som är lätt att hitta. Den lösningen som fungerar bäst hittills verkar vara just youtubekanaler.

Under mitt år som en vilsen doktorand förälskade jag mig i kanalen TheCatsters, som lärde mig kategoriteori. De är ett par duktiga och sympatiska matematiker som förklarar kategoriteori på väldigt grundläggande nivå. Det vill säga, på den nivån de flesta uppskattar.

Kurslitteraturen tenderade att bli alledels för kondenserad på avancerade kurser, lärarna skippade gärna många detaljer i sina bevis. Just då saknade jag någon kompis som kunde svara på ens dumma fråga, för kompisen var också lite förvirrad över universiella produkter. (Eller alledeles för oförvirrad, så det inte gick att förstå hans förklaringar.) Då var det bra med TheCatsters!

På Mattebloggen har jag försökt förklara olika begrepp, som induktion och linjär avbildning, men de förklaringarna tror jag är svåra att ta till sig när formlerna är lite fula och det inte riktigt går att förklara slutledningen inför varje steg. Jag har inte testat att spela in förklarande videor, men jag vill gissa att det skulle ge mer resultat för ungefär lika mycket arbete.

Vad tycker ni om videoförklaringar? Behövs de här på bloggen?

Lektioner från kollot

Snart är sommaren slut för min del och det är dags att sammanfatta vad jag lärt mig under mattekollotiden (jag var lärare för några av Rysslands mest skärpta åttor):
1. Åttan är lite för tidig årskurs för att introducera begreppet grupp.
2. Komplexa tal definieras bäst som mängden av par av tal plus regler.
3. Ha med några stycken 15-spel när du undervisar om permutationer!
4. 2x2x2 – Rubiks kuber som smycken är snyggt.
5. Om man är oförsiktig i sina matteresonemang kan man missa att man egentligen behöver använda satsen om att maximum på kompakt mängd existerar.

Förutom det har jag lärt mig att föra krig mot getingar, gå upp 5 minuter innan lektionerna börjar och hitta dold matematisk betydelse i ryska poplåtar.

Hur använder människor matte i vardagen?

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.
Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.
Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?
Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.
Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:
1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.
På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.
Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.
2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att
398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743
(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).
E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.
3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.
E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.
De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.
Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.
Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.
Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.

Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.

Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?

Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.

Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:

1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.

På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.

Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.

2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att

398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743

(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).

E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.

3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.

E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.

De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.

Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.

Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.

Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!