Mattebloggen

Nyligen pratade jag med en kollega om ekvationer. Att så pass måna barn och ungdomar i Sverige har svårt att förstå hur ekvationer funkar.

En möjlig förklaring till detta är att det blir för stort hopp i abstrakt tänkande när ekvationer först introduceras. Många elever tycker inte om eftersom de förknippar den nya symbolen med svår matematik.

Egentligen är ju ekvationer ganska enkelt! (Som all matematik, när man väl fattar.) Ett sätt att få elever att inte bli rädda för det nya skrivsättet är att introducera x tidigare i grunskolan, föreslog min kollega.

Ni har säkert sett något liknande i matteboken på lågstadiet:

Eller ett streck eller till och med en glad gubbe istället för rutan.

Varför inte skriva istället? Det gör man redan tydligen i vissa länder, till exempel i Ungern (löst rykte, jag har ingen referens, någon som vet?)

Barnen får skriva en siffra på platsen där är:

vilket antagligen gör de mindre rädda för variabler så småningom. (Naturligvis bör olika bokstäver användas, inte uteslutande .)

Det är en intressant idé, men jag ser omedelbart en nackdel för elever som senare börjar läsa på gymnasienivå och träffar på ekvationer och formler av typen

där inte står för någon speciell siffra. Men står alltid för ett speciellt tal innan man börjar prata om funktionsbegreppet. Men förhoppningsvis är eleverna mogna nog på gymnasiet för att ta till sig den abstraktionsnivån.

Det är inte eleverna som är dålig och inte heller är det lärarnas fel att ”matematiken” inte går in i elevernas hjärnor. Titta istället på kursplanerna för dagens mattekurser och försök att motivera varför vi på 2000-talet ska lära ut andragradsekvationer till samtliga gymnasieelever. Om du använder dig av matte i ditt liv försök att svara ärligt på hur mycket studierna egentligen har förberett dig.

A musician wakes from a terrible nightmare. In his dream he finds himself in a society where
music education has been made mandatory. “We are helping our students become more
competitive in an increasingly sound-filled world.”

Citatet ovan är från texten A Mathematician’s Lament, skriven av Paul Lockhart redan 2002. Jag läste den för bara ett par veckor sedan och den var fortfarande högaktuell och kommer vara det ett långt tag framöver! Jag har hittat texten som jag kommer utgå från när jag förbereder matematiklektioner i framtiden. Läs den! Du kanske håller med eller tycker att den är helt överdriven, men förhoppningsvis kommer den leda dig till nya tankar om matematikundervisningen i Sverige.

Citat från en av mina favoritserier, House M.D.:

Cuddy: She’s a third-year med student. She graduated high school when she was 15. She filled out the time before med school getting PhDs in both applied math and art history.
House: She’ll be incredibly useful if my next patient is an Escher drawing. Those things are seriously screwed up.

På Eschermuséet i den Haag

Om man pratar matematik och konst, dyker konstnären Escher alltid upp med sina typiska surrealistiska och vackra verk. Om ni är obekanta med honom, så är det bara att bildgoogla på hans namn och vips, så har ni hittat en ny skrivbordsbakgrund!

Escher var en Nederländsk konstnär, så hans museum finns i hemlandet, närmare bestämt i den Haag (japp, i samma stad som högsta domstolen). När jag var där passade jag på att ta lite bilder. Om ni någonsin råkar vara där, ger jag er ett hett tips att gå upp till den högsta våningen!

Inga figurer är omöjliga

Hur kan du till exempel kunna ta ett foto föreställen den här röda figuren? Hur kan figuren egentligen se ut i vår 3D-värld?

En nörd på muséet

Som privatlärare börjar jag sätta mig in i de svenska matteböckernas värld. Själv gick jag bara ett år på svenska högstadiet och då fick jag hålla på med egna matteböcker.

Skillnaderna i 5:ans mattebok och 8:ans mattebok vad gäller pedagogiken är inte så påfallande stora. Men jag märker att 8:orna har blivit inskolade väldigt hårt medan 5:orna inte ännu hunnit bli det (men är på god väg!).

Jag syftar på uppgifternas struktur. Uppgifterna är nyttiga och faktiskt rätt så bra, men alldeles för många är alledeles för triviala!

Inte triviala i den meningen att de löses direkt av vilken elev som helst. Men de är triviala för vuxna. Det beror på att nästa alla dem löses med 1 steg. Eller med 1 formel. Eller med 1 metod.

Så fort uppgiften ska lösas med 2 steg (eller gud bevare, fler), blir eleverna rätt så vilsna. Ett exempel jag och en åtta höll på med senast (en av de svårare uppgifterna i läxan) gick ut på att få fram vissa vinklar från en bild, x och y. Efter ett tag fick vi fram:
x+y = 180
x+36 = 180

Då säger pojken, att han vet, hur man ska få fram x, men han vet inte hur man ska få fram y. Han hade aldrig löst exakt en sådan uppgift förut. Så han har inte den exakta metoden i fickan just för den här uppgiften. Och den här (ganska bra) uppgiften är inte uppdelad i steg! Panik!

En liknande upplevelse hade min pojkvän för ett tag sedan. Han skulle förklara för någon att arean på en viss triangel var ”basen gånger höjden genom två” och då svarade eleven: ”ahaaa, det är alltså ‘gånger’” som om han/hon lärt sig nu att det var faktiskt ”gånger” som skulle plockas fram från någon sorts virtuell verktygslåda när traingelareauppgifter kom.

Barnet har lärt sig receptet, barnet har lärt sig att avkoda uppgifterna i boken, således kan barnet lyckas i matte i svenska skolan. Om 90% av uppgifterna består av ett enda steg, varför ska då eleverna förvänta sig något annat.

En jättebra video med en TED-talk på samma tema. Talaren Dan Meyer talar inte bara om problem, utan också om möjliga lösningar!

Patient Problem Solving

Som prenumerant på Nyhetsbrev matematik från skolverket har jag stött på nyheten om Fröken Matte som tydligen gjort succe på YouTube. Det är en fröken från Hagagymnasiet i Borlänge som har lagt upp videor som behandlar matte B på nätet. Alla elever kan således repetera något begrepp eller se på någon lektion de missat.

Jag stödjer fullkomligt en sådan form av hjälp. Det finns hur mycket instruktionsvideor på nätet som helst, men inte så mycket på svenska och inte så mycket som är lätt att hitta. Den lösningen som fungerar bäst hittills verkar vara just youtubekanaler.

Under mitt år som en vilsen doktorand förälskade jag mig i kanalen TheCatsters, som lärde mig kategoriteori. De är ett par duktiga och sympatiska matematiker som förklarar kategoriteori på väldigt grundläggande nivå. Det vill säga, på den nivån de flesta uppskattar.

Kurslitteraturen tenderade att bli alledels för kondenserad på avancerade kurser, lärarna skippade gärna många detaljer i sina bevis. Just då saknade jag någon kompis som kunde svara på ens dumma fråga, för kompisen var också lite förvirrad över universiella produkter. (Eller alledeles för oförvirrad, så det inte gick att förstå hans förklaringar.) Då var det bra med TheCatsters!

På Mattebloggen har jag försökt förklara olika begrepp, som induktion och linjär avbildning, men de förklaringarna tror jag är svåra att ta till sig när formlerna är lite fula och det inte riktigt går att förklara slutledningen inför varje steg. Jag har inte testat att spela in förklarande videor, men jag vill gissa att det skulle ge mer resultat för ungefär lika mycket arbete.

Vad tycker ni om videoförklaringar? Behövs de här på bloggen?

Snart är sommaren slut för min del och det är dags att sammanfatta vad jag lärt mig under mattekollotiden (jag var lärare för några av Rysslands mest skärpta åttor):
1. Åttan är lite för tidig årskurs för att introducera begreppet grupp.
2. Komplexa tal definieras bäst som mängden av par av tal plus regler.
3. Ha med några stycken 15-spel när du undervisar om permutationer!
4. 2x2x2 – Rubiks kuber som smycken är snyggt.
5. Om man är oförsiktig i sina matteresonemang kan man missa att man egentligen behöver använda satsen om att maximum på kompakt mängd existerar.

Förutom det har jag lärt mig att föra krig mot getingar, gå upp 5 minuter innan lektionerna börjar och hitta dold matematisk betydelse i ryska poplåtar.

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.

Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.

Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?

Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.

Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:

1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.

På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.

Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.

2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att

398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743

(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).

E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.

3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.

E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.

De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.

Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.

Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.

Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!

Jag och en elev

Ännu en juli har passerat då jag har jobbat som lärare på ett mattekollo. Det var en spännande månad med tonvis jobb och upplevelser.

Vi organiserade lekar och sportaktiviteter, film- och spelkvällar, men framförallt var vårt uppdrag att utbilda tonåringar i matematik. Kollot har ett intagningsprov, ett arbete man måste skicka in för att visa att man är välförberedd vad det gäller matematiska kunskaper och färdigheter. Och även många av dem som kommit in har det ganska svårt på lektionerna.

Detta skedde då i Ryssland, man kan se att systemet skiljer sig från den svenska då ”alla som vill ska med”. Man kan undra om det finns någon poäng med denna elitism bland barn, vad är egentligen vitsen med att hårdträna dem så tidigt?

Jag skulle vilja påstå att det inte spelar så stor roll att de lär sig just matte. Ämnet är tyvärr oftast föräldrarnas val. Det viktigaste för mig på kollot är att uppfostra tänkande individer. Att sammanföra på detta sätt skola, lek och vänner ger dem en positiv upplevelse av utbildning, hur svår den än må vara.

Eftersom alla har föräldrarna långt borta är alla i samma situation. De vuxna de får umgås med är oftast intressanta engagerade människor (vi ;) ). Om ett barn verkligen är blivande matematiker, kan hon/han välja och vraka bland förebilder.

Det jag inte tycket om är att barnen kan bli för resultatinriktade. De tar med sig betyghetsen från vanliga skolor och blir ledsna ifall inte allting går perfekt. För om man inte får godkänt, kommer man antagligen inte få åka på kollot året därpå. Vilket så gott som alla våra barn ville!

Bra fysikföreläsare på Uppsala universitet lyser med sin frånvaro, men nyligen hörde jag talas om ett undantag. Jag vet inte vem det är och kommer inte ihåg varför han var bra, men ett undervisningsknep tänker jag någon gång låna från honom.

Innan varje föreläsning försäkrar han om att någon gång under föreläsningen kommer han att ljuga. Det kan vara allt från ett litet faktafel och felräkning på tavlan till dåligt resonemang gällande någon komplicerad förklaring. Poängen är att studenterna då skall reagera och säga åt läraren eller ställa en fråga om det som känns felaktigt.

Tänk er en morgontidning den 1:a april. De flesta stora tidningarna har garanterat någon skämtartikel den dagen och det gäller att komma på vilken. Men det är inte så lätt att komma på!

Jag brukar snabbt bli misstänksam över någon nyhet och tänker ”näää, det där kunde väl aldrig ha hänt”, men sedan vänder jag sidan och har en exakt samma tanke för nästa nyhet. Nästa dag visar det sig att båda nyheterna var riktiga och det var en helt annan grej som var på skämt. Detta visar på att min förmåga att kritisk tänka över nyheter är näst intill obefintlig.

Men samma princip om kritiskt tänkande kan tillämpas på matematiken. Om man inte riktigt kan skilja på sanning och lögn under en föreläsning så accepterar man istället allting godtroget. Även om läraren gör något uppenbart räknefel är det många som inte vågar påpeka det. De litar inte på sin förmåga att urskilja matematiskt sanning från lögn och det kan bero på flera saker. Kanske tränar man inte förmågan särskilt ofta eller så kan man inte tillräckligt om ämnet, som i fallet med mig och nyheter.

”Ljuga på varje föreläsning”-strategin skulle passa utmärkt på matematikföreläsningar. Frågan är ifall den lämpar sig bäst för ”äldre” studenter, som har fått lite kött på benen när det gäller matte, men jag anser inte det. På samma sätt som att man lär ett barn att simma genom att kasta det i vattnet så lär man nya studenter att orientera sig i matte genom att tvinga dem till att göra det.

Den här strategin får elever att lyssna nogrannt, ställa frågor så fort det finns någonting oklart och hindrar dem från att fastna i ett transliknande tillstånd ”skriv av allt från tavlan” (för något kan ju vara fel och då får man skriva om). Varje föreläsning får de en ny intellektuell utmaning, varje gång kommer de ”läsa tidningen” lika noggrant som 1 april!

Så du som har undervisning, prova att ljuga för dina studenter (berätta om det först för dem såklart) och skriv hur det gick!

Studierna på universitetet skiljer sig mycket ifrån gymnasiestudier. Det kan verka först att det enda som förändrats är mängden arbete man måste utföra för att klara sig bra, men så enkelt är det inte.

Mängden ”plugg” som måste ske är lika stor som på gymnasiet egentligen, men all planering lämnas nu åt dig själv. Det viktigaste under din första termin är att utveckla din studieteknik, det vill säga när, hur och var du pluggar för att lära dig bäst. Själv insåg jag detta så sent som mitt andra år på universitetet. Sedan dess har jag provat med olika sätt att plugga och bara nyligen (femte år på universitetet) kommit fram till hur jag pluggar bäst. Så sätt igång och utveckla din studieteknik nu!

Här är lite länktips:

Studieteknikguide (på svenska)

Min favoritblogg i studieteknik (på engelska)

Ditt sätt att studera måste förstås anpassas efter ämne, låt oss anta att ämnet du skall studera är matematik. Du kanske redan har testat att öppna matteboken själv och upplevt hur långsamt det går att ta sig igenom texten. Det går att räkna några uppgifter själv men man fastnar alltid så småningom!

Annat är det om man har kompisar att plugga med! Alla hjälps åt att första det svåra i boken och om alla räknar samma uppgift så går det att jämföra svaren.

Det kan ofta avgöra dina studieresultat ifall du hittar någon person som det passar bra att plugga med. Hittar du någon som ligger på ungefär samma nivå som du, ungefär lika snabb på att räkna och som inser saker du inte gör och vice versa, blir det plötsligt mycket roligare att även tentaplugga. Kan personen passa tider, så kan det knappast bli bättre.

Men akta dig från att fastna i tankesättet ”det viktigaste är att klara tentor”. Det är inget fel med att tycka så egentligen och då rekommenderar jag delvis gruppräkning. Men vill du ha garanti på att du verkligen har lärt dig sakerna i en viss kurs, så måste du plugga huvuddelen av tiden på egen hand. Problemet med att vara i en grupp är att bilden av vad du egentligen förstår kan bli ganska skev. Kompisarna kommer inte vara där på tentan och kan inte fylla i dina luckor!

I matten finns ingen ”delförståelse”. Antingen förstår man en teori eller en metod eller så gör man inte det, vilket kan både vara nackdel och fördel. Visst, du kanske kan utföra en metod utan att förstå det och det ger absolut poäng på tentan, men du kommer inte minnas metoden sen. Poängen med kurser förutom faktakunskaper är framförallt att du ska ha sett strukturer och metoder, fått en känsla för dem och ska kunna känna igen liknande saker senare.

Det är precis på samma sätt med saker som vi lär oss i grundskolan. ”Vem bryr sig om spansk grammatik?” tänker man kanske, och har en helt berättigad fråga. Spansk grammatik är säkert inte så viktigt just för dig, men övar du på att förstå grammatiska strukturer kommer du ha det lättare när du lär dig nya språk, programmeringsspråk och andra saker senare i livet.

De senare åren på högskolan blir det för det mesta eget arbete. Kurserna har få deltagare, projekten blir fler. Därmed är det viktigt att du redan vet hur du testar dina kunskaper på egen hand, hur du tar dig igenom en svår bok eller uppgift. Glöm inte att föreläsarna och deras medhjälpare finns till för att svara på dina frågor, men tänk någon minut själv på frågan innan du ställer den. Tyvärr så är inte alla föreläsare perfekta, så det är bra att ha backup-planen ”studera själv” om du råkar få en dålig lärare, eller kursare som du inte vill plugga med för den delen.

Så plugga själv och diskutera frågor om du måste, och gör det helst med någon som kan ämnet. Pluggar du med kompisar är det bäst för dig själv att lära ut saker du redan kan för att minnas dem, men kom ihåg att någon annans förklaring implicerar inte din förståelse.