Andra träffen med Matteklubben, åk 2-4


Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen med gruppen här på bloggen.

På den andra träffen kom färre elever, men de var precis lagom många för att vi skulle hinna prata med alla. Barn i årskurser upp till 4 är mycket aktiva och berättar gärna sina lösningar. Vi var 6 lärare och 29 elever. Ju yngre barnen är, desto lägre måste elev/lärare-kvoten vara, enligt min erfarenhet ungefär 4-5 för yngre barn och 6 (absolut högst 7) för äldre barn.

Blandade problem

Lektionen började med att eleverna satt två och två och löste blandade problem, precis som vi brukar göra med de äldre grupperna. Under varje uppgift står vanliga dialoger som jag och de andra lärarna hade med eleverna.

1. Andreas skrev upp talen i ordning tills siffran 2 skrevs upp 10 gånger. Han började med talet 1. Vilket tal slutade Andreas på?

Elev: 92, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Tio tal ger tio tvåor!
alternativt:
Elev: 82, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22 (två tvåor), 32, 42, 52, 62, 72, 82. Tio tvåor!
Lärare: Måste tvåorna som skrivits upp alltid vara den sista siffran? (Pekar på 22.) Här är det en tvåa som talet börjar med. Finns det inte fler sådana tal?
Elev (efter en liten tankestund): Ja, just det, det är så på 20, 21, 22… Räknar snabbt fram till talet 26 (eller 27 om den andra tvåan i 22 glöms bort).

2. Så fort deltagarna ankom till Matteklubben bildades det en lång kö till fikat. Precis bakom Adam står Linda, precis bakom Linda står Hjalmar. Om man räknar från köns början, står Hjalmar som nummer tjugo. Om man räknar från slutet, står Adam som nummer trettio. Hur många personer står i kön till fikat?

Elever: Är svaret 46?
Lärare: Kanske, berätta hur ni tänkte!
Elever: Om Adam är nummer 30 från slutet, så är det 27 personer bakom Hjalmar i kön. På samma sätt är det 17 framför Adam. Mellan Adam och Hjalmar är det 2 (personer). Tillsammans blir det 27 + 17 + 2 = 46.

(Det fanns också andra förklaringar till 46 som jag måste erkänna att jag inte riktigt förstod. Det var inte helt lätt att fånga upp felet i resonemang där man är slarvig med att räkna med/inte räkna med personer som står på ändarna)

Lärare: Vilka personer har vi räknat in och vilka har vi inte räknat in? Har vi räknat någon två gånger?
alternativt:
Lärare: Om det är 27 personer bakom Hjalmar, hur många är resten? Alltså från nummer 1 till Hjalmar som är nummer 20? (Det var inte helt självklarat för vissa barn att det var 20.)

3. Med hjälp av siffrorna 0, 5 och 9 bilda det största möjliga samt det minsta möjliga tresiffriga talet. Siffrorna i talet måste alla vara olika.

Elev: Det är 905 och 059.
Lärare: Men 059 räknas inte som tresiffrigt.
Elev: Aha, då är det 509.

4. Tre ekorrar hittade 90 nötter. De delade upp nötterna på så sätt att den äldsta ekorren fick 10 nötter mer än mellanekorren och så att den yngsta ekorren fick 10 nötter mindre än mellanekorren. Hur många nötter fick varje ekorre?

ekorre

Elever: Vi tänkte först att alla skulle få lika många nötter, 30 stycken. Men sedan skulle den minsta ge 10 till den största, så det blev 40, 30, 20.

alternativt:

Elever: Vi testade med 30, 20, 10, men då blev det för lite. Det saknas 30 nötter. Då lade vi på 10 till varje ekorre.

5. På en idrottslektion ställde sig hela klassen på en rad. Först skulle var sjunde barn göra två steg fram. Sedan skulle var tredje barn (av de som var kvar i ledet) göra ett steg fram, och till sist skulle var femte barn (av de som var kvar) göra ett steg bakåt. Hur många går i klassen om 15 barn stod kvar på sina platser i slutändan?

Elever: Är svaret 30?
Lärare: Låt oss kontrollera!
(Vi kontrollerar för 30 genom att rita upp 30 pinnar/saker, stryker dem en i taget och ser att det fungerar.
Lärare: Finns det fler svar?

 

Några av elevparen blev klara med uppgifterna snabbt, och då fick de lösa ett par extra uppgifter från träffen med åk 5-6.

Sedan var det dags att presentera lösningarna på tavlan. Många av eleverna/grupperna var ivriga att få gå fram. För att fler skulle få komma fram fick de göra det två och två. De som var bekväma med att prata inför gruppen fick presentera lösningen, de andra agera som stöd (ibland turades båda om att prata).

Eleverna hade snygga (förfinade efter diskussion med läraren) lösningar på uppgifterna. Till exempel, på uppgift 1 skrev de bara upp talen från 1 till 26 som innehöll siffran 2 (eftersom de andra var irrelevanta). På uppgift 2 ritade eleverna upp hur de tänkte, vilket nästan påminde om Venn-diagram, man kunde lätt följa deras resonemang. Efter att uppgift 3 hade presenterats frågade jag hur man i allmänhet bildade största möjliga och minsta möjliga tal med en given mängd siffror. Barnen kunde svara på det utan problem, även om vissa först tänkte att 0 kunde stå på första plats i ett tal (även någon enstaka lärare trodde att det var ok).

Fixering vid svar

Det jag har märkt både under diskussionerna med eleverna och i sättet de presenterar lösningarna på tavlan är att de lägger stor vikt vid att formulera svaret. De tycker att det absolut ska stå “Svar:” någonstans på pappret (eller när man presenterar på tavlan). Eller så glömmer de ibland bort att skriva det, men när de är färdiga med lösningen kommer de ihåg att avsluta med “Svar: 30 elever” till exempel.

Detta läggs förstås vikt på i skolan, för att läraren lätt ska få en överblick över om uppgiften gjorts rätt eller inte. Under Matteklubben försöker jag skifta fokus från svar till själva lösningar. På frågan “Är __ rätt svar” svarar jag alltid “Hur tänkte ni?” för att visa att det är tanken och inte vad man räknade ihop på slutet, som räknas. Extra roligt är det att ta med uppgifter där det finns flera svar på lektionerna. Då förstår eleverna bättre när läraren ställer frågorna “Finns det fler svar på uppgiften? Varför/varför inte?”. De börjar undersöka mer för att själva försäkra sig om att de verkligen har betraktat alla möjligheter. Vi straffar inte elev för att hen har gissat sig fram till ett svar, för det är också en slags strategi (som kan ge rätt svar), men vi försöker säga att det inte räknas som en fullständig lösning förrän man är säker på att det inte finns fler svar.

Det var det som hände vid diskussionen av uppgift 5, då vi kom fram till att det finns ett ytterligare svar än det som presenterades på tavlan. Men därefter kunde vi också förklara varför antalet elever i raden inte kunde bli större eller mindre.

Experiment med utvikningar

Nu fick eleverna vara i gruppen om 3-5 och undersöka olika utvikningar. Varje grupp fick en sax och en linjal, samt papper för att klippa ut och testa utvikningar. Till uppgift 2 tog jag med en Rubiks kub som fick stå framme på katedern. Om man ville testa sin utvikning, fick man alltså komma fram och göra det. Till uppgift 3 tog jag med några tändsticksaskar (därav måtten) som eleverna också kunde testa utvikningar på. Men det var nästan ingen som hade kommit så långt.

Eleverna var lite mer trötta vid det här laget och hade svårigheter med att läsa igenom och skilja på de olika uppgifterna. Jag sade till många att de skulle komma på egna utvikningar, men då läste ju inte eleverna uppgift 2 så noga (eftersom de antog att de redan hade fått det förklarat) och många missade att sidan skulle vara 6 cm. Inte för att det gör särskilt mycket. Men nästa gång ska jag ha tydligare gräns mellan uppgifterna, kanske till och med ge ut dem en i taget.

1. Vilka av figurerna på bilden kan vecklas ihop till en kub?
kuber1

Vissa elever föreställde sig hur det skulle bli i huvudet (och då gjordes såklart också några fel) och kunde utesluta eller godkänna några former. De flesta klippte ut och testade med papper när de var osäkra. Den metoden fungerade perfekt. Några av eleverna sade att de redan hade gjort liknande uppgifter tidigare på lågstadiet och då kan man ju bara glädjas åt att de verkar ha haft roligt då i skolan. Jag hoppas dock att alltid lära ut något extra med uppgifterna på Matteklubben, så som diskussionen nedan.

2. Hitta på en annan utvikning till en kub och tillverka den. Kubens sidor är 6 cm långa. Klipp ut din utvikning och testa den på kuben.

kub

Några grupper gjorde en egen utvikning i rätt storlek, några gjorde mindre utvikningar. Det bästa med stora utvikningar var att vi kunde testa dem på Rubiks kub och alla kunde se att det passade. Många grupper hittade den utvikningen, som är lik den första, fast man flyttar två av rutorna (så att formen ser ut som bokstaven “T”). Då uppmanade jag dem att hitta på en till.

3. Kom på en utvikning till ett rätblock som är 1,5 cm hög, 4 cm bred och 5,5 cm lång. Klipp ut och testa utvikningen!
Under tiden någon klipper ut utvikningen, försök att komma på fler annorlunda utvikningar till samma rätblock. Du behöver inte rita dem snyggt, bara på ett ungefär.

En grupp tillverkade utvikningen och vi testade den sedan på tändsticksasken. Möjligen hade de flesta grupper inte hunnit komma så långt, då vi inte hade så mycket tid för det här momentet.

 

Diskussion

Vi ritade upp alla utvikningar (inklusive de falska) från uppgift 1 på tavlan och gick igenom dem en och en och klassen fick skandera “ja” eller “nej” som svar på frågan huruvida de var möjliga eller inte. De flesta hade alla rätt. Vi markerade även vilka rutor som var tvungna att överlappa ifall man skulle klippa ut figuren och försöka vika en kub utav den.

Sedan var det dags för grupperna att lämna in utvikningar som de själva hade kommit på. Det blev tre annorlunda former totalt och de ritade vi upp (och visade upp de stora). Jag berättade att det totalt finns 11 utvikningar så om man ville, kunde man försöka hitta de 2 vi saknade. Här bifogar jag en bild över alla ifall man är nyfiken:

11nets_cube

Sedan visade vi upp utvikningen för ett rätblock som en grupp hade gjort (som var korrekt och inspirerad av standardformen (“plus”) på kubutvikningen). Då ställde vi en fråga till barnen: “Tror ni att finns fler utvikningar för en rätblock än för en kub eller färre?”. “Färre!” skanderade barnen. De tänkte att det var svårare att rita upp en utvikning för ett rätblock (svårare att passa in sidor), alltså måste det finnas färre sådana.

Då försökte vi diskutera fram till att om en utvikning för ett rätblock kan göras av en kub-form, skulle en inte då kunna göras av andra kubformer också? Långsamt blev barnen mer och mer övertygade om detta. “Lika många, lika många!” skrek de då.

Sedan ritade jag och en annan lärare upp flera olika former för rätblock som egentligen hade samma underliggande standardutvikningsform för kuben. Vi kunde variera den på minst tre olika sätt, genom att välja form och riktning på “sidoflärparna” (det finns ju tre olika rektangelytor). Då började fler och fler barn långsamt bli övertygade om att de faktiskt fanns fler former för rätblock (som inte är kuber) än för kuber. Jag avslöjade att det fanns ungefär 50 utvikningar för rätblock. “Och vi ska hitta de alla!” sade en elev med uppspärrade ögon. Kul tänkt, men matte ska ju helst inte var plågsamt :) Så det behövde de förstår inte göra, men jag bifogar de ändå här:

block

Hemuppgift

Det fanns extrauppgifter på bladet som de flesta inte hann komma till. Därför fick de ta dem med sig hem och tänka över dem i lugn och ro. Hemuppgiften är förstås frivillig.

Konstig nog går även den här formen att vika ihop till kub (testa hemma)!

utv0

Kan följande former också vikas ihop till kuber?

utv1

utv2

Jag berättade om vad den första uppgiften gick ut på (att man skulle klippa ut den delen som var i färg). Barnen blev väldigt förvånade över att det var en utvikning (“hur ska man vika ihop den då?”). Då tipsade jag om att det fanns en ritning över kuben, som var sned och att man kunde ta den som grund. Då förstod en av eleverna att de bitarna som stack ut passade ihop precis med det som saknades på rutorna bredvid. Får se om någon tar sig an de sista tre formerna och lyckas vika ihop dem till en kub. Det är inte särskilt lätt ens för vuxna!

Utvärdering

De 29 eleverna som kom till lektion kände sig motiverade och trivdes bra (förutom för en elev som var där för första gången och inte hade roligt), så gruppen är rolig att arbeta med. Nivån var till och med enkel för många, så det gäller att ha ett förråd med svårare uppgifter, ifall någon blir klar väldigt fort (t.ex. uppgifter från åk 5-6 kan passa). Barnen blev fortfarande trötta mot slutet, men eftersom uppgifterna var mer tillgängliga än första gången, orkade nästan alla jobba hela vägen fram.

En annan lärare påpekade, efter att han på en rast hjälpt en elev att fatta lösningen på uppgiften om fikakön, att det viktigaste med matten är inte att fatta, utan att försöka fatta. Kloka ord tycker jag, Har man nyfikenheten och ihärdigheten, så kan man komma hur långt som helst!

2 reaktioner till “Andra träffen med Matteklubben, åk 2-4”

  1. Vilket är det minsta tal > 1 som är både triangeltal och kvadrattal ? Hur hittar man alla tal som är både triangeltal och kvadrattal?

  2. Det är intressant att se alla de möjligheter som finns för att skapa en figur som kan skapa en kub. Det finns rektanglar där både sidor och diagonal antar heltalsvärden. Hur hittar man ett par där båda rektanglarna har samma area? Man kan också fundera ut hur man finner en trippel av rektanglar med samma area.

Kommentera