Fjärde träffen med Matteklubben, åk 2-4

Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan läsa om första, andra och tredje träffen med gruppen.

Nytt sätt att sitta

Den sista gången för terminen testade vi en ny bordsuppställning. Vanligtvis brukar vi behålla lektionssalen som den är, det vill säga ha 4 långa rader med bord och stolar, uppdelade i tre sektioner (den mittersta sektionen är störst). Det finns egentligen plats för cirka 40 personer, men vår grupp är inte lika stor längre (det brukar nu komma mellan 20 och 30 barn). Dels för att skapa naturlig “gruppkänsla” och dels för att ha mer utrymme för att gå runt mellan grupperna gjorde vi några “öar” med bord, med 4-6 sittplatser runt dem.

Några av barnen kom tidigt och hjälpte oss att flytta borden och stolarna. Det känns som att barnen gillade den här uppställningen, det är ju så det brukar vara i grundskolan och jag tycker att det ger en mer avslappnad känsla. Dessutom kunde vi snabbt skapa stort tomt utrymme i mitten av rummet för en aktivitet i slutet av lektionen.

Introduktion till scheman

Målet med lektionen var att introducera schemaritande i problemlösning. Den idén har vi gått igenom med årskurs 5-6, men nu behövde vi ta ner nivån något för att även de minsta barnen skulle förstå vitsen med tekniken.

Jag tycker om att börja lektionerna med en lekövning, så att alla kan komma igång och få en känsla för dagens tema. Denna gång var det dock svårt att göra övningar i form av spel, det vill säga, det fanns inget uppenbart mål för eleverna. Men de gjorde uppgifterna så som de blivit ombedda att göra och fick hum om dagens tema ändå. Följande fick de göra:

Varje grupp fick två papper. Första pappret skulle de riva sönder i några bitar (så många som de var i gruppen, det vill säga 3-6). Varje person skulle ta en lapp och skriva sitt namn på lappen. Sedan skulle de skrynkla lappen, lägga den i en hög och sedan dra en slumpvis annan lapp. På så sätt skulle varje barn få någon annans namn. På det andra pappret skulle de rita ett schema över vem som fick vems namn.

I den andra övningen skulle de sitta i grupper om 5-6 personer. Barnen skulle blunda och sträcka ut båda sina händer mot mitten. Sedan skulle de ta tag i någon annans hand med vänsterhanden, samt med högerhanden. När alla är klara får man titta igen. Sitter alla ihop nu? Om inte, vilka sitter ihop, vilka sitter inte ihop? Här behövde inte barnen rita, utan bara säga svaren högt.

Det blev lite förvirring över en andra uppgiften, då jag först bad dem att gissa ifall alla satt ihop eller inte när de fortfarande blundade. Vissa grupper kunde ge en gissning, vissa inte. Jag tror att de behöver ha lekt leken några gånger och känna igen situationen för att börja komma på strategier för att testa om de utgör en sammanhängande graf eller inte. Men denna lek var ny för dem och målet med leken var som sagt ganska diffus.

Efter att alla grupper hade testat att göra scheman på sig själva gick vi igenom allas ritningar från första övningen på tavlan. Vissa fick en triangel, vissa fick cirkel och vissa mer avancerade figurer. Vi kom överens om att en cirkel med tre personer är egentligen samma schema som en triangel. Barnen kunde då förstå att en cirkel med fyra personer är samma som en kvadrat. Och att en kvadrat kan ritas på ett annat sätt (som en “åtta”/”timglas”). Jag försökte poängtera att det inte formen som räknas, utan vem som faktiskt fick vems namn. Detta motsvarar grafisomorfismer i matematiken och det är roligt att introducera isomorfismer till barnen i så tidig ålder och att de verkar förstå.

Grafer

Som vanligt fick eleverna försöka lösa uppgifter i grupper, men denna gång var det naturligt att grupperna blev lite större (på grund av hur gruppen satt i en ring runt ett par bord). Det gjorde troligen så att klassen löste uppgifterna lite fortare än vad de annars skulle ha gjort. Vissa grupper fick en extrauppgift när de var helt klara (en extra svår bild att rita enligt reglerna i uppgift 3).

Under varje uppgift skriver jag några diskussioner jag haft med grupperna.

1. Några barn gick på en picknick. En vuxen ritade av dem på en bild där varje barn blev en liten cirkel. Sedan ritade han ut pilar, som om varje pojke skulle peka på sina systrar. Så här så det ut:

syskon

(a) Vilka barn är säkerligen flickor? Markera dem med ett kryss.
(b) Är det några pilar som den vuxna säkerligen glömde bort att rita ut?

Lärare (ser hur eleverna har ritat): Hur vet ni av de överkryssade är flickor?
Elever: Det är de som man pekade på.
Lärare (ser att inga nya pilar är utsatta): Kan man inte veta något mer, någon som skulle ha pekat på sin syster? Vilka vet man är syskon?
Elever visar på en större grupp, men ibland visar (gissar?) helt fel också.
Lärare (när elever visar fel): Det här kan man inte veta säkert. De kan ha varit syskon, men också är det möjligt att de inte är det. Markera bara det som är helt säkert.

2. Harry Potter vet hur man omvandlar en padda till en prinsessa, en svamp till en
padda och ett päron, ett päron till ett äpple, en äppelskrutt till en kattunge och en
igelkott, en kattunge till ett päron eller ett äpple, en igelkott till ett päron, ett äpple
kan han dock bara omvandla till en äppelskrutt. Just nu har han bara ett äpple. Kan
han omvandla det till en prinsessa?

Elever: Det är svårt att se. Vi lyckas inte..
Lärare: Rita ett schema över vad Harry Potter kan göra. Då kan ni lättare se om svaret är “ja” eller “nej”.
Elever: Ahaa, kan svaret alltså vara “nej”!?

3. Vilken av följande bilder går att rita utan att släppa pennan från pappret? Vilken går inte att rita på det sättet? Det är inte tillåtet att dra samma sträcka flera gånger.

tavlor

Elever: Så här gjorde vi på den första. På den andra går det bara om man ritar “ett tak”.
Lärare: Nu finns det inget “tak” på den andra. Varför är det så att det inte går att rita? Man kanske kan börja i mitten?
Elever: Kanske… (prövar)… nä, det går inte att börja i mitten heller.

4. Går att rita följande figur utan att lyfta pennan från pappret med samma regler som innan?

kvadrater

Elev: Jag lyckades! Men jag kommer inte ihåg hur jag gjorde… Vänta så ska jag visa hur man gör (ritar igen).
Lärare: Japp!

5. Hitta på en figur som består av 8 linjer som inte går att rita enligt reglerna ovan.

Elever: Den här går inte.
Lärare: Består den verkligen av 8 linjer?
Elever: Ah, justja…

 

Genomgång

När de flesta av eleverna var klara med uppgifterna gick vi igenom dem på tavlan.

1. På den första uppgiften ritade jag upp situationen och pekade på cirklarna en i taget samtidigt som jag frågade “ska det vara ett kryss där?” Då svarade eleverna unisont “ja” eller “nej”, förutom i fallen då cirklarna stod ensamma. Där är man faktiskt inte säker. Det skulle kunna vara ett ensambarn och man vet inte huruvida det är en pojke eller en flicka.

Sedan fick några elever komma fram och rita ut pilarna som saknades. Jag sade att halvsyskon inte förekommer i den här uppgiften, fast jag tror egentligen det inte var någon som frågade det heller.

2. Uppgiften om Harry Potter löste eleverna på lite olika sätt. Någon utgick från slutet och kunde motivera svaret “nej” genom att säga att det inte går att få svamp på något sätt och man måste ha en svamp för att senare få en prinsessa.

Jag ritade ändå upp schemat med pilar över vad man kunde få ur vad, så att det blev klart att det fanns två åtskilda system och man kunde se direkt att det inte gick att gå med pilar mellan dem. Fördelen med den lösningen är att man kan svara på fler frågor än just den som ställs i uppgiften, t.ex. att man inte kan omvandla ett päron till en padda heller.

3. Vi ritade upp den första figuren på tavlan och kom fram till att den andra inte gick (utan att egentligen bevisa det). Jag frågade eleverna var det gick att börja (i vilken punkt) för att rita den första figuren. Efter lite testning kom vi fram till att bara två punkter gick att starta i för att få en korrekt väg.

4. Efter att en elev ritade upp vägen i tre kvadrater-uppgiften ställde jag samma fråga. Vilka punkter gick att starta på eller snarare, vilka punkter går det inte att starta på? Dock när någon elev pekade ut en “omöjlig” punkt, så visade jag hur man kunde starta i den och rita upp figuren enligt reglerna. Till slut avslöjade jag att det faktiskt gick att starta i vilken punkt som helst.

Vi gick inte igenom teorin om Eulerstigar och hörn med udda/jämn grad, men eleverna är nu mottagliga för den idén efter att ha fått känna på sådana uppgifter.

5. Många grupper fick komma fram till tavlan samtidigt och rita upp sina grafer. Jag ringade in de som var korrekta (bestod av 8 linjer och var omöjliga att rita enligt reglerna), vilket de flesta var.

Efter genomgången tog vi en välbehövd rast. Enligt schemat skulle vi ha lekt knutleken, men jag senarelade den.

Julnötter

Många barn frågade vad “julnötter” vad för något, eftersom de inte hade träffat på ordet “nötter” i betydelsen “kluringar”. Jag tror att vi fick den frågan från alla grupper :)

1. Erik var ute och julhandlade. 1/10 av alla sina pengar spenderade han på nötter, 2/5 på kakor och 1/2 på praliner. Hur mycket pengar hade Erik kvar efter att han hade handlat?

Elever: Hur ska man tänka här?
Lärare: Till att börja med, testa vad som skulle ha hänt om Erik hade 10 kronor från början.
Elever (efter att ha räknat): Då skulle han få 0 kronor kvar.
Lärare: Vad skulle hända om han hade 100 kronor från början? 150?
Elever räknar…
Lärare: Ni kan testa att rita upp delarna om det är svårt att räkna.

2. Det finns två timglas som kan mäta 7 respektive 11 minuter. Julgröten måste kokas i exakt 15 minuter. Hur kan man mäta denna tid med hjälp av endast timglasen? Försök att vända timglasen så få gånger som möjligt.

Elever: Hur funkar det här? Vi kommer inte på hur man ska göra.
Lärare: Vi har timglas så att vi kan mäta 7 minuter och vi kan mäta 11 minuter. Kan ni komma på hur man skulle mäta 18 minuter?
Eleverna kommer på hur man gör.
Lärare: 14 minuter då?
Eleverna berättar hur man gör.
Lärare: Försök att komma på ett sätt att mäta 4 minuter.
Efter ett tag kommer en av eleverna i gruppen på hur man gör. Då ber jag att förklara lösningen till de andra gruppen. Efter det brukar någon i gruppen eller samma elev komma på hur man gör för att mäta upp 15 minuter.

3. Har du någonsin gjort girlanger utav gubbar till julgranen? Nedan ser du hur du kan göra en girlang av snögubbar (eller ljus), men hur gör man för att klippa ut en girlang med varannan snögubbe, vartannat ljus?

snogubbe

Jag såg endast 1-2 grupper börja på den här uppgiften, eftersom vi hade så lite tid till julnötterna (och de var svåra). Men åtminstone en grupp lyckades göra girlangen.

 

Knutleken

I slutet av lektionen plockade vi bort borden och stolarna i mitten för att göra ett stort tomt utrymme för knutleken. Alla, både eleverna och lärarna, ställde sig i en ring. Vi gjorde samma sak som i början av lektionen, fast i helklass: Alla blundade, sträckte fram två händer och gick mot mitten. Jag hjälpte till när händerna skulle ta tag i varandra, så att alla händer fick en annan och så att inga tre händer möttes. Sedan fick alla titta igen och nu var det meningen att man skulle trassla upp “knuten” utan att släppa händerna från varandra. Såklart kunde det bli så att flera separata ringar bildades, vilket några av eleverna förutspådde och vilket också hände. Också kunde det hända att några deltagare stod bak-och-fram i slutet, bara för att slutresultatet skulle bli en ring.

Det är faktiskt inte givet att knuten går upp, men oftast gör den det. I vårt fall hade vi en liten ring på två personer som lösgjorde sig i början, samt två större ringar som var fästa i varandra.

Efter att vi var klara skulle eleverna fylla i en liten utvärdering, men så fort de hade gjort det ville de leka knutleken igen. Det gjorde de även efter att lektionen var slut. Jag håller med dem om att det är en kul lek :)

Utvärdering

Precis som i mellanstadiet fick eleverna svara på följande frågor:

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):

1 2 3 4 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):

Ja Nej Kanske

Resultatet av utvärderingarna

Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så. Det märks vilken aktivitet föregick utvärderingen :)

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

– Lösa uppgifter tillsammans

– Mattekluringar 2 – det borde vara lite svårare och lättare beroende på vilka frågor det är.

– Knutleken 3

– Att man fick vara i grupper och räkna tillsammans 4

– Vet ej

– Allt! Bäst i världen!

– Mattelekarna 4

– Mera matte, mindre raster

– Att klippa rubiks kub

– Att alla uppgifter är lagom svåra

– Goda mackor

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

– Sallad på mackorna

– Vet inte 4

– Vissa uppgifter är svåra!

– Genomgångarna fast de var också roliga

– Att sitta och vänta

– Bara mattelekarna var roliga – minst roligt var allting annat 2

– Kortare genomgångar 3

– För korta raster 2

– Inget 3

– Julnötter

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 0
Betyg 3: 9
Betyg 4: 5
Betyg 5: 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 11
Nej: 1
Kanske: 7

Tankar efter terminen

Det märks att de minsta barnen tyckte att det var roligt att gå på Matteklubben, men kanske var det roligast just att “leka” med matte. Vi har försökt att blanda lek och allvar, speciellt på de senaste två gångerna och det ämnar vi att göra även nästa termin. Möjligen blir det lättare att göra lektionen tillräckligt varierande för att de yngsta barnen ska orka med, då vi kommer att ha 1,5h-lektioner i vår, något kortare än i höstas. Kanske finns det en poäng i att ha någon speciell aktivitet på rasten. På så vis förlorar vi inte så mycket på att göra rasten längre, och barnen får samtidigt samarbeta på ett mer avslappnat sätt och lära känna varandra.

Då matteklubben fortsätter hela 2015 kan jag nu planera ett löpande program istället för att ta enskilda teman. Nu när jag har bättre koll på barnen (och med mindre grupper) vore det kanske möjligt att följa enstaka barnens utveckling.

Har du tips på rastaktiviteter/lekar med matematisk vinkel som passar bra att göra i den här gruppen, kommentera gärna här nedan!

Tredje träffen med Matteklubben, åk 2-4

Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen och den andra träffen med gruppen.

Från början hade vi tänkt att både ha med en del med blandade problem och en tematisk del. Vi hann dock bara gå igenom blandade problemen. Dock gjorde vi det ordentligt och dessutom fanns det trots allt en röd tråd i de här problemen, även om den inte var uppenbar. Men mer om det senare!

Precis som förra gången var 29 barn och 6 lärare med på träffen.

En lek med frågor

För att barnen skulle lära känna varandra i gruppen (och inte bara känna dem från egna skolan) började vi lektionen med en frågelek. Egentligen är det en matematisk lek, men det är inte helt uppenbart varför.

Reglerna var enkla: jag eller någon annan lärare tänkte på en person i klassrummet. Eleverna skulle ställa “ja/nej”-frågor till oss för att ta reda på vem det var. Den som räckte upp handen fick chansen att ställa nästa fråga och jag försökte hela tiden välja personer som inte hade ställt någon fråga tidigare.

Men hjälp av frågorna “Är det en tjej eller en kille?” (varpå jag svarade “Ja” och frågan ändrades till “Är den en kille?”), “Är det jag?”, “Är det han?”, “Sitter personen på mittenraden?”, “Har personen en blå tröja?” etc. kunde barnen gissa rätt person på 11 försök.

Lek i grupper

Nu skulle barnen testa samma lek i grupper om 4-6. Vi gav ut papper för att de skulle anteckna antalet frågor det tog att gissa personen som någon i gruppen tänkte på. På tavlan skrev jag upp gruppernas rekord: “5 försök, 7 försök, 1 försök(!)…” Möjligen blev fokusen vid att ha så få försök som möjligt för stor, vilket gjorde att barnen ofta chansade just för att kunna gissa personen på ett försök. I snitt blev barnen bättre på att spela spelet, då oftast tog det mycket mindre än 11 försök.

Efter ett en stund pratade vi om vilka frågor som var bra att ställa. Egentligen syftade jag på frågor som ungefär halverar gruppen av misstänkta personer. Men jag formulerade inte, då barnen ändå förstod det intuitivt efter att ha lekt med frågorna.

“Är det en kille?”, “Är det ett barn?”, “Sitter personen på mittenraden?”, “Har personen en långärmad tröja?”, “Har personen ljust hår?” var några av de riktigt bra exempelfrågor som barnen kom på.

Blandade problem, del 1

Därefter delade vi ut ett blad med fem blandade problem. Det visade sig att problemen absolut inte var för lätta. Alla hade något att klura på, så jag ville inte skynda på processen bara för att hinna med en del till. Istället gjorde vi uppehåll i lösandet, då vi gick igenom de första två problemen och sedan tog vi rast.

Eleverna försöker alltid lösa problemen i ordning och hoppar oftast inte över något problem förrän de känner sig klara eller uttråkade. Nästan alltid har de några idéer på varje uppgift de hunnit börja på, så det finns alltid något att diskutera med varje grupp.

1. a) Hur många tvåsiffriga tal finns det?
b) Hur många tresiffriga tal finns det?

Elever: På a) är svaret 90
Lärare: Hur tänker ni?
Elever: Det är 99 tal som har upp till två siffror, men 1,2,3,4,5,6,7,8,9 är inte tvåsiffriga, dem måste vi ta bort.
Lärare: Japp, och var blir svaret på b)?
Elever: 990 eller.. 989… eller…
Lärare: Försök att räkna på liknande sätt. Hur många tal har upp till tre siffror och hur många måste vi räkna bort?

2. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Försök att finna flera olika sätt. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma:

samma_satt

Elever: Räknas de här (pekar på olika sätt)?
Lärare: Ja, de här är olika, men dessa (pekar på två egentligen likadana sätt) räknas som samma, eftersom man kan vrida bilden så att det ser likadant ut.

I vissa fall tyckte alltså eleverna att alla fyra sätten som här på bilden räknades som samma, i andra fall ansågs det att de räknades som två olika sätt (vänsterbilderna som ett sätt, högerbilderna som ett annat, eftersom de inte gick att vrida om till varandra).

uppdelningar_upprepning

Redovisning, del 1

Några elever fick komma fram och redovisa uppgift 1 (en grupp fick punkt a), den andra punkt b) då vi alltid har många frivilliga som vill fram, så jag försöker att ha framme så många olika personer som möjligt under lektionen).

På punkt b) fanns flera olika sätt att tänka, och gruppen vid tavlan gjorde en väldigt snygg lösning. De tog 1000 tal (1 till 1000), och sedan tog bort 100 (vad jag minnst). Det blir 900. Men 100 ska egentligen räknas med så det blir +1, det vill säga 901. Men 100 ska inte räknas med så det blir -1, det vill säga 900.

På andra uppgiften fick många grupper komma fram (en grupp i taget) och rita upp ett av sina sätt. Det blev totalt omkring 8 sätt, bland annat de här:

uppdelningar

Några av eleverna begränsades inte av tänket “måste skära längs med rutorna” och gjorde på följande sätt:

uppdelningar_kreativa

Det stod ju trots allt inte i uppgiften att man var tvungen att skära längs med rutorna (för mig var det underförstått). Det kom lite upprörda röster från vissa som tyckte att det inte räknades, och jag försökte säga att det egentligen blev två olika problem som vi löste. Och att dessa kreativa lösningarna räknades när man löste den ena versionen av problemet, men inte den andra.

(Lärdomen är att vara tydligare i uppgiftsformuleringen.)

Jag visade även att man kunde få alla uppdelningar genom att rita en linje som var symmetrisk kring centrum (eller snarare, några barn greppade vad jag var ute efter när jag frågade om uppdelningslinjen betedde sig på något speciellt sätt). Detta kan man säga även om linjer som inte följer rutgränserna.

Blandade problem, del 2

3. Ett litet barn har 3 röda och 2 blå kuber. Alla kuberna har samma storlek. Hur många 5 kuber höga olika torn kan barnet bygga?

Elev: Det finns ju jättemånga sätt! Jag vet inte om orkar rita upp alla.
Lärare: Försökt att göra det på ett strukturerat sätt. Då är det lättare att få översikt och inte glömma bort något sätt.

4. Det finns 60 trästockar, som alla är 3 meter långa, som ska huggas upp i halvmeterlånga delar. Hur många sågningar måste man göra?

Elev: Det är 6 bitar som varje stock delas upp i, således blir det 60*6 = 360 sågningar.
Lärare: Men är det verkligen 6 sågningar per bit? Hur många gånger skulle vi såga för att dela upp en stock i två bitar?
Elever: En..
Lärare: Och i tre bitar?
Elever: Två..
Lärare: Och i fler bitar?
Elever: Aha… (och man ser en aha-upplevelse i deras ansikten), det behövs 5 sågningar per stock, så svaret blir 60*5.

5. En bit föll ur en gammal tidskrift.
Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?

magazine

Elever: Sista sidan måste vara udda, alltså är det 823.
Lärare: Varför inte 283 då?
Elever: Men det är ju mindre, det ska vara större! Och då är det 823 – 328 = 495 sidor som ramlade ur.

Här blev det långa diskussioner med många av grupperna om vad som är sidor, vad som är blad (två sidor), om svaret verkligen kunde bli ett udda antal sidor och hur man egentligen ska räkna antalet sidor i en bit. Många hade svårt att förstå att man skulle (och varför man skulle) lägga till 1 efter subtraktionen.

 

Redovisning, del 2

Här hade vi inte så mycket tid kvar, så redovisningen gick ganska snabbt.

För att lättare föreställa sig tornet från uppgift 3 ritade jag upp det:
undervisar

Sedan frågade jag vilket svar alla hade fått och skrev upp förslagen som sades högt: 20, 10, 11. Grupperna fick förklara från sina egna platser hur de fick just det svaret.

Den tydligaste strategin hade gruppen som hade svaret 10 (vilket också var rätt svar): Att först räkna de 4 fallen då en av de blåa kuber är längst ner. Sedan är det 3 fall kvar när en är näst längst ner (nu är det en röd längst ner, eftersom vi redan har betraktat de andra möjligheterna). Fortsätter man så, får man till slut svaret 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Lustigt nog blev inte alla barnen övertygade om svaret, utan en elev envisades med att svaret var 11 (eleven skrev upp alla möjligheter). Vi lärare föreslog att det antagligen fanns två sätt som sammanföll, men eleven stod på sig. Tyvärr hann vi inte kolla på dessa sätt efter lektionen. Men det är imponerande med sådant matematiskt självförtroende! Den finns i mycket mindre grad hos äldre elever.

På uppgiften om stockar fick en elev gå fram till tavlan och redovisa. Men det blev ett tankefel med antalet skärningar per stock, vilket eleven fick till 3. Tillsammans hjälpte klassen till att korrigera antalet sågningar per stock till 5, vilket till slut gav rätt svar.

Två elever kom fram och redovisade uppgiften om sidorna. De motiverade bra och räknade skillnaden rätt, men de behövde också förklara varför det inte bara är skillnaden, utan skillnaden plus ett som ger det rätta antalet sidor. Eleverna förklarade det med att man “lägger tillbaka” sidan nummer 328.

Vi var tvungna att avbryta på grund av tiden, men jag tror att några hann förstå att det inte är så enkelt som att bara räkna ut skillnaden mellan två tal, när man ska ta reda på hur många tal det är som ligger mellan dem.

Röd tråd genom blandade uppgifter

Det gemensamma tankesättet för uppgifterna 1, 4 och 5 blev just “effekten +/-1”, som går ut på att man får ett fel svar eller delsvar, som avviker med 1 från det korrekta. Effekten är ett mycket vanligt tankefel som händer de flesta vuxna och dyker också ofta upp i programmering. När man inte stannar upp och tänker efter så kan man tro att det måste ske 6 sågningar för att dela upp ett stock i 6 delar, men det ska vara 5.

En ännu mer generell idé som används vid lösningen av dessa uppgifter är att ha koll på vad man lägger till och vad man tar bort. Till exempel, i uppgift 1 b) kan man lägga till talen 1 till 999, och sedan ta bort talen 1 till 99. Då är det lättare att se att svaret är 999 – 99 = 900. I uppgiften om sidor kan man först räkna med alla sidor från 1 till 823 (823 stycken) och sedan ta bort 1 till 327 (eftersom 328 ska finnas med) och då få 823 – 327 = 496 sidor.

Den andra idén hade svårare att få fäste hos eleverna, möjligen behöver de öva mer på den i framtiden (medelst något lättare uppgifter, som t.ex. nummer 1). Det var också svårare att greppa tankesättet när de jobbade med så pass stora tal som 823 och 328. De hade ingen intuitiv känsla för talen, och sade ofta att skillnaden de emellan var 505 (800 – 300 = 500, 28 – 23 = 5). Jag ska nog vara försiktig med att använda stora tal i uppgifter som går ut på att upptäcka nya idéer.

Känslan efter lektionen

Trots att vi inte hann med temat, kändes lektionen fullständig. Det blev lite variation i och med leken i början av lektionen, vilken kändes uppskattad av eleverna. Trots att vi var lika många som förra gången, så kändes det mycket lugnare än vanligt, kanske för att alla var vana vid arbetssättet vid det här laget.

Bland det bästa med eleverna i åk 2-4 är att de inte håller sig för att säga sanningen. De kan både öppet kritisera och säga lovord. Denna gång blev jag väldigt glad när en av eleverna sade att Matteklubben-dagar var tillsammans med födelsedagen hennes favoritdagar! Sånt blir man glad av att höra och jag hoppas att flera elever känner något liknande.

Jag ser fram emot nästa träff, den sista före Jul, då vi också kommer att ha en liten utvärdering om höstterminen.

Andra träffen med Matteklubben, åk 2-4

Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen med gruppen här på bloggen.

På den andra träffen kom färre elever, men de var precis lagom många för att vi skulle hinna prata med alla. Barn i årskurser upp till 4 är mycket aktiva och berättar gärna sina lösningar. Vi var 6 lärare och 29 elever. Ju yngre barnen är, desto lägre måste elev/lärare-kvoten vara, enligt min erfarenhet ungefär 4-5 för yngre barn och 6 (absolut högst 7) för äldre barn.

Blandade problem

Lektionen började med att eleverna satt två och två och löste blandade problem, precis som vi brukar göra med de äldre grupperna. Under varje uppgift står vanliga dialoger som jag och de andra lärarna hade med eleverna.

1. Andreas skrev upp talen i ordning tills siffran 2 skrevs upp 10 gånger. Han började med talet 1. Vilket tal slutade Andreas på?

Elev: 92, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Tio tal ger tio tvåor!
alternativt:
Elev: 82, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22 (två tvåor), 32, 42, 52, 62, 72, 82. Tio tvåor!
Lärare: Måste tvåorna som skrivits upp alltid vara den sista siffran? (Pekar på 22.) Här är det en tvåa som talet börjar med. Finns det inte fler sådana tal?
Elev (efter en liten tankestund): Ja, just det, det är så på 20, 21, 22… Räknar snabbt fram till talet 26 (eller 27 om den andra tvåan i 22 glöms bort).

2. Så fort deltagarna ankom till Matteklubben bildades det en lång kö till fikat. Precis bakom Adam står Linda, precis bakom Linda står Hjalmar. Om man räknar från köns början, står Hjalmar som nummer tjugo. Om man räknar från slutet, står Adam som nummer trettio. Hur många personer står i kön till fikat?

Elever: Är svaret 46?
Lärare: Kanske, berätta hur ni tänkte!
Elever: Om Adam är nummer 30 från slutet, så är det 27 personer bakom Hjalmar i kön. På samma sätt är det 17 framför Adam. Mellan Adam och Hjalmar är det 2 (personer). Tillsammans blir det 27 + 17 + 2 = 46.

(Det fanns också andra förklaringar till 46 som jag måste erkänna att jag inte riktigt förstod. Det var inte helt lätt att fånga upp felet i resonemang där man är slarvig med att räkna med/inte räkna med personer som står på ändarna)

Lärare: Vilka personer har vi räknat in och vilka har vi inte räknat in? Har vi räknat någon två gånger?
alternativt:
Lärare: Om det är 27 personer bakom Hjalmar, hur många är resten? Alltså från nummer 1 till Hjalmar som är nummer 20? (Det var inte helt självklarat för vissa barn att det var 20.)

3. Med hjälp av siffrorna 0, 5 och 9 bilda det största möjliga samt det minsta möjliga tresiffriga talet. Siffrorna i talet måste alla vara olika.

Elev: Det är 905 och 059.
Lärare: Men 059 räknas inte som tresiffrigt.
Elev: Aha, då är det 509.

4. Tre ekorrar hittade 90 nötter. De delade upp nötterna på så sätt att den äldsta ekorren fick 10 nötter mer än mellanekorren och så att den yngsta ekorren fick 10 nötter mindre än mellanekorren. Hur många nötter fick varje ekorre?

ekorre

Elever: Vi tänkte först att alla skulle få lika många nötter, 30 stycken. Men sedan skulle den minsta ge 10 till den största, så det blev 40, 30, 20.

alternativt:

Elever: Vi testade med 30, 20, 10, men då blev det för lite. Det saknas 30 nötter. Då lade vi på 10 till varje ekorre.

5. På en idrottslektion ställde sig hela klassen på en rad. Först skulle var sjunde barn göra två steg fram. Sedan skulle var tredje barn (av de som var kvar i ledet) göra ett steg fram, och till sist skulle var femte barn (av de som var kvar) göra ett steg bakåt. Hur många går i klassen om 15 barn stod kvar på sina platser i slutändan?

Elever: Är svaret 30?
Lärare: Låt oss kontrollera!
(Vi kontrollerar för 30 genom att rita upp 30 pinnar/saker, stryker dem en i taget och ser att det fungerar.
Lärare: Finns det fler svar?

 

Några av elevparen blev klara med uppgifterna snabbt, och då fick de lösa ett par extra uppgifter från träffen med åk 5-6.

Sedan var det dags att presentera lösningarna på tavlan. Många av eleverna/grupperna var ivriga att få gå fram. För att fler skulle få komma fram fick de göra det två och två. De som var bekväma med att prata inför gruppen fick presentera lösningen, de andra agera som stöd (ibland turades båda om att prata).

Eleverna hade snygga (förfinade efter diskussion med läraren) lösningar på uppgifterna. Till exempel, på uppgift 1 skrev de bara upp talen från 1 till 26 som innehöll siffran 2 (eftersom de andra var irrelevanta). På uppgift 2 ritade eleverna upp hur de tänkte, vilket nästan påminde om Venn-diagram, man kunde lätt följa deras resonemang. Efter att uppgift 3 hade presenterats frågade jag hur man i allmänhet bildade största möjliga och minsta möjliga tal med en given mängd siffror. Barnen kunde svara på det utan problem, även om vissa först tänkte att 0 kunde stå på första plats i ett tal (även någon enstaka lärare trodde att det var ok).

Fixering vid svar

Det jag har märkt både under diskussionerna med eleverna och i sättet de presenterar lösningarna på tavlan är att de lägger stor vikt vid att formulera svaret. De tycker att det absolut ska stå “Svar:” någonstans på pappret (eller när man presenterar på tavlan). Eller så glömmer de ibland bort att skriva det, men när de är färdiga med lösningen kommer de ihåg att avsluta med “Svar: 30 elever” till exempel.

Detta läggs förstås vikt på i skolan, för att läraren lätt ska få en överblick över om uppgiften gjorts rätt eller inte. Under Matteklubben försöker jag skifta fokus från svar till själva lösningar. På frågan “Är __ rätt svar” svarar jag alltid “Hur tänkte ni?” för att visa att det är tanken och inte vad man räknade ihop på slutet, som räknas. Extra roligt är det att ta med uppgifter där det finns flera svar på lektionerna. Då förstår eleverna bättre när läraren ställer frågorna “Finns det fler svar på uppgiften? Varför/varför inte?”. De börjar undersöka mer för att själva försäkra sig om att de verkligen har betraktat alla möjligheter. Vi straffar inte elev för att hen har gissat sig fram till ett svar, för det är också en slags strategi (som kan ge rätt svar), men vi försöker säga att det inte räknas som en fullständig lösning förrän man är säker på att det inte finns fler svar.

Det var det som hände vid diskussionen av uppgift 5, då vi kom fram till att det finns ett ytterligare svar än det som presenterades på tavlan. Men därefter kunde vi också förklara varför antalet elever i raden inte kunde bli större eller mindre.

Experiment med utvikningar

Nu fick eleverna vara i gruppen om 3-5 och undersöka olika utvikningar. Varje grupp fick en sax och en linjal, samt papper för att klippa ut och testa utvikningar. Till uppgift 2 tog jag med en Rubiks kub som fick stå framme på katedern. Om man ville testa sin utvikning, fick man alltså komma fram och göra det. Till uppgift 3 tog jag med några tändsticksaskar (därav måtten) som eleverna också kunde testa utvikningar på. Men det var nästan ingen som hade kommit så långt.

Eleverna var lite mer trötta vid det här laget och hade svårigheter med att läsa igenom och skilja på de olika uppgifterna. Jag sade till många att de skulle komma på egna utvikningar, men då läste ju inte eleverna uppgift 2 så noga (eftersom de antog att de redan hade fått det förklarat) och många missade att sidan skulle vara 6 cm. Inte för att det gör särskilt mycket. Men nästa gång ska jag ha tydligare gräns mellan uppgifterna, kanske till och med ge ut dem en i taget.

1. Vilka av figurerna på bilden kan vecklas ihop till en kub?
kuber1

Vissa elever föreställde sig hur det skulle bli i huvudet (och då gjordes såklart också några fel) och kunde utesluta eller godkänna några former. De flesta klippte ut och testade med papper när de var osäkra. Den metoden fungerade perfekt. Några av eleverna sade att de redan hade gjort liknande uppgifter tidigare på lågstadiet och då kan man ju bara glädjas åt att de verkar ha haft roligt då i skolan. Jag hoppas dock att alltid lära ut något extra med uppgifterna på Matteklubben, så som diskussionen nedan.

2. Hitta på en annan utvikning till en kub och tillverka den. Kubens sidor är 6 cm långa. Klipp ut din utvikning och testa den på kuben.

kub

Några grupper gjorde en egen utvikning i rätt storlek, några gjorde mindre utvikningar. Det bästa med stora utvikningar var att vi kunde testa dem på Rubiks kub och alla kunde se att det passade. Många grupper hittade den utvikningen, som är lik den första, fast man flyttar två av rutorna (så att formen ser ut som bokstaven “T”). Då uppmanade jag dem att hitta på en till.

3. Kom på en utvikning till ett rätblock som är 1,5 cm hög, 4 cm bred och 5,5 cm lång. Klipp ut och testa utvikningen!
Under tiden någon klipper ut utvikningen, försök att komma på fler annorlunda utvikningar till samma rätblock. Du behöver inte rita dem snyggt, bara på ett ungefär.

En grupp tillverkade utvikningen och vi testade den sedan på tändsticksasken. Möjligen hade de flesta grupper inte hunnit komma så långt, då vi inte hade så mycket tid för det här momentet.

 

Diskussion

Vi ritade upp alla utvikningar (inklusive de falska) från uppgift 1 på tavlan och gick igenom dem en och en och klassen fick skandera “ja” eller “nej” som svar på frågan huruvida de var möjliga eller inte. De flesta hade alla rätt. Vi markerade även vilka rutor som var tvungna att överlappa ifall man skulle klippa ut figuren och försöka vika en kub utav den.

Sedan var det dags för grupperna att lämna in utvikningar som de själva hade kommit på. Det blev tre annorlunda former totalt och de ritade vi upp (och visade upp de stora). Jag berättade att det totalt finns 11 utvikningar så om man ville, kunde man försöka hitta de 2 vi saknade. Här bifogar jag en bild över alla ifall man är nyfiken:

11nets_cube

Sedan visade vi upp utvikningen för ett rätblock som en grupp hade gjort (som var korrekt och inspirerad av standardformen (“plus”) på kubutvikningen). Då ställde vi en fråga till barnen: “Tror ni att finns fler utvikningar för en rätblock än för en kub eller färre?”. “Färre!” skanderade barnen. De tänkte att det var svårare att rita upp en utvikning för ett rätblock (svårare att passa in sidor), alltså måste det finnas färre sådana.

Då försökte vi diskutera fram till att om en utvikning för ett rätblock kan göras av en kub-form, skulle en inte då kunna göras av andra kubformer också? Långsamt blev barnen mer och mer övertygade om detta. “Lika många, lika många!” skrek de då.

Sedan ritade jag och en annan lärare upp flera olika former för rätblock som egentligen hade samma underliggande standardutvikningsform för kuben. Vi kunde variera den på minst tre olika sätt, genom att välja form och riktning på “sidoflärparna” (det finns ju tre olika rektangelytor). Då började fler och fler barn långsamt bli övertygade om att de faktiskt fanns fler former för rätblock (som inte är kuber) än för kuber. Jag avslöjade att det fanns ungefär 50 utvikningar för rätblock. “Och vi ska hitta de alla!” sade en elev med uppspärrade ögon. Kul tänkt, men matte ska ju helst inte var plågsamt :) Så det behövde de förstår inte göra, men jag bifogar de ändå här:

block

Hemuppgift

Det fanns extrauppgifter på bladet som de flesta inte hann komma till. Därför fick de ta dem med sig hem och tänka över dem i lugn och ro. Hemuppgiften är förstås frivillig.

Konstig nog går även den här formen att vika ihop till kub (testa hemma)!

utv0

Kan följande former också vikas ihop till kuber?

utv1

utv2

Jag berättade om vad den första uppgiften gick ut på (att man skulle klippa ut den delen som var i färg). Barnen blev väldigt förvånade över att det var en utvikning (“hur ska man vika ihop den då?”). Då tipsade jag om att det fanns en ritning över kuben, som var sned och att man kunde ta den som grund. Då förstod en av eleverna att de bitarna som stack ut passade ihop precis med det som saknades på rutorna bredvid. Får se om någon tar sig an de sista tre formerna och lyckas vika ihop dem till en kub. Det är inte särskilt lätt ens för vuxna!

Utvärdering

De 29 eleverna som kom till lektion kände sig motiverade och trivdes bra (förutom för en elev som var där för första gången och inte hade roligt), så gruppen är rolig att arbeta med. Nivån var till och med enkel för många, så det gäller att ha ett förråd med svårare uppgifter, ifall någon blir klar väldigt fort (t.ex. uppgifter från åk 5-6 kan passa). Barnen blev fortfarande trötta mot slutet, men eftersom uppgifterna var mer tillgängliga än första gången, orkade nästan alla jobba hela vägen fram.

En annan lärare påpekade, efter att han på en rast hjälpt en elev att fatta lösningen på uppgiften om fikakön, att det viktigaste med matten är inte att fatta, utan att försöka fatta. Kloka ord tycker jag, Har man nyfikenheten och ihärdigheten, så kan man komma hur långt som helst!