Bas 10

En alien med 4 fingrar och en människa möter varandra:

Vad är en bas?

De flesta förstår räkning med olika baser utan att behöva lära sig någon formell definition. Vi räknar i bas 10 och det finns ental, tiotal, hundratal och så vidare. Vi har 10 siffror: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 och varje (naturligt) tal bestäms entydigt av att några siffror skrivs i en viss ordning.

Men vad händer om vi har brist på siffror? Datorerna har bara siffrorna 0 och 1 till exempel. Eftersom det är två siffror säger vi att datorernas tal är skrivna i bas två. De första sju talen skulle då vara: 1,10,11,100,101,110,111. Vad långa talen blir! Så kan det gå när det finns så få siffror. Har vi brist på siffror, måste vi använda fler potisioner.

Vad händer om vi hittar på egna siffror? Låtsas som att vi har sexton siffror: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Då kan vi räkna i bas sexton:
Exmpelvis kommer talet 9999 precis före talet A000. Det största sexsiffriga talet är talet FFFFFF och så brukar man beteckna färgen “vit” hexadecimalt (det vill säga i bas sexton)!

Varför skulle varje bas vara bas 10?

Hur kommer det sig att alienen med fyra fingrar räknade i bas 10? Det är för att han själv tycker att han har 10 fingrar! De första fyra talen skriva i hans bas är nämligen 1,2,3,10 (han har bara fyra siffror).

Detta verkar hända med varje bas. Om vi räknar i bas n, så har vi n siffror (varav t.ex. 0 är den första), vilket betyder att de första n-1 positiva heltalen kan betecknas med bara en siffra. Men för ett tal till (och det blir talet n) behöver vi två siffror! Det minsta tvåsiffriga talet betecknas just 10 (om vi valde just 0 och 1 att beteckna de minsta siffrorna).

Bas ett?

Inga konstigheter verkar ske när vi räknar med bas två eller någon annan större bas. Baserna följer samma räkneregler som vanligt, vi behöver bara hålla reda på vilka siffror som finns tillgängliga.

Men hur skulle man kunna räkna med bas ett? Om det bara är en siffra tillåten, hur ska vi då kunna skriva 10, som ska beteckna vår bas med hjälp av just vår bas?

Det går inte, vi kan bara skriva en symbol, så alla talen måste skrivas olika långa för att vi ska kunna skilja på dem. Om vår symbol är a, så ser våra fem första positiva heltal ut så här: a, aa, aaa, aaaa, aaaaa.
Men ska vi välja en siffra istället för a och i så fall vilken siffra?

Större baser har ju den egenskapen att talen är lätta att “räkna om” till vårt vanliga bas tio.
T.ex. så är 1011 i bas två lika med

1*8+0*4+1*2+1*1 = 11

i bas tio, och 30A i bas sexton är lika med

3*256+0*16+10*1 = 778

i bas 10.

Hur blir det då med talet aaa i bas 1?

a*1+a*1+a*1 = 3

Då är 3a = 3. Alltså är a=1. Och talet ett i bas ett måste skrivas just 1.

Notera att om alla tal i bas 1 består av 1:or så är det omöjligt att skriva talet 0. Positionssystemet fungerar inte heller som det brukar, eftersom alla positioner står för exakt lika mycket: 1. Tal adderas då genom att skrivas ihop:

111 + 1111 = 1111111.

Om vi vill ha ett talsystem som ska kallas för bas ett och behålla så mycket egenskaper för en bas som möjligt, så har vi hittat det. Vi kan dock omöjligen hitta något som behåller alla egenskaper och kallas för bas 10 i sin egen beteckning.