Två pjäser på en 12-hörning
En svart och en vit pjäs står i två intilliggande hörn av en 12-hörning. På ett drag får man flytta en valfri pjäs till ett ledigt grannhörn. Man får inte gör drag som leder till att pjäserna står på ett sätt som de stått på förut. Hur många drag kan man som mest göra?
Låt oss färga hörnen på en 12 hörning: vartannat rött, vartannat blått. I början står pjäserna på hörn som har olika färg. Varje drag byter en av pjäserna färg på hörnet den står på. Det betyder att pjäserna står på olika färger varannan gång och på samma färg varannan gång.
Antalet sätt som de kan stå på samma färg är lika med 6*5 + 6*5 = 60, eftersom det finns 6 blå platser man kan ställa den svarta pjäsen på (och då kan man välja någon av de 5 andra platserna åt den vita pjäsen) och lika många sätt blir det om man ska ställa pjäserna på de röda platserna.
Det betyder att max 61 situationer kan hända då pjäserna stå på platser med olika färg. Om det kan uppstå max 121 situationer, så kan det ske max 120 drag (eftersom man börjar med den första situationen).
Det finns ett exempel på när man kan göra precis 120 drag. Låt svarta pjäsen vara ”passiv” och den vita ”vandra runt”. Den vita pjäsen börjar med att gå ett steg i taget medsols. När den vita har gått så långt så att det tar stopp (för svarta pjäsen är i vägen), så låter vi den svarta pjäsen ta ett steg fram. Nu har det skett 10 + 1 = 11 steg.
Låt nu den vita pjäsen vandra baklänges tills det nästan tar stopp, det vill säga så att den svarta pjäsen fortfarande kan ta ett steg fram medsols. Sedan låt den svarta pjäsen gå ett steg medsols. Nu har det skett 8 + 1 = 9 steg till.
Nu går den vita pjäsen fram igen tills det tar stopp. Sedan flyttar den svarta pjäsen ett steg fram. Sedan vita nästa tillbaka. Sedan den svarta ett steg fram. Det har skett 10 + 1 + 8 + 1 = 20 steg till.
Vi upprepar inte någon situation som har skett förut eftersom den svarta pjäsen står på nya platser i varje ny runda.
Så här håller vi på fem och en halv gång. Det vill säga, svarta pjäsen flyttar 11 gånger. Vi kan inte låta den flytta en tolfte gång för då är den tillbaka på samma plats som den startade på.
Det har då skett totalt 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 11 = 111 drag och den svarta pjäsen har precis ställt sig på den platsen den inte har varit på förut. Låt nu den vita pjäsen vandra tillbaka och låt den vandra precis så att det tar stopp. Då kommer den att ha vandrat 9 steg den här gången och då har det totalt skett 111 + 9 = 120 steg.