Tredje träffen med Matteklubben, åk 7-9

Du kan läsa om vad som har hänt på de tidigare träffarna här: första träffen och andra träffen.

På grund av hastigt salsbyte rådde lite förvirring i början om var vi skulle hålla hus, men precis till lektionens början kunde vi samlas i en och samma sal. Vi blev 18 elever och 3 lärare, vilket räckte gott och väl då eleverna oftast inte vill ha så mycket hjälp från oss. De ville mest sitta och klura själva. Kanske har de den vanan på grund av hur de brukar bli behandlade på vanliga mattelektioner.

Hemfrågan

Vi började med att diskutera läxan som jag såhär i efterhand bedömer som mycket svår. Vi repeterade först beviset för hur man räknar ut vinkelsumman i en godtycklig triangel, och sedan i en godtycklig fyrhörning.

Därefter gav eleverna ett par förslag på hur man skulle gå tillväga med en femhörning. Vi diskuterade även fallet med de icke-konvexa månghörningarna. Strategin var att skära bort en triangel i taget och på så sätt minska triangelns vinkelsumma med 180°. Då kunde vi förklara varför vinkelsumman i en n-hörning blev (n-2)180°.

Vi gick inte rigoröst igenom varför man alltid KAN skära bort en triangel på det viset. Eleverna ha ju precis börjat med geometriska resonemang, och ett sådant bevis skulle ligga på för hög nivå. Jag har redan tendensen att överskatta elevernas erfarenhet av bevis. Jag måste komma ihåg att de flesta knappt har träffat på denna typ av matte förut. Den är inte alls som skolmatten, utan mycket mer som universitetsmatten! Vilket tyvärr ofta är helt skilda saker.

Vi diskuterade även uppgiften om vinkelsumman i en stjärna. Först spekulerade vi lite om hur mycket det kunde vara och fick förslag på svaren 180°, 360° och 540°. En elev hade förberett en lösning där han hade infört olika vinkelbeteckningar och ställt upp ekvationer. Med hjälp av hans lösning kunde vi få ut resultatet 180°.

Blandade problem

Planen var att både hinna med blandade problem och ett tema (informationsteori), men vi hann bara med den första delen. Det berodde på att alla problemen var riktigt kluriga och det behövdes tid för att knäcka dem.

Ibland var uppgifterna lite väl kortfattat formulerade, så jag skrev upp lite förtydliganden på tavlan. Till exempel: “Allt kaffe och mjölk blev uppdrucket” (uppgift 1), “Det är bara tillåtet att ta två glas i taget och jämna ut juicenivån i dem” (uppgift 3) och “Det tog 2014 gånger att byta från grön till lila” (uppgift 4).

Under varje uppgift har jag skrivit reaktioner, frågor och funderingar som dök upp hos eleverna. Jag har även skrivit upp vanliga angreppssätt som förekom och försökt att analysera dem.

1. Under lärarfikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Angelika drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många lärare kom på fikat?

Elev: Det är så lite information i frågan. Man vet inte riktigt var man ska börja!
Lärare: Det är sant att det finns lite information. Ändå finns det bara ett möjligt svar.

Angreppssätt:
• Att ställa upp ekvationer. Kan ge information om man inte har för många variabler. Men man måste ha två olika variabler för kaffemängden respektive mjölkmängden (i uppgiften tas 1/4 och 1/6 av olika saker).

• Att anta att Angelika drack lika mycket kaffe som mjölk. Då kan man räkna ut hur mycket 1 kopp utgör av den totala mängden vätska och beräkna antalet koppar till 5. Problemet är att detta är ett specialfall och löser inte uppgiften då Angelika inte drack lika mycket kaffe som mjölk.

Elever: Vi tror att svaret är fem. Det funkar då.
Lärare: Då återstår det att bevisa att det inte kan vara någon annat tal. Varför tror ni inte att svaret kan vara fyra? Eller tre? Eller ännu mindre?
(Efter den frågan kunde eleverna vanligtvis knäcka uppgiften.)

2. Tre på varandra följande tal har summan A. Summan av de tre talen som följer efter betecknar vi med B. Kan produkten AB vara lika med 1111111111?

Lärare: Tror ni att det går eller inte går?
Elever: Vi tror att det går! Vi håller på att räkna ut på ett ungefär vilka tal det måste vara för att senare se vad det ska bli exakt.
Lärare: Ja, det är en bra strategi för att bestämma svaret utifall det går, att göra det på ett ungefär först.

Angreppssätt:
• Att börja räkna på exempel. Utifall det går så kan man råka stöta på rätt svar. Ifall det inte går, så får man en känsla för vad produkten kan bli för tal. Så det är en bra strategi överlag.

• Att beteckna första talet i raden med x. Om man kan uttrycka A och B med hjälp av x får man en variabel istället för två och då är det lättare att få hum om uppgiften. Minst en elev löste uppgiften med denna strategi.

• Att studera egenskaperna hos talen A och B. Är de jämna eller udda? Detta leder också till korrekt lösning.

3. På bordet står 8 glas med juice. Det är tillåtet att ta vilka två glas som helst och jämna ut juicenivån i dem (genom att hälla över juice från det glaset som har mer). Hur kan man med hjälp av sådana operationer göra så att alla 8 glasen innehåller lika mycket juice?

Elev: Totala mängden enheter ska vara delbart med 8, annars går det inte.
Lärare: Det är ok även om mängden juice i varje glas blir ett decimaltal i slutändan.

Angreppssätt:
• Att hitta på ett exempel där man vet hur många enheter juice det är i varje glas. Då kan man räkna ut hur mycket juice det ska vara i varje glas i slutändan. Problemet med strategin är att man ofta hittar på krångliga tal och inte kan få översikt över det specialfallet heller.

• Att försöka jämna ut nivån i fyra av glasen först. Denna strategi leder till rätt lösning.

• Att försöka få mängderna juice i glasen att bli så nära varandra som möjligt. Detta leder till approximativ, inte exakt strategi.

4. På kameleontuppvisningen ska kameleonterna byta färg: från röd till gul, från gul till grön, från grön till blå, från blå till lila, och från lila igen till röd. En av kameleonterna bytte färg 2014 gånger och gick från att vara grön till att vara lila. Men den gjorde ett enda misstag under uppvisningen och bytte färg till röd, när den inte skulle ha gjort det. Vilken färg hade kameleonten innan den gjorde misstaget?

Elev: Hur kunde kameleonten byta färg från grön till lila?
Lärare: Det menas att den var grön från början, sedan gjorde 2014 byten och till slut blev lila.

Angreppssätt:
• Att titta på vad kameleonten skulle ha fått för färg efter 2014 gånger. Sedan backa så många steg som behövs genom det felaktiga bytet. Detta fungerar om man har bra koll på antalet steg (och inte tar ett för mycket eller ett för lite).

• Att hitta på ett exempel där det fungerar. Det återstår att visa att svaret blir densamma oavsett vilket exempel man skulle ta.

5. I triangeln ABC är BD en bisektris (en linje som delar vinkeln vid B mitt itu). Bestäm differensen mellan vinklarna ACB och BAC om vinkeln BDC = 68°.

Elev: Vilka vinklar är ACB, BAC, etc.?
Läraren visar hur man läser av vinkelbeteckningarna med hjälp av en bild.
Lärare: Till exempel, vinkel B (i triangeln ABC) och vinkeln ABC är samma vinkel.

Angreppssätt:
• Att räkna ut de vinklar man kan, sedan införa beteckningar och ställa upp ekvationer. Detta sätt fungerar om man är van vid att hantera ekvationer och har koll på vad man vill få på ena sidan (om man betecknade ACB med x och BAC med y, så vill man få x-y).

• Att sätta ut så många lika vinklar som möjligt och försöka läsa av bilden (om man inte vill räkna med ekvationer). I detta fall tjänar man på att rita ut en extralinje, så att en vinkel med samma mått som den eftersökta skillnaden skulle bildas. Man kan räkna ut den med hjälp av regeln om yttervinklar.

 

Svåra uppgifter

Ingen av uppgifterna var enkel att lösa. Alla krävde någon tanke “utanför lådan” och innehöll minst två steg i lösningen. När det bara behövs ett steg, en strategi, så kan man se direkt om ens egna strategi fungerar eller ej. Men man kan inte avgöra om man kommit “halvvägs” eller inte, om man inte på förhand vet lösningen. Det gäller alltså att både våga chansa och våga satsa på sin strategi. Och väljer man en strategi som inte fungerar, så går det åt ganska mycket tid att inse det.

Trots allt detta är det väldigt kul att lösa svåra uppgifter (uppgifter som tar lång tid för en att lösa). Kanske är det därför som många av eleverna inte vill lyssna på ledtrådarna, för då skulle lösningsupplevelsen inte vara lika tillfredsställande. Jag var likadan när jag var yngre och brukade dessutom gå ur rummet när vi hade genomgång, bara för att inte få “tricket avslöjad” för mig. Så mycket är det värt att lösa problemet själv.

Tyvärr lär man sig inte så mycket om man inte får veta lösningen till slut, därför är jag glad att alla eleverna på Matteklubben stannade för genomgång.

Genomgång

På varje uppgift fick minst en person gå fram och redovisa sin lösning. Vissa av lösningarna var ofullständiga eller hade fel och då fick andra i klassen hjälpa till personen vid tavlan eller komma med egna lösningsförslag. Ibland tog vi upp olika sätt att lösa uppgiften, som till exempel uppgift 2.

Eleverna känner sig olika säkra vid tavlan. De är oftast bra på att redovisa till klassrummet (och inte till läraren, så som många små barn gör), och de flesta i gruppen kan ta till sig deras lösning. Dock är eleverna ofta ovilliga att komma fram och eventuellt exponeras för kritik. Jag försöker betona att vi kritiserar lösningar hos den som presenterar dels för att förstå bättre och dels för att märka om personen gör ett matematiskt fel. Jag vill att eleverna gör likadant mot mig när jag själv presenterar en lösning. Samtidigt vill jag att man ska känna sig trygg vid tavlan och inte bli ifrågasatt som person. Alla ska tycka att det är ok att ha fel, men då kanske jag måste föregå med gått exempel och göra lite fel vid tavlan först :)

Detta ger mig en idé till en lektion, där eleverna skulle få en lista med felaktiga resonemang, där de ska hitta felen. Lite som med trollekvationen och den extra rutan. Jag tror att eleverna behöver träna på att kritisera inte bara andras muntliga, men också skriftliga resonemang.

Nästa gång

Jag hoppas att vi kan köra igenom temat. Blandade uppgifter tar vi med för att de är underhållande och för att just “blanda ut” ett ensidigt tema. Men informationsteorin, som vi ska hålla på med nästa gång, innehåller så pass varierande frågeställningar, att jag tror att vi inte behöver kika på något blandat. Jag ska tänka på att variera svårighetsgraden, så att inte alla uppgifterna blir svåra. Vi kommer också att utvärdera Matteklubben och förhoppningsvis öppna anmälningarna inför nästa termin!

Lösningen till problemet för de yngre vecka 43


Mattegåta

Tre vänner har ett företag ihop. Deras efternamn är Eriksson, Karlsson och Nilsson. En av dem är VD, en är sekreterare och en är kassör. Sekreteraren har inga syskon och han är den yngste på företaget. Nilsson är äldre än kassören och är gift med Erikssons syster.

Bestäm VD:ns, sekreterarens och kassörens respektive efternamn.

Diskussion

Problemet är ett typiskt exempel på en mysteriegåta. Det kanske inte är särskilt stor mystik över vem som verkligen är VD på företaget, men det är i vilket fall okänt för oss.

Om du inte vet var du ska börja, rita en tabell över alla möjligheter:

Målet att vi ska välja exakt en ruta i varje rad och varje kolonn. Då kommer precis en person bli kassör, en sekreterare och en VD.

Men först måste några rutor uteslutas.Till exempel sekreterare-Eriksson-rutan (tänk på varför).

Fortsätter du på detta vis får du fram vilka rutor som är fel och vilka som är rätt. Lösningen med svaret finns längst ner.

Gillar du sådana här problem rekommenderar jag ett beroendeframkallande spel Sherlock – The Game of Logic. På sidan kan ni ladda ner ett demo och prova att spela.

Spelet går ut på sammaställa en unik person med en unik frukt, ett hus, en siffra och lite andra grejer. Till sin hjälp har man massa olika ledtrådar på den högra sidan av skärmen. De kan säga vilka saker som finns bredvid varandra (till exempel kolumnen med R måste vara bredvid kolumnen med det röda huset), ifall något är till vänster om något annat, ifall tre saker inte ligger efter varandra (åt något håll). Det finns alltid en unik lösning på slutet!

Lösning (av Toomas Liiv)

Sekreteraren har inga syskon och är yngst. Nilsson är äldre än kassören och kan därför inte vara yngst. Nilsson är gift med Erikssons syster. Eriksson har alltså minst ett syskon. Sekreterarens kriterier passar inte in på vare sig Eriksson eller Nilsson och måste därför vara Karlsson.

Nilsson är äldre än kassören och kan därför inte vara kassör, förutsatt att han inte är äldre än sig själv. Den enda kvarvarande möjligheten är VD, vilket han då också måste vara.

Kvar finns Eriksson och kassören som då måste vara samma person.

Alltså har vi att:

• VD:ns namn är Nilsson

• Sekreterarens namn är Karlsson

• Kassörens Eriksson