Mattebloggen

Nyligen pratade jag med en kollega om ekvationer. Att så pass måna barn och ungdomar i Sverige har svårt att förstå hur ekvationer funkar.

En möjlig förklaring till detta är att det blir för stort hopp i abstrakt tänkande när ekvationer först introduceras. Många elever tycker inte om eftersom de förknippar den nya symbolen med svår matematik.

Egentligen är ju ekvationer ganska enkelt! (Som all matematik, när man väl fattar.) Ett sätt att få elever att inte bli rädda för det nya skrivsättet är att introducera x tidigare i grunskolan, föreslog min kollega.

Ni har säkert sett något liknande i matteboken på lågstadiet:

Eller ett streck eller till och med en glad gubbe istället för rutan.

Varför inte skriva istället? Det gör man redan tydligen i vissa länder, till exempel i Ungern (löst rykte, jag har ingen referens, någon som vet?)

Barnen får skriva en siffra på platsen där är:

vilket antagligen gör de mindre rädda för variabler så småningom. (Naturligvis bör olika bokstäver användas, inte uteslutande .)

Det är en intressant idé, men jag ser omedelbart en nackdel för elever som senare börjar läsa på gymnasienivå och träffar på ekvationer och formler av typen

där inte står för någon speciell siffra. Men står alltid för ett speciellt tal innan man börjar prata om funktionsbegreppet. Men förhoppningsvis är eleverna mogna nog på gymnasiet för att ta till sig den abstraktionsnivån.

Diskussion

Vid en första anblick verkar det vara konstigt varför 50 dollar-myntet överhuvudtaget är viktig för uppgiften. Det verkar ju rimligt att försöka handskas med så få mynt som möjligt, det vill säga betala med 15 dollar och få två stycker 1 dollar-mynt tillbaka. Det skulle ge priset 13 dollar.

Men det är inte säkert att det är det absolut minsta priset! Tänk på hur det kan bli om spelaren betalar med två mynt och får tre mynt tillbaka. Till exempel kan han betala 1+50 dollar och få 15+15+15 tillbaka. Och då kostar ju svärdet 6 dollar, vilket redan är lägre!

Då kanske det går att få ner priset ännu mer? Nu får vi ta och resonera ordentlig om hur betalningen kunde sett ut. Till exempel verkar det onödigt om spelar betalar med några 15 dollar-mynt och får också några tillbaka, det skapar bara onödig växling. Alltså kan vi reducera till fallen då mynt av olika sort var betalt respektive växel.

Vad finns det då för varianter? Som i exemplet ovan så går det att betala med 1 och 50 dollar-mynt och få bara 15 dollar-mynt tillbaka. I lösningen nedan ser vi att det inte blir fler signifikanta fall än så.

Diskussion

För att lösa a)-uppgiften kan man göra ett antagande som förenklar problemet. Man kan nämligen anta att två av högarna är exakt lika stora. Då skulle vi bara behöva testa två av fall: att Pippi får den unika högen eller att Pippi får en av de två likadana.

Det visar sig att det går att hitta på sådana högar (se lösningen nedan).

På b)-uppgiften är svaret ”nej” och då kan man förstås inte göra några förenklande antaganden. Där ska man visa att det aldrig går hur högarna än ser ut. För att bevisa detta ställer vi upp ekvationer.

Från Transformationsmatrisen – del 4 fick vi följande resultat:

För att bestämma transformationsmatrisen från bas till bas , uttryck basvektorerna i basen och skriv in resultaten som kolonner i en matris.

Hur gör man då det essentiella steget, det vill säga hur uttrycker man vektorerna i i basen ?

Jo, precis som på det sista sättet i Transformationsmatrisen – del 3.

Allmänt, ansätt:

vilket är precis samma sak som

(Varför det är så? Se Transformationsmatrisen – del 2.)

Det är alltså de här talen och så vidare som vi skall bestämma. De är ju precis talen i transformationsmatrisen från basen till basen .

Hur bestämmer man dessa tal?

Notera att varje ekvation i det stora ekvationssystemet är ett ekvationssystem i sig, om man skriver ut alla vektorernas koordinater:

och

(Alla små a:n och b:n är för oss kända tal.)

Då blir den första ekvationen ett ekvationssystem:

Och sådana där vet vi löses med Gauss-elimination.

Det här löses som vanligt. Matrisen till vänster (allt utom det sista kolonnen) ska göras om till en identitetsmatris och när man gjort det blir den högraste kolonnen det man söker, det vill säga .

Vad gör vi med den andra ekvationen, , vilket ekvationssystem blir det?
Jo, om , så är det

alltså med samma vänstra del till matris som förut. Det blir exakt samma Gauss-operationer som ska utföras, vilket betyder att jobb kan sparas.

Och på exakt samma sätt löser vi ut alla andra små x med hjälp av resten av ekvationerna:

Tada! Skrivet på ett annat sätt:

där och är kolonnvektor skrivna i standardbasen, är identitsmatrisen och är transformationsmatrisen, det vi sökte!

På ett lager fanns likadana ostar. En natt kom sluga råttor dit och åt upp 10 av ostarna. Varje råtta åt lika mycket. Några råttor klarade dock inte av måltiden och fick ont i magen. Nästa natt kom de 7 råttorna som inte fick ont i magen och åt upp resten av osten. Dock fick varje råtta hälften så mycket som natten innan. Hur många ostar fanns det från början?

Alla lösningar jag har fått in går ut på att ställa upp ett ekvationssystem. Lösningen nedan är kopierad från Erik R.

Lösning:

Man kan definiera tre okända storheter: O för antalet ostar, R för antalet råttor och Ä för hur många ostar varje råtta åt under den första natten. Man får då förstås det enkla sambandet

R*Ä = 10 => Ä = 10/R

Man kan då räkna på O

O = 10 + 7*Ä/2

O = 10 + 35/R

Man tänker sig att O skall vara ett heltal, så om det inte finns några bråkdelsråttor som springer omkring måste R vara 1, 5, 7 eller 35. Det framgår dock att R>7, vilket ger R=35. Då blir förstås antalet ostar O=11.

Under familjefikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Terese drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många familjemedlemmar finns det?

Lösning:

Terese drack en del kaffe och en del mjölk, antag att delen mjölk var lika med x. Det är ett tal mellan 0 och 1 som säger betecknar den delen av koppen som var full med mjölk (en tredjedel till exempel).

I så fall var andelen kaffe i Tereses kopp lika med 1-x.

Då kan vi räkna ut hur mycket dryck det fanns totalt, nämligen:

x*4 + (1-x)*6 = 4x + 6 – 6x = 6 – 2x

6 – 2x måste då bli ett heltal, för att mängden dryck motsvarar ett helt antal koppar (oavsett mjölk-kaffe-fördelningen i varje kopp).

Det ger att även 2x är ett heltal. Det enda x mellan 0 och 1 som uppfyller det är talet ½.

Så totalt fanns det 6-1 = 5 koppar dryck, vilket betyder att antalet familjemedlemmar är 5.

Lösning 2:

Vi tittar på hur mycket Terese konsumerade. Fyra gånger Terese konsumtion skulle innebära all mjölk men endast fyra sjättedelar av kaffet, vilket är mindre än den totala vätskemängden. Terese måste alltså ha druckit mindre en en fjärdedel.

Samtidigt vore sex gånger så mycket allt kaffe men sex fjärdedelar av mjölken, det vill säga mer än den totala mängden kaffe-och-mjölk. Alltså har Terese tryckt i sig mer än en sjättedel.

Slutsatsen blir därmed att Terese har stått för en femtedel av drickandet, och att det därmed finns fem familjemedlemmar.