Mattebloggen

I Skogsmården bor bara alver och dvärger. Dvärgarna ljuger varje gång de pratar om sitt guld, annars talar de sanning. Alverna ljuger varje gång de pratar om dvärgar, annars talar de sanning. En gång hörde man två Skogsmårdbor prata:

A: Jag stal allt mitt guld från Draken.

B: Du ljuger.

Bestäm för varje person om denne är alv eller dvärg.

Svar:

Båda är dvärgar.

Lösning:

Om någon anklagar någon annan för lögn, så kan inte båda ha rätt och båda kan inte ha fel heller. Den ena måste ha rätt och den andra måste ha fel.

Så antingen är det så att A talar sanning och B ljuger eller att A ljuger och B talar sanning. Vi undersöker de möjligheterna.

A talar sanning och B ljuger.

Om A talar sanning så måste han vara alv, eftersom dvärgar ljuger om sitt guld. Å andra sidan om B ljuger, så måste A vara dvärg, eftersom B pratar om en person, och man kan bara ljuga om dvärgar (om man pratar om någon person). Så detta alternativ är omöjligt. Alltså är det så att:

A ljuger och B talar sanning.

Om A ljuger om sitt guld, så måste han vara dvärg. Eftersom B pratar om en dvärg och talar sanning, så kan han inte vara alv och måste då också vara en dvärg. Det alternativet fungerar och det finns inga andra!

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

I Skogsmården bor bara alver och dvärger. Dvärgarna ljuger varje gång de pratar om sitt guld, annars talar de sanning. Alverna ljuger varje gång de pratar om dvärgar, annars talar de sanning. En gång hörde man två Skogsmårdbor prata:

A: Jag stal allt mitt guld från Draken.

B: Du ljuger.

Bestäm för varje person om denne är alv eller dvärg.

Redan tre personer har löst förra veckans gåta, men alla andra har en vecka till på sig att skicka in lösningen. Och här är en ny gåta att klura på.

Vargen bjöd hem de tre små grisarna och Rödluvan för att titta på film. Efter att de var klara gick Vargen till köket, räknade alla kex och upptäckte att det saknades två. Men han har en stor balansvåg hemma som han kan använda. Hur kan med hjälp av två vägningar bestämma, vem som åt upp kexen? Alla kex väger lika mycket, alla grisar (i alla fall när de precis hade kommit till Vargen) också. Vargen vet även att Rödluvan bantar, så hon kunde max äta upp ett kex.

I ett tehus träffades 55 människor, de var indier och turkar. Varje person drack antingen te eller kaffe. När en indier dricker te så talar han alltid sanning och när han dricker kaffe så luras han alltid, turkarna är precis tvärtom. På frågan ”Dricker du kaffe?” svarade 44 personer ”ja”, ”Är du turk?” svarade 33 personer ”ja” och ”Regnar det ute?” svarade 22 personer ”ja” på. Hur många indier drack te på tehuset?

Notera att det är okänt huruvida det regnade eller inte. Teoretiskt finns det alltså två olika situationer. Men ställer man upp ekvationssystem, så kan man komma fram till att ena situationen (att det inte regnar ute) är omöjlig. Här nedan följer Johans lösning, som klarar sig galant utan ekvationer.

Lösning:

Vilka är det egentligen som svarar ”ja” på frågan om de dricker kaffe? De enda som svarar ”ja” är kaffedrickande turkar (som ju talar sanning) och tedrickande turkar (som ljuger om sitt tedrickande). Så antalet ”ja”-svar är precis antalet turkar. De som svarar ”nej” är tedrickande indier (som talar sanning) och kaffedrickande indier (som ljuger om sitt kaffedrickande). Så antalet turkar är 44 och alltså är antalet indier 11.

Vad säger oss svaren på frågan ”Är du turk?” egentligen? Det är kaffedrickarna som svarar ”ja” och tedrickarna som svarar ”nej” (oavsett nationalitet). Så antalet kaffedrickare är 33 och tedrickare 22.

Eftersom antalet indier är 11 och det är 33 personer som dricker kaffe, så måste minst 22 turkar dricka kaffe. Om exakt 22 turkar talar sanning (dricker kaffe), så dricker alla indier kaffe. I det fallet finns alltså 0 indier som dricker te. Då är det enbart de 22 kaffedrickande turkarna som talar sanning på det här tehuset och alltså regnar det ute (om det inte hade regnat, skulle 33 personer ha talat sanning).

Antalet ”ja”-svar på frågor stämmer i det här fallet, så noll tedrickande indier är en möjlig lösning. Vi måste dock kontrollera att inga andra varianter finns.

Tidigare kom vi fram till att antalet kaffedrickande turkar är minst 22. Det fallet vi inte har undersökt än när de fler än 22. De talar sanning och då kan det inte regna ute (för annars skulle vi fått fler än 22 ”ja”-svar).

Då är antalet sanningssägare 33 (för de andra 22 personerna ljög och sa att det regnade). Men vi vet att antalet sanningsägare
måste var ett jämt tal. Varför det?

Genomför följande experiment. Om en turk och en indier har olika innehåll i koppen låt de byta koppar med varandra. Men då går de antingen från att båda ljuger till att båda talar sanning eller tvärsom. Låt då alla turkar ta så mycket kaffe de kan genom sådana byten. Det finns 33 kaffekoppar, så till slut dricker 33 turkar kaffe och 11 indier dricker te (det enda de kan dricka efter experimentet). Så antalet sanningsägare har blivit 44. Men notera nu att vid varje byte så ökade antalet sanningssägare med 2 eller minskade med 2 (ändrade inte paritet). Så det måste ha varit ett jämnt antal sanningssägare från början. Vilket motsäger att 33 sanningsägare från början skulle varit möjligt.

Alltså är 0 tedrickande indier den enda möjligheten.

I ett tehus träffades 55 människor, de var indier och turkar. Varje person drack antingen te eller kaffe. När en indier dricker te så talar han alltid sanning och när han dricker kaffe så luras han alltid, turkarna är precis tvärtom. På frågan ”Dricker du kaffe?” svarade 44 personer ”ja”, ”Är du turk?” svarade 33 personer ”ja” och ”Regnar det ute?” svarade 22 personer ”ja” på. Hur många indier drack te på tehuset?

Första mötet med matematisk logik är för många påståendet ”Jag ljuger”. Det är förstås en paradox, eftersom någon som talar sanning,  kan inte påstå att han ljuger. Och tvärtom, någon som ljuger, kan inte tala sanning om det. (Egentligen menas påståendet ”Jag ljuger just nu” här.)

Sådana här logikkluringar är perfekta för nybörjare i matematik. Det är klart och  tydligt att någonting antingen kan vara falskt eller sant. Därför är uppgifterna nedan väldigt bra exempel på hur matematiker i allmänhet resonerar. Man lär sig vad matematiskt ”eller” och ”implikation” betyder som en del av språket för bevisredovisning och inte som formella symboler.

Dessutom har logikuppgifter fördelen att deras formuleringar inte alls låter som matte. De ges med fördel till barn som har matteallergi. Berätta då inte att det är matematik innan de satt igång!

Exempel på problem från mattecirkeln:

1. Magdas katt nyser alltid ett dygn före regn. Idag nös katten. ”Det kommer regna imorgon”, tänkte Magda. Har hon rätt?

2. `Kristian har fler än 1000 böcker”, sade Bodil.
”Nej, han har mindre än 1000 böcker”, sade Calle.
”Minst en bok har han säkert”, sade Emil.
Om bara ett av påståenden är sant, hur många böcker kan Kristian ha?

3. En gång blev Robinson tillfångatagen av en vild stam. Deras hövding sade: ”Enligt seden måste du uttala ett påstående. Om det blir sant ska vi äta upp dig. Om det blir osant ska vårt tama lejon äta upp dig.” Vad måste Robinson säga?

4. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! ” ”I vilken stad brinner det? ” ”I Turmö ”. Till vilken stad skall brandkåren?

Notera att i uppgiften är det bara möjligt att bestämma vem som har 8 armar. Vi kan alltså inte ta reda på hur många armar varje bläckfisk har.

Jag fick en helt korrekt lösning från min vän Ove:

Den svarta bläckfisken säger: ”Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!”

Detta gör att han måste ljuga, eftersom att om han skulle prata sanning så skulle han ha jämnt antal armar (och därmed säga det också).

Därför kan inte den mörkblå tala sanning när den säger: ”Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.”

Därför har inte den heller 8 armar (och inte heller ett jämnt antal armar).

Den mörkgröna bläckfisken påstår att den mörkblå har 6 armar (jämnt) vilket vi vet att det inte har, varpå den också måste ljuga och inte ha 8 armar.

Den randinga bläckfisken talar därför sanning när den säger att inga av de andra har 8 armar, varpå dess påstående att den har 8 armar också är sant.

Så svar: Den randiga bläckfisken.

Bläckfisken på bilden har ingenting med gåtan att göra.

I ett hav bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:

- Jag har 8 armar. Och du har bara 6.

Då blev den mörkblåa sur:

- Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.

Den svarta bläckfisken höll med:

- Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!

Varpå den randiga bläckfisken sade:

- Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.

Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?

Skicka in lösningar med motivering på mail som ni hittar här.