Överhällningar
På bordet står två behållare med 1 liter vatten i varje. Först häller man över hälften av vattnet från den första behållaren till den andra. Sedan häller man över en tredjedel av vattnet som finns i den andra behållaren till den första, sedan en fjärdedel av vattnet i den första till den andra och så vidare. Hur mycket vatten finns det i behållarna efter 100 sådana överhällningar?
Avstånd mellan städer
Avstånd mellan städer
Från Lingonby till Malort är det 660 km, från Lingonby till Lysekil är det 310 km, Från Lysekil till Kåbo är det 200 km, från Kåbo till Malort är det 150 km. Hur långt är det mellan Malort och Lysekil?
Småkuber
Småkuber
Man målade hela ytan på en kub och sedan sågade upp den i likadana småkuber. Det visade sig att det fanns småkuber med bara en målad sida och de var lika många som småkuberna som var helt omålade. I hur många småkuber delades den stora kuben?
Ettor och tvåor
Ettor och tvåor
Vilket är det största talet man kan skriva med hjälp av bara ettor och tvåor som uppfyller följande egenskap: Summan av vilka som helst fem siffror som kommer efter varandra i talet måste vara jämn, medan summan av vilka som helst sex siffror som kommer efter varandra i talet måste vara udda?
Hemligt tal
Hemligt tal
Julia tänkte på ett tal, multiplicerade sedan det med 13, strök sista siffran i resultatet, sedan multiplicerade det nya talet med 7, återigen strök sista siffran i resultat och då fick hon 21. Vilket tal tänkte Julia på från början?
Bryta chokladkakan
Bryta chokladkakan
I present får Mats en chokladkaka som har 15 × 6 rutor. Mats bryter en bit (från början utgör chokladkakan den biten) i taget, längs med en av dess skåror. Hur många brytningar måste han göra, för att det bara ska bli ensamma rutor kvar i slutändan?
Tresiffriga tal
Tresiffriga tal
Språkval
Språkval
I klassen är det 14 elever som har valt att studera tyska, 8 som valt att studera franska. Det finns 3 elever som valt båda språken. Hur många elever går i klassen om man vet att alla valde åtminstone ett språk?
Tredje träffen med Matteklubben, åk 7-9
Du kan läsa om vad som har hänt på de tidigare träffarna här: första träffen och andra träffen.
På grund av hastigt salsbyte rådde lite förvirring i början om var vi skulle hålla hus, men precis till lektionens början kunde vi samlas i en och samma sal. Vi blev 18 elever och 3 lärare, vilket räckte gott och väl då eleverna oftast inte vill ha så mycket hjälp från oss. De ville mest sitta och klura själva. Kanske har de den vanan på grund av hur de brukar bli behandlade på vanliga mattelektioner.
Hemfrågan
Vi började med att diskutera läxan som jag såhär i efterhand bedömer som mycket svår. Vi repeterade först beviset för hur man räknar ut vinkelsumman i en godtycklig triangel, och sedan i en godtycklig fyrhörning.
Därefter gav eleverna ett par förslag på hur man skulle gå tillväga med en femhörning. Vi diskuterade även fallet med de icke-konvexa månghörningarna. Strategin var att skära bort en triangel i taget och på så sätt minska triangelns vinkelsumma med 180°. Då kunde vi förklara varför vinkelsumman i en n-hörning blev (n-2)180°.
Vi gick inte rigoröst igenom varför man alltid KAN skära bort en triangel på det viset. Eleverna ha ju precis börjat med geometriska resonemang, och ett sådant bevis skulle ligga på för hög nivå. Jag har redan tendensen att överskatta elevernas erfarenhet av bevis. Jag måste komma ihåg att de flesta knappt har träffat på denna typ av matte förut. Den är inte alls som skolmatten, utan mycket mer som universitetsmatten! Vilket tyvärr ofta är helt skilda saker.
Vi diskuterade även uppgiften om vinkelsumman i en stjärna. Först spekulerade vi lite om hur mycket det kunde vara och fick förslag på svaren 180°, 360° och 540°. En elev hade förberett en lösning där han hade infört olika vinkelbeteckningar och ställt upp ekvationer. Med hjälp av hans lösning kunde vi få ut resultatet 180°.
Blandade problem
Planen var att både hinna med blandade problem och ett tema (informationsteori), men vi hann bara med den första delen. Det berodde på att alla problemen var riktigt kluriga och det behövdes tid för att knäcka dem.
Ibland var uppgifterna lite väl kortfattat formulerade, så jag skrev upp lite förtydliganden på tavlan. Till exempel: ”Allt kaffe och mjölk blev uppdrucket” (uppgift 1), ”Det är bara tillåtet att ta två glas i taget och jämna ut juicenivån i dem” (uppgift 3) och ”Det tog 2014 gånger att byta från grön till lila” (uppgift 4).
Under varje uppgift har jag skrivit reaktioner, frågor och funderingar som dök upp hos eleverna. Jag har även skrivit upp vanliga angreppssätt som förekom och försökt att analysera dem.
1. Under lärarfikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Angelika drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många lärare kom på fikat?
Elev: Det är så lite information i frågan. Man vet inte riktigt var man ska börja!
Lärare: Det är sant att det finns lite information. Ändå finns det bara ett möjligt svar.
Angreppssätt:
• Att ställa upp ekvationer. Kan ge information om man inte har för många variabler. Men man måste ha två olika variabler för kaffemängden respektive mjölkmängden (i uppgiften tas 1/4 och 1/6 av olika saker).
• Att anta att Angelika drack lika mycket kaffe som mjölk. Då kan man räkna ut hur mycket 1 kopp utgör av den totala mängden vätska och beräkna antalet koppar till 5. Problemet är att detta är ett specialfall och löser inte uppgiften då Angelika inte drack lika mycket kaffe som mjölk.
Elever: Vi tror att svaret är fem. Det funkar då.
Lärare: Då återstår det att bevisa att det inte kan vara någon annat tal. Varför tror ni inte att svaret kan vara fyra? Eller tre? Eller ännu mindre?
(Efter den frågan kunde eleverna vanligtvis knäcka uppgiften.)
2. Tre på varandra följande tal har summan A. Summan av de tre talen som följer efter betecknar vi med B. Kan produkten AB vara lika med 1111111111?
Lärare: Tror ni att det går eller inte går?
Elever: Vi tror att det går! Vi håller på att räkna ut på ett ungefär vilka tal det måste vara för att senare se vad det ska bli exakt.
Lärare: Ja, det är en bra strategi för att bestämma svaret utifall det går, att göra det på ett ungefär först.
Angreppssätt:
• Att börja räkna på exempel. Utifall det går så kan man råka stöta på rätt svar. Ifall det inte går, så får man en känsla för vad produkten kan bli för tal. Så det är en bra strategi överlag.
• Att beteckna första talet i raden med x. Om man kan uttrycka A och B med hjälp av x får man en variabel istället för två och då är det lättare att få hum om uppgiften. Minst en elev löste uppgiften med denna strategi.
• Att studera egenskaperna hos talen A och B. Är de jämna eller udda? Detta leder också till korrekt lösning.
3. På bordet står 8 glas med juice. Det är tillåtet att ta vilka två glas som helst och jämna ut juicenivån i dem (genom att hälla över juice från det glaset som har mer). Hur kan man med hjälp av sådana operationer göra så att alla 8 glasen innehåller lika mycket juice?
Elev: Totala mängden enheter ska vara delbart med 8, annars går det inte.
Lärare: Det är ok även om mängden juice i varje glas blir ett decimaltal i slutändan.
Angreppssätt:
• Att hitta på ett exempel där man vet hur många enheter juice det är i varje glas. Då kan man räkna ut hur mycket juice det ska vara i varje glas i slutändan. Problemet med strategin är att man ofta hittar på krångliga tal och inte kan få översikt över det specialfallet heller.
• Att försöka jämna ut nivån i fyra av glasen först. Denna strategi leder till rätt lösning.
• Att försöka få mängderna juice i glasen att bli så nära varandra som möjligt. Detta leder till approximativ, inte exakt strategi.
4. På kameleontuppvisningen ska kameleonterna byta färg: från röd till gul, från gul till grön, från grön till blå, från blå till lila, och från lila igen till röd. En av kameleonterna bytte färg 2014 gånger och gick från att vara grön till att vara lila. Men den gjorde ett enda misstag under uppvisningen och bytte färg till röd, när den inte skulle ha gjort det. Vilken färg hade kameleonten innan den gjorde misstaget?
Elev: Hur kunde kameleonten byta färg från grön till lila?
Lärare: Det menas att den var grön från början, sedan gjorde 2014 byten och till slut blev lila.
Angreppssätt:
• Att titta på vad kameleonten skulle ha fått för färg efter 2014 gånger. Sedan backa så många steg som behövs genom det felaktiga bytet. Detta fungerar om man har bra koll på antalet steg (och inte tar ett för mycket eller ett för lite).
• Att hitta på ett exempel där det fungerar. Det återstår att visa att svaret blir densamma oavsett vilket exempel man skulle ta.
5. I triangeln ABC är BD en bisektris (en linje som delar vinkeln vid B mitt itu). Bestäm differensen mellan vinklarna ACB och BAC om vinkeln BDC = 68°.
Elev: Vilka vinklar är ACB, BAC, etc.?
Läraren visar hur man läser av vinkelbeteckningarna med hjälp av en bild.
Lärare: Till exempel, vinkel B (i triangeln ABC) och vinkeln ABC är samma vinkel.
Angreppssätt:
• Att räkna ut de vinklar man kan, sedan införa beteckningar och ställa upp ekvationer. Detta sätt fungerar om man är van vid att hantera ekvationer och har koll på vad man vill få på ena sidan (om man betecknade ACB med x och BAC med y, så vill man få x-y).
• Att sätta ut så många lika vinklar som möjligt och försöka läsa av bilden (om man inte vill räkna med ekvationer). I detta fall tjänar man på att rita ut en extralinje, så att en vinkel med samma mått som den eftersökta skillnaden skulle bildas. Man kan räkna ut den med hjälp av regeln om yttervinklar.
Svåra uppgifter
Ingen av uppgifterna var enkel att lösa. Alla krävde någon tanke ”utanför lådan” och innehöll minst två steg i lösningen. När det bara behövs ett steg, en strategi, så kan man se direkt om ens egna strategi fungerar eller ej. Men man kan inte avgöra om man kommit ”halvvägs” eller inte, om man inte på förhand vet lösningen. Det gäller alltså att både våga chansa och våga satsa på sin strategi. Och väljer man en strategi som inte fungerar, så går det åt ganska mycket tid att inse det.
Trots allt detta är det väldigt kul att lösa svåra uppgifter (uppgifter som tar lång tid för en att lösa). Kanske är det därför som många av eleverna inte vill lyssna på ledtrådarna, för då skulle lösningsupplevelsen inte vara lika tillfredsställande. Jag var likadan när jag var yngre och brukade dessutom gå ur rummet när vi hade genomgång, bara för att inte få ”tricket avslöjad” för mig. Så mycket är det värt att lösa problemet själv.
Tyvärr lär man sig inte så mycket om man inte får veta lösningen till slut, därför är jag glad att alla eleverna på Matteklubben stannade för genomgång.
Genomgång
På varje uppgift fick minst en person gå fram och redovisa sin lösning. Vissa av lösningarna var ofullständiga eller hade fel och då fick andra i klassen hjälpa till personen vid tavlan eller komma med egna lösningsförslag. Ibland tog vi upp olika sätt att lösa uppgiften, som till exempel uppgift 2.
Eleverna känner sig olika säkra vid tavlan. De är oftast bra på att redovisa till klassrummet (och inte till läraren, så som många små barn gör), och de flesta i gruppen kan ta till sig deras lösning. Dock är eleverna ofta ovilliga att komma fram och eventuellt exponeras för kritik. Jag försöker betona att vi kritiserar lösningar hos den som presenterar dels för att förstå bättre och dels för att märka om personen gör ett matematiskt fel. Jag vill att eleverna gör likadant mot mig när jag själv presenterar en lösning. Samtidigt vill jag att man ska känna sig trygg vid tavlan och inte bli ifrågasatt som person. Alla ska tycka att det är ok att ha fel, men då kanske jag måste föregå med gått exempel och göra lite fel vid tavlan först :)
Detta ger mig en idé till en lektion, där eleverna skulle få en lista med felaktiga resonemang, där de ska hitta felen. Lite som med trollekvationen och den extra rutan. Jag tror att eleverna behöver träna på att kritisera inte bara andras muntliga, men också skriftliga resonemang.
Nästa gång
Jag hoppas att vi kan köra igenom temat. Blandade uppgifter tar vi med för att de är underhållande och för att just ”blanda ut” ett ensidigt tema. Men informationsteorin, som vi ska hålla på med nästa gång, innehåller så pass varierande frågeställningar, att jag tror att vi inte behöver kika på något blandat. Jag ska tänka på att variera svårighetsgraden, så att inte alla uppgifterna blir svåra. Vi kommer också att utvärdera Matteklubben och förhoppningsvis öppna anmälningarna inför nästa termin!
Tredje träffen med Matteklubben, åk 2-4
Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen och den andra träffen med gruppen.
Från början hade vi tänkt att både ha med en del med blandade problem och en tematisk del. Vi hann dock bara gå igenom blandade problemen. Dock gjorde vi det ordentligt och dessutom fanns det trots allt en röd tråd i de här problemen, även om den inte var uppenbar. Men mer om det senare!
Precis som förra gången var 29 barn och 6 lärare med på träffen.
En lek med frågor
För att barnen skulle lära känna varandra i gruppen (och inte bara känna dem från egna skolan) började vi lektionen med en frågelek. Egentligen är det en matematisk lek, men det är inte helt uppenbart varför.
Reglerna var enkla: jag eller någon annan lärare tänkte på en person i klassrummet. Eleverna skulle ställa ”ja/nej”-frågor till oss för att ta reda på vem det var. Den som räckte upp handen fick chansen att ställa nästa fråga och jag försökte hela tiden välja personer som inte hade ställt någon fråga tidigare.
Men hjälp av frågorna ”Är det en tjej eller en kille?” (varpå jag svarade ”Ja” och frågan ändrades till ”Är den en kille?”), ”Är det jag?”, ”Är det han?”, ”Sitter personen på mittenraden?”, ”Har personen en blå tröja?” etc. kunde barnen gissa rätt person på 11 försök.
Lek i grupper
Nu skulle barnen testa samma lek i grupper om 4-6. Vi gav ut papper för att de skulle anteckna antalet frågor det tog att gissa personen som någon i gruppen tänkte på. På tavlan skrev jag upp gruppernas rekord: ”5 försök, 7 försök, 1 försök(!)…” Möjligen blev fokusen vid att ha så få försök som möjligt för stor, vilket gjorde att barnen ofta chansade just för att kunna gissa personen på ett försök. I snitt blev barnen bättre på att spela spelet, då oftast tog det mycket mindre än 11 försök.
Efter ett en stund pratade vi om vilka frågor som var bra att ställa. Egentligen syftade jag på frågor som ungefär halverar gruppen av misstänkta personer. Men jag formulerade inte, då barnen ändå förstod det intuitivt efter att ha lekt med frågorna.
”Är det en kille?”, ”Är det ett barn?”, ”Sitter personen på mittenraden?”, ”Har personen en långärmad tröja?”, ”Har personen ljust hår?” var några av de riktigt bra exempelfrågor som barnen kom på.
Blandade problem, del 1
Därefter delade vi ut ett blad med fem blandade problem. Det visade sig att problemen absolut inte var för lätta. Alla hade något att klura på, så jag ville inte skynda på processen bara för att hinna med en del till. Istället gjorde vi uppehåll i lösandet, då vi gick igenom de första två problemen och sedan tog vi rast.
Eleverna försöker alltid lösa problemen i ordning och hoppar oftast inte över något problem förrän de känner sig klara eller uttråkade. Nästan alltid har de några idéer på varje uppgift de hunnit börja på, så det finns alltid något att diskutera med varje grupp.
1. a) Hur många tvåsiffriga tal finns det?
b) Hur många tresiffriga tal finns det?
Elever: På a) är svaret 90
Lärare: Hur tänker ni?
Elever: Det är 99 tal som har upp till två siffror, men 1,2,3,4,5,6,7,8,9 är inte tvåsiffriga, dem måste vi ta bort.
Lärare: Japp, och var blir svaret på b)?
Elever: 990 eller.. 989… eller…
Lärare: Försök att räkna på liknande sätt. Hur många tal har upp till tre siffror och hur många måste vi räkna bort?
2. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Försök att finna flera olika sätt. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma:
Elever: Räknas de här (pekar på olika sätt)?
Lärare: Ja, de här är olika, men dessa (pekar på två egentligen likadana sätt) räknas som samma, eftersom man kan vrida bilden så att det ser likadant ut.
I vissa fall tyckte alltså eleverna att alla fyra sätten som här på bilden räknades som samma, i andra fall ansågs det att de räknades som två olika sätt (vänsterbilderna som ett sätt, högerbilderna som ett annat, eftersom de inte gick att vrida om till varandra).
Redovisning, del 1
Några elever fick komma fram och redovisa uppgift 1 (en grupp fick punkt a), den andra punkt b) då vi alltid har många frivilliga som vill fram, så jag försöker att ha framme så många olika personer som möjligt under lektionen).
På punkt b) fanns flera olika sätt att tänka, och gruppen vid tavlan gjorde en väldigt snygg lösning. De tog 1000 tal (1 till 1000), och sedan tog bort 100 (vad jag minnst). Det blir 900. Men 100 ska egentligen räknas med så det blir +1, det vill säga 901. Men 100 ska inte räknas med så det blir -1, det vill säga 900.
På andra uppgiften fick många grupper komma fram (en grupp i taget) och rita upp ett av sina sätt. Det blev totalt omkring 8 sätt, bland annat de här:
Några av eleverna begränsades inte av tänket ”måste skära längs med rutorna” och gjorde på följande sätt:
Det stod ju trots allt inte i uppgiften att man var tvungen att skära längs med rutorna (för mig var det underförstått). Det kom lite upprörda röster från vissa som tyckte att det inte räknades, och jag försökte säga att det egentligen blev två olika problem som vi löste. Och att dessa kreativa lösningarna räknades när man löste den ena versionen av problemet, men inte den andra.
(Lärdomen är att vara tydligare i uppgiftsformuleringen.)
Jag visade även att man kunde få alla uppdelningar genom att rita en linje som var symmetrisk kring centrum (eller snarare, några barn greppade vad jag var ute efter när jag frågade om uppdelningslinjen betedde sig på något speciellt sätt). Detta kan man säga även om linjer som inte följer rutgränserna.
Blandade problem, del 2
3. Ett litet barn har 3 röda och 2 blå kuber. Alla kuberna har samma storlek. Hur många 5 kuber höga olika torn kan barnet bygga?
Elev: Det finns ju jättemånga sätt! Jag vet inte om orkar rita upp alla.
Lärare: Försökt att göra det på ett strukturerat sätt. Då är det lättare att få översikt och inte glömma bort något sätt.
4. Det finns 60 trästockar, som alla är 3 meter långa, som ska huggas upp i halvmeterlånga delar. Hur många sågningar måste man göra?
Elev: Det är 6 bitar som varje stock delas upp i, således blir det 60*6 = 360 sågningar.
Lärare: Men är det verkligen 6 sågningar per bit? Hur många gånger skulle vi såga för att dela upp en stock i två bitar?
Elever: En..
Lärare: Och i tre bitar?
Elever: Två..
Lärare: Och i fler bitar?
Elever: Aha… (och man ser en aha-upplevelse i deras ansikten), det behövs 5 sågningar per stock, så svaret blir 60*5.
5. En bit föll ur en gammal tidskrift.
Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?
Elever: Sista sidan måste vara udda, alltså är det 823.
Lärare: Varför inte 283 då?
Elever: Men det är ju mindre, det ska vara större! Och då är det 823 – 328 = 495 sidor som ramlade ur.
Här blev det långa diskussioner med många av grupperna om vad som är sidor, vad som är blad (två sidor), om svaret verkligen kunde bli ett udda antal sidor och hur man egentligen ska räkna antalet sidor i en bit. Många hade svårt att förstå att man skulle (och varför man skulle) lägga till 1 efter subtraktionen.
Redovisning, del 2
Här hade vi inte så mycket tid kvar, så redovisningen gick ganska snabbt.
För att lättare föreställa sig tornet från uppgift 3 ritade jag upp det:
Sedan frågade jag vilket svar alla hade fått och skrev upp förslagen som sades högt: 20, 10, 11. Grupperna fick förklara från sina egna platser hur de fick just det svaret.
Den tydligaste strategin hade gruppen som hade svaret 10 (vilket också var rätt svar): Att först räkna de 4 fallen då en av de blåa kuber är längst ner. Sedan är det 3 fall kvar när en är näst längst ner (nu är det en röd längst ner, eftersom vi redan har betraktat de andra möjligheterna). Fortsätter man så, får man till slut svaret 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Lustigt nog blev inte alla barnen övertygade om svaret, utan en elev envisades med att svaret var 11 (eleven skrev upp alla möjligheter). Vi lärare föreslog att det antagligen fanns två sätt som sammanföll, men eleven stod på sig. Tyvärr hann vi inte kolla på dessa sätt efter lektionen. Men det är imponerande med sådant matematiskt självförtroende! Den finns i mycket mindre grad hos äldre elever.
På uppgiften om stockar fick en elev gå fram till tavlan och redovisa. Men det blev ett tankefel med antalet skärningar per stock, vilket eleven fick till 3. Tillsammans hjälpte klassen till att korrigera antalet sågningar per stock till 5, vilket till slut gav rätt svar.
Två elever kom fram och redovisade uppgiften om sidorna. De motiverade bra och räknade skillnaden rätt, men de behövde också förklara varför det inte bara är skillnaden, utan skillnaden plus ett som ger det rätta antalet sidor. Eleverna förklarade det med att man ”lägger tillbaka” sidan nummer 328.
Vi var tvungna att avbryta på grund av tiden, men jag tror att några hann förstå att det inte är så enkelt som att bara räkna ut skillnaden mellan två tal, när man ska ta reda på hur många tal det är som ligger mellan dem.
Röd tråd genom blandade uppgifter
Det gemensamma tankesättet för uppgifterna 1, 4 och 5 blev just ”effekten +/-1”, som går ut på att man får ett fel svar eller delsvar, som avviker med 1 från det korrekta. Effekten är ett mycket vanligt tankefel som händer de flesta vuxna och dyker också ofta upp i programmering. När man inte stannar upp och tänker efter så kan man tro att det måste ske 6 sågningar för att dela upp ett stock i 6 delar, men det ska vara 5.
En ännu mer generell idé som används vid lösningen av dessa uppgifter är att ha koll på vad man lägger till och vad man tar bort. Till exempel, i uppgift 1 b) kan man lägga till talen 1 till 999, och sedan ta bort talen 1 till 99. Då är det lättare att se att svaret är 999 – 99 = 900. I uppgiften om sidor kan man först räkna med alla sidor från 1 till 823 (823 stycken) och sedan ta bort 1 till 327 (eftersom 328 ska finnas med) och då få 823 – 327 = 496 sidor.
Den andra idén hade svårare att få fäste hos eleverna, möjligen behöver de öva mer på den i framtiden (medelst något lättare uppgifter, som t.ex. nummer 1). Det var också svårare att greppa tankesättet när de jobbade med så pass stora tal som 823 och 328. De hade ingen intuitiv känsla för talen, och sade ofta att skillnaden de emellan var 505 (800 – 300 = 500, 28 – 23 = 5). Jag ska nog vara försiktig med att använda stora tal i uppgifter som går ut på att upptäcka nya idéer.
Känslan efter lektionen
Trots att vi inte hann med temat, kändes lektionen fullständig. Det blev lite variation i och med leken i början av lektionen, vilken kändes uppskattad av eleverna. Trots att vi var lika många som förra gången, så kändes det mycket lugnare än vanligt, kanske för att alla var vana vid arbetssättet vid det här laget.
Bland det bästa med eleverna i åk 2-4 är att de inte håller sig för att säga sanningen. De kan både öppet kritisera och säga lovord. Denna gång blev jag väldigt glad när en av eleverna sade att Matteklubben-dagar var tillsammans med födelsedagen hennes favoritdagar! Sånt blir man glad av att höra och jag hoppas att flera elever känner något liknande.
Jag ser fram emot nästa träff, den sista före Jul, då vi också kommer att ha en liten utvärdering om höstterminen.
© 2009-2024 Mattebloggen