Roligare matematik
Cissi fyllde år så hon bakade en tårta till sin födelsedag. Tårtan var dock inte rund, utan formad som en regelbunden sexhörning ABCDEF. Cissi markerade K och L, som var mittpunkterna på sidorna EF och FA respektive. Sedan skar hon längs med BK och sedan längs med LC. Hanna fick den triangulära biten BOC, medan Sofie fick den fyrkantiga biten KOLF. Vilken tjej fick mer tårta?
Hitta det största antalet kongruenta icke-konvexa polygoner som man kan dela in en kvadrat i, på så sätt att polygonernas sidor är parallella med kvadratens och inga två polygoner går att få ifrån varandra genom translation. Visa varför just det antalet fungerar och varför det inte går med ett större.
En tärning låg på bordet. Den flyttades ett steg i taget genom att rullas över på en ny sida (som gränsade till sidan som nyss var i kontakt med bordet). Till slut hamnade tärningen på samma plats som i början med samma sida uppåt. Kunde den översta sidan vrida sig 90 grader i förhållande till startläget?
Nej, det kunde den inte.
Låt oss beteckna kubens hörn med 
Om tärningen rullas över en gång, kommer tetraedern befinna sig i samma läge som 
För att tärningen ska komma tillbaka tillsamma ruta, måste den rullas ett jämnt antal gånger (föreställ er ett schackbräde på bordet, då byter rutan färg efter varje steg). Det innebär att den annorlunda tetraedern kommer att avbildas på sig själv.
Men om den översta sidan vrids 90 grader, så avbildas sidan 
Många har hört talas om den beryktade randvinkelsatsen. Eventuellt har du träffat på den på gymnasiet. Men få har egentligen koll på hur man bevisar satsen.
Om du vill komma fram till beviset själv med hjälp av några ledande uppgifter, se Cirklar och randvinklar. Annars läs vidare här.
Markera tre olika punkter A, B och C på en cirkel. Markera även cirkelns mittpunkt O. Då är vinkeln AOC dubblet så stor som vinkeln ABC.
Man ska vara väldigt försiktig och rigorös med geometriska bevis. Med det menas att alla möjligheter för bildens utseende ska undersökas, om man nu ska rita någon bild överhuvudtaget.
Så till exempel, kan det se ut så här:
Så hur ska man täcka alla möjligheterna på ett bra sätt? Det beror förstås på vad man tänker baser beviset på.
Oftast betraktas bilderna som väsentligen olika om olika skärningar mellan linjerna äger rum. I bevisen grundar vi ofta resonemang på hur olika objekt ligger i förhållande till varandra och inte så mycket på storlekarna på vinklar, cirkelbågarna etc.
Med detta sagt väljer vi således att betrakta tre fall (som täcker alla möjliga situationer):
 |
 |
 |
| Fall I | Fall II | Fall III |
Fall I: Vinkel AOC ligger helt inuti vinkeln ABC.
Fall II: Detta är specialfallet då vinkeln AOC delar sida med vinkeln ABC.
Fall III: Två av vinklarnas sidor skär varandra.
Detta fall verkar vara enklast, så vi börjar med det. OB=BC för att de är radier, så 
Då måste 
Första fallet då? Vi ”fuskar lite” och drar en hjälplinje. Men nu får vi egentligen Fall II igen! Tillämpa det på varje halva av bilden och addera.
Fall III måste väl vara svårare? Inte då! Vi ”fuskar” och drar en hjälplinje igen. Vi får återigen på grund av Fall II att 
På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.
Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.
Jag fick in ett par fina lösningar, och jag kommer att använda mig av Erik T.’s bilder i lösningen (som ni kanske har märkt, ritar jag vanligtvis i paint, fastän jag borde ha lärt mig att TeX:a bilder för länge sen).
Säg att Ilian bestämmer sig för att lägga den andra kvadraten moturs från den första (det är symmetriskt ifall han lägger åt andra hållet). Det går bara att göra på ett sätt för att den nya kvadratens sida ska nudda både cirkeln och ett gammalt hörn (finns bara en punkt på cirkeln på avståndet 5 cm, som inte redan är upptagen).
Lägg på en till kvadrat, spelar inte så stor åt vilket håll, i vilket fall får vi tre kvadrater:
Eftersom cirkelns radie är lika med kvadraternas sidor, bildas figurer som kallas romber. En romb är en fyrkant med alla sidor lika. Man kan dela upp en romb i två trianglar och visa att trianglarna är kongruenta (sida-sida-sida). Då följer att rombens motstående vinklar är lika.
Den inringade vinkeln är 360°. Den består av en 90°-vinkel från kvadraten, samt två vinklar från var sin romb. Vinklarna från romberna är 180°-α respektive 180°-β stora. För att dessa tillsammans ska bilda en vinkel på 360°, måste α+β=90°.
Detta innebär att för varje två nya kvadrater bildas en ny 90°-vinkel runt cirkelns mittpunkt. Det finns tydligen plats för 8 kvadrater, eftersom hela vinkeln runt cirkelns mittpunkt är 360°.
α och β kommer dessutom alterneras (alla två romber bredvid varandra kommer att ge den sammanlagda vinkeln 90° runt cirkelns mittpunkt.
Således, om vi fortsätter att bygga på kvadrater kommer den nionde romben att sammanfalla med den första. Detta implicerar att den nionde kvadraten sammanfaller med den första. Alltså måste den åttonde och den första kvadraten nudda med hörnen (den åttonde och nionde gör det ju enligt konstruktionsreglerna). Så här ser det ut:
På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.
Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.
[kkratings]
Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!
I en triangel ABC så är mitten av sidan AB markerad med punkten M. Även höjderna AH och BL är utritade. Det visade sig att triangeln MHL blev liksidig. Måste det vara så att även triangeln ABC är liksidig?
Om ja, ge ett bevis för varför den måste vara det. Om nej, visa hur ett motexempel konstrueras.
[kkratings]
Det finns en platt kvadratisk tavla som är 1 dm x 1 dm stor. Vi säger att ett pappersark i form av en rektangel med area 2 dm2 är ett omslag om man kan slå in tavlan i pappret så att båda sidorna täcks helt.
Både pappersarket 2 dm x 1 dm och papperskvadraten med sidan roten ur 2 dm är omslag.
(a) Hitta något annat omslag
(b) Visa att det finns oändligt många olika omslag
[kkratings]
Fredrik står i mitten av en rund gräsmatta, som har radien 100 meter. Varje steg Fredrik tar är 1 meter långt. Varje gång han ska ta ett nytt steg anger han riktningen som han ska gå i. Anna har då möjlighet att ändra Fredriks riktning mot den motsatta.
Kan Fredrik att komma på ett sätt att komma av gräsmattan oavsett vad Anna gör? Eller kan Anna alltid hindra honom?
Det finns vissa saker som man bara måste lära sig utantill. Det kan tyckas att det är det enda som gäller i matten, men det kan räcka ganska långt att kunna bara några få formler.
Till exempel så kan vi prata om trigonometri. Jag tänkte dela med mig lite tips om hur man bäst kommer ihåg det essetiella och hur det går att härleda allt det viktiga därifrån.
För det första måste man lära sig vad sinus och cosinus är för någonting.
Båda två är funktioner som ger ut ett tal, när man stoppar in en vinkel. Men vad är det för tal? När vinkeln är känd (och mindre än 90 grader), så kan vi rita en rätvinklig triangel med den vinkeln. Låt oss säga att vår vinkel kallas för x. Det går förstås att rita flera olika stora rätvinkliga trianglar med x, men det kommer inte spela någon roll.
Vi mäter sidorna på vår uppritade triangel och konstateterar att kateterna är a och b långa och hypotenusans längd betecknar vi c. Då är sinus värde lika med den motstående kateten genom hypotenusan och cosinus är den närliggande kateten genom hypotenusan. Alla likformiga trianglar har samma förhållande mellan sidorna, därför spelar det ingen roll vilken storlek på triangeln vi väljer.
Men hur ska man komma ihåg vilken funktion som är vilken om man nyss har lärt sig dem? Tänk på att cos (cosinus) låter lite som ”kossa” och kossan den är lat, därför vill den vara nära sin vinkel (orkar inte gå till motstående sidan). Och sin är då den andra funktionen.
Ett annat sätt att komma ihåg det är att sinus är snäll och cosinus är elak. Så sinus offrar sig och går till den motstående sidan. Fler tecken på sinus snällhet och cosinus elakhet kommer vi se i del 2.
Om du nu kan lite vanlig geometri är det inga problem att räkna ut sinus och cosinus för flera kända vinklar! Här väljer jag att mäta vinklarna i grader.
De saker som du behöver kunna är:
– Pythagoras sats
– vad vinkelsumman i en triangel är
– att likbenta trianglar har basvinklarna lika
– att trianglar med lika basvinklar är likbenta
Vi kan då räkna ut vad sinus för vinkeln 30° är, om man inte minns det. Rita såklart först en rätvinklig triangel med en vinkel lika med 30°. Och eftersom vinkelsumman för vilken triangel som helst är 180°, så är den sista vinkeln lika med 180°-90°-30° = 60°.
Rita sedan upp en likadan triangel, fast spegelvänd, och för ihop halvorna. Det som bildas är förstås en ny triangel, eftersom vinklarna på 90° passar ihop och bildar en linje. Men notera att den stora triangeln har alla vinklarna lika med 60°, därför är den liksidig. Alltså är c = 2a.
Nu är det lätt att räkna ut sinus av vinkeln 30°.
På så sätt är det rätt enkelt att lista ut vad cos 60° är för någonting. Det är nämligen samma som sinus 30°, eftersom om vi kollar på de två olika spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, så blir enas motstående sida den andras närliggande och tvärtom. Hypotenusen är densamma.
Men hur tar vi reda på sin 60° (och samtidigt cos 30°)? För det måste vi bestämma förhållandet b/c. Men eftersom 
så
Eftersom alla längder är positiva har vi 
Och hur gör vi nu med vinklarna 0°, 45°, 90° grader? Det går faktiskt att rita upp motsvarande triangel och ”triangel”. Fundera på vad sinus och cosinus för de respektive viklarna blir. Faciten kommer i nästa del.
Om man minns de här trianglarna är det möjligt att alltid räkna ut sinus eller cosinus som man behöver. Men om det är lite svårt med geometrin, finns det en rätt bra minnestabell.
Skriv upp alla ”kända” vinklar: 0°, 30°, 45°, 60° och 90°. Deras sinus och cosinus följer då ett intressant mönster:
© 2009-2024 Mattebloggen
är ett omslag. Lägg rektangeln på kvadraten på så sätt att två av kvadratens hörn hamnar på långsidorna och ett tredje hörn hamnar i mitten på kortsidan som det ser ut på bilden.
(i detta fall n=5).
fås när n=1, rektangeln 
när n=3:
Oavsett om han får gå åt det hållet eller det motsatta, så hamnar han på samma nytt avstånd från centrum i alla fall. Om det gamla avståndet var 
, så kommer det nya enligt Pythagoras sats vara 
.
