Mattebloggen

Kombinatorik i Futurama

futuramadiscrete — Bilden är från ett annat avsnitt

En mörk eftermiddag hade ett gäng studenter samlats för att kolla på – ni gissade rätt – Futurama! Ljuset släcktes, stora platt-teven slogs på och alla förberedde sig för att mysa under filtarna till favoritserien.

Det kanske bör nämnas att rummet de satt i hade en stor whiteboard, och att studenterna pluggade matematik …

Så vad händer när halva serien har gått? Jo, ljuset är på, avsnittet pausat och flera personer står och skriver egna siffror på tavlan. Varför?

Ni förstår nog om ni tittar på avsnittet ”The Prisoner of Benda” (säsong 6, episod 10) själva. Det innehåller nämligen ett kombinatoriskt problem som är väldigt viktigt för karaktärerna att lösa!

Varning: handlingen spoilas lite nedan!

Professorn uppfinner nämligen en maskin, som kan byta plats på medvetanden hos två människor (detta åskådliggörs genom att varje kropp får den andra kroppens röst).

Professorn och Amy byter plats, för att han vill en stund kunna leva i ett ungt kropp igen medan hon vill kunna äta lite extra. Men när de vill byta tillbaka så går det inte! Maskinen låter inte två kroppar byta med varandra igen om de någonsin har bytt förut!

Bender tror att han hjälper till att lösa problemet och byter sitt medvetande med Professorns (och får då Amys kropp). Nu börjar det bli ganska rörigt eller hur?

Så hur ska våra vänner komma tillbaka till sina egna kroppar? Kom ihåg att inga två kroppar får byta medvetanden med varandra fler än en gång.

Saker kompliceras ytterligare sedan i avsnittet genom att fler och fler par personer byter. Hur löses problemet i allmänhet om en grupp på n personer har trasslat till sig genom en massa byten? Vilket blir det minsta antalet byten för att återställa allt?

Så när du kollar på avsnittet, bli inte förvånad om någon vill pausa mitt i och ta fram papper och penna, om du har en gåtälskare i sällskapet.

Matteproblem för de yngre vecka 44

Mattegåta

Fem fotbollslag spelade en turnering, där alla lag mötte alla en gång. För en vinst tilldelades 3 poäng, för oavgjort 1 poäng och för förlust gavs inga poäng.

Fyra av lagen fick 1, 2, 5 och 7 poäng respektive. Hur många poäng fick det femte laget?

Lösningen till problemet för de yngre vecka 42

Mattegåta

Till ditt förfogande har du jättemånga figurer som på bilden:

Sätt ihop
a) En kvadrat av storlek 9×9 med ett hål i mitten som är 3×3 stort.
b) En rektangel med storlek 9×12
av sådana figurer (du får vända och vrida på dem, men figurerna får inte överlappa).

Diskussion

För att förenkla arbetet med byggandet, ritar vi först upp alla möjliga utseenden på figuren när man vrider och vänder på den:

Det blev åtta möjligheter, eftersom man kan vända upp och ner på figuren och för varje vändningsläge (rättvänt eller upp-och-ner) går att det att vrida figuren på 4 olika sätt.

Konstruktionen kan påbörjas i ett hörn för både punkt a) och b). Till exempel ser vi att bara den röda och den gröna figuren passar i nedre högra hörnet.

Lösning

Nedan är lösningar för både a) och b):

Matteproblem för de äldre vecka 44

Mattegåta

Martin samlar på ovanliga mynt. Mynten i hans samling alla har en diameter på högst 10 cm. Samlingen förvarar han i en låda som har storlek 30 cm x 70 cm (i ett lager, inga mynt ligger ens delvis ovanpå varandra).

Men nyss fick Martin ett nytt mynt med en diameter så stor som 25 cm. Visa att den nya samlingen får plats i en låda som är 55 cm x 55 cm stor (också nu i ett lager).

Lösningen till problemet för de äldre vecka 42

Mattegåta

Vilket är värdet av följande integral?

Diskussion

Uttrycket under integralen ser ju lite hemskt ut. Tillämpa då en av de viktigaste reglerna i matte:

Ser du något hemskt, gör variabelbyte!

Men vilket variabelbyte skall göras? Det som skulle passa oss i slutet är någon form av trigonometriskt samband som skulle förenkla integralen.

I vårt fall har vi något som liknar ”trigonometriska ettan” så det får vi sträva efter.

Trigonometriska ettan

För en godtycklig vinkel $\alpha$ gäller:

$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$

Så ett byte att tänka på är en sådan som gör om cosinus till sinus eller vice versa.

Lösning (av Erik Svensson)

Vi börjar med att separera integralen, så att vi får två integraler, en för cosinus-delen och en för sinus-delen:

Vi använder sedan det trigonometriska faktum att sin(x) = cos(x-pi/2) för att skriva om den innersta sinusfunktionen i sinus-integralen:

Vi genomför variabelbytet u = x-pi/2. Integralen får då de nya gränserna -pi/2 till 0:

Vi observerar dock att cos(u) är en jämn funktion, varför vi kan ändra gränserna och få samma integral från 0 till pi/2.

Om vi nu slår samman våra två integraler, och betraktar dem som en gemensam integral över x, då får vi den välkända trigonometriska ettan:

Integralens värde blir då förstås differensen av ändpunkterna, det vill säga pi/2.

Matteproblem för de yngre vecka 43

Mattegåta

Tre vänner har ett företag ihop. Deras efternamn är Eriksson, Karlsson och Nilsson. En av dem är VD, en är sekreterare och en är kassör. Sekreteraren har inga syskon och han är den yngste på företaget. Nilsson är äldre än kassören och är gift med Erikssons syster.

Bestäm VD:ns, sekreterarens och kassörens respektive efternamn.

Lösningen till problemet för de yngre vecka 41

Mattegåta

Ibland blir addition av bråk någonting snyggt!

Men vad är x lika med? Skriv också hur du kom fram till svaret.

Diskussion

I en gammal papyrusrulle från år 1600 f.Kr., Rhindpapyrusen, förekommer massvis med matematiska beräkningar. Bland annat innehåller den bråkräkningar som ovan med tal på formen $\frac{2}{n}$ . Dessa beräkningar tog upp 9 sidor!

Räkningen ovan, men med x som konkret tal finns med på de sidorna. Men hur kan man lista ut vad x är utan att behöva plocka upp en gammal papyrus och kika?

Vi kan först fundera på hur bråkaddition sker med kända tal. För att addera tal med olika nämnare måste vi göra om bråken så att de har samma nämnare först. Och för att reda på minsta gemensamma nämnaren är det bra att faktorisera nämnarna (se lösningen nedan).

Lösning

Vi faktoriserar nämnarna i beräkningen för att inte behöva operera med så stora tal. Då ser vi att flera av talen innehåller faktorn 73.

$\frac{2}{73}=\frac{1}{60}+\frac{1}{73\cdot 3}+\frac{1}{73\cdot 4}+\frac{1}{x}$

Då kan vi multiplicera båda led med 73:

$2=\frac{73}{60}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{73}{x}$

När vi ändå håller på kan vi multiplicera båda led med 60:

$2\cdot 60=73+\frac{60}{3}+\frac{60}{4}+\frac{73\cdot 60}{x}$

$120=73+20+15+\frac{73\cdot 60}{x}$

Vi förenklar allt förutom det hemska bråket:

$120-73-20-15=\frac{73\cdot 60}{x}$

$12=\frac{73\cdot 60}{x}$

Dags att multiplicera med x och dividera med 12:

$12\cdot x=73\cdot 60$

$x=\frac{73\cdot 60}{12}$

$x=73\cdot\frac{60}{12}=73\cdot 5=365$

Matteproblem för de äldre vecka 43

Mattegåta

Nina har tre tal: 2, √2 och 1/√2.

Hon får utföra endast en operation: nämligen välja två av talen, låt oss kalla dem a och b, och ersätta dem med talen (a+b)/√2 och (a-b)/√2.

Kan Nina med hjälp av endast dessa operationer få talen 1, √2 och 1+√2 (i någon ordning)?

Lösningen till problemet för de äldre vecka 41

Mattegåta

Mattias satt på ett kafé i Göteborg och väntade ut det berömda horisontella regnet. Utanför kaféet fanns en hållplats.

Under tiden som Mattias fikade, passerade en buss och två spårvagnar hållplatsen. Ett tag efter det kom en spion och satte sig på kaféet.

Under tiden som spionen satt och väntade hann 10 bussar passera hållplatsen. Vilket är det minsta antalet spårvagnar som kunde åkt förbi under den tiden?

Både spårvagnarna och bussarna kommer med jämna mellanrum, för bussarna är mellanrummen en timme långa. Trafiken utanför kaféet är enkelriktad.

Diskussion (delvis av Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg)

I ett problem där man ska bestämma maximum eller minimum finns det ofta risk för resonemangsfällor. När du i din lösning påstår att något fall är ”bäst” eller ”optimalt” är det inte alltid självklart hur man egentligen borde motivera det.

Lyckligtvis är det inte så svårt att motivera hur vi ska komma fram till det optimala (minsta) fallet i den här uppfiten (se faktorerna nedan).

Vi vill konstruera situationen sådan att spionen såg så få spårvagnar som möjligt.

Det finns tre faktorer som påverkar detta: hur länge han satt där, mellanrummen mellan spårvagnarnas ankomst, och när han satte sig i förhållande till spårvagnens schema.

Om vi provar att rita ett schema över hur bussarna och spårvagnarna gick kommer vi så småningom fram till att det inte går att få mindre än fyra spårvagnar på spionens tid. Låt oss bevisa detta.

Lösning

Först måste vi ge ett exempel på hur spårvagnarna gick för att spionen skulle se just fyra stycken.

Låt bussarna gå klockan 9.00, 10.00, 11.00 och så vidare, medan spårvagnarnas intervall får vara 1 timme 58 minuter långa. Låt säga att de gick klockan 10.01, 11.59, 13.57, 15.55, 17.53, 19.51, 21.49 och så vidare.

Då kunde Mattias vara på kaféet från klockan 10.01 till 11.59, medan spionen var där från 12.00 till 21.00:

Nu ska vi bevisa att antalet spårvagnar inte kunde bli mindre än fyra.

Observera att spårvagnarnas intervall inte kunde vara två timmar eller mer. Om mellanrummen mellan spårvagnarnas ankomster hade varit åtminstone två timmar långa, skulle Mattias varit tvungen att sitta på kaféet i minst två timmar, vilket skulle innebära att han hade sett minst två bussar komma (vilket inte var fallet).

Å andra sidan under tiden som spionen väntade, så passerade 10 bussar. Mellan den första och den tredje bussen han såg gick två timmar, så under tiden måste en spårvagn (minst) åkt förbi. Likaså måste någon spårvagn ha åkt förbi mellan den tredje och den femte bussen, mellan den femte och den sjunde, samt mellan den sjunde och den nionde. Totalt såg spionen alltså minst fyra spårvagnar.

Matteproblem för de yngre vecka 42

Mattegåta

Till ditt förfogande har du jättemånga figurer som på bilden: