Många har hört talas om den beryktade randvinkelsatsen. Eventuellt har du träffat på den på gymnasiet. Men få har egentligen koll på hur man bevisar satsen.
Om du vill komma fram till beviset själv med hjälp av några ledande uppgifter, se Cirklar och randvinklar. Annars läs vidare här.
Sats (Randvinkelsatsen)
Markera tre olika punkter A, B och C på en cirkel. Markera även cirkelns mittpunkt O. Då är vinkeln AOC dubblet så stor som vinkeln ABC.
Bevis
Man ska vara väldigt försiktig och rigorös med geometriska bevis. Med det menas att alla möjligheter för bildens utseende ska undersökas, om man nu ska rita någon bild överhuvudtaget.
Så till exempel, kan det se ut så här:
Så hur ska man täcka alla möjligheterna på ett bra sätt? Det beror förstås på vad man tänker baser beviset på.
Oftast betraktas bilderna som väsentligen olika om olika skärningar mellan linjerna äger rum. I bevisen grundar vi ofta resonemang på hur olika objekt ligger i förhållande till varandra och inte så mycket på storlekarna på vinklar, cirkelbågarna etc.
Med detta sagt väljer vi således att betrakta tre fall (som täcker alla möjliga situationer):
 |
 |
 |
| Fall I | Fall II | Fall III |
Fall I: Vinkel AOC ligger helt inuti vinkeln ABC.
Fall II: Detta är specialfallet då vinkeln AOC delar sida med vinkeln ABC.
Fall III: Två av vinklarnas sidor skär varandra.
Fall II
Detta fall verkar vara enklast, så vi börjar med det. OB=BC för att de är radier, så 
Då måste 
Fall I
Första fallet då? Vi ”fuskar lite” och drar en hjälplinje. Men nu får vi egentligen Fall II igen! Tillämpa det på varje halva av bilden och addera.
Fall III
Fall III måste väl vara svårare? Inte då! Vi ”fuskar” och drar en hjälplinje igen. Vi får återigen på grund av Fall II att 
