Roligare matematik
Ju mer matteförklaringar är intuitiva, desto mer gillar jag dem. Matematik är svårare att förklara bättre på video än IRL på en tavla, men det finns undantag och det är då videoformen utnyttjas som mest.
Jag är nöjd över att ha hittat följande undantag: en video som berättar om matriser. Om du själv har svårt för att komma ihåg hur man multiplicerar matriser eller har en kompis som är det, rekommenderar jag att kolla på denna mästerverk i 4 minuter.
Från Transformationsmatrisen – del 4 fick vi följande resultat:
För att bestämma transformationsmatrisen från bas 
Hur gör man då det essentiella steget, det vill säga hur uttrycker man vektorerna i
Jo, precis som på det sista sättet i Transformationsmatrisen – del 3.
Allmänt, ansätt:
vilket är precis samma sak som
(Varför det är så? Se Transformationsmatrisen – del 2.)
Det är alltså de här talen 
Notera att varje ekvation i det stora ekvationssystemet är ett ekvationssystem i sig, om man skriver ut alla vektorernas koordinater:
(Alla små a:n och b:n är för oss kända tal.)
Då blir den första ekvationen 
Och sådana där vet vi löses med Gauss-elimination.
Det här löses som vanligt. Matrisen till vänster (allt utom det sista kolonnen) ska göras om till en identitetsmatris och när man gjort det blir den högraste kolonnen det man söker, det vill säga 
Vad gör vi med den andra ekvationen, 
Jo, om 
alltså med samma vänstra del till matris som förut. Det blir exakt samma Gauss-operationer som ska utföras, vilket betyder att jobb kan sparas.
 |
 |
 |
Och på exakt samma sätt löser vi ut alla andra små x med hjälp av resten av ekvationerna:
 |
|
 |
Tada! Skrivet på ett annat sätt:
 |
|
 |
där 
Vi vill göra livet så enkelt som möjligt för oss. Så vi räknar ut transformationsmatrisen som på det andra sättet i Transformationsmatrisen – del 3.
Vi kollar först på ett lite större exempel. Låt oss räkna ut transformationsmatrisen mellan baserna 
 |
 |
 |
 |
 |
Och förstås vet vi dem i basen
 |
 |
 |
 |
 |
Vi betecknar transformationsmatrisen från bas
 |
 |
 |
 |
 |
T är en 5×5-matris. Om vi tittar noga på första multiplikationen 
På samma sätt följer de andra kolonnerna från de senare ekvationerna.
Alltså:
Eller, om vi kastar en blick tillbaka, så inser vi att de specifika siffrorna inte spelar någon större roll:
med vilket menas att kolonnerna i matrisen är alla de vektorerna
Och det är precis vad vi behöver i det generella fallet.
För att bestämma transformationsmatrisen från bas
Riktigt så enkelt är det ju inte, den informationen som krävs har vi inte alltid från början. För att få veta hur man gör i ett jättegenerellt fall, kolla på nästa del.
Det här är fortsättningen på inläggen Transformationsmatrisen – del 1 och Transformationsmatrisen – del 2. I de två första delarna behandlades begreppen bas och vektorernas koordinater i olika baser.
För att bestämma en matris, vilken som helst matris, är det ett nyttigt första steg att ta reda på matrisens storlek. Det vill säga hur många rader och kolonner den borde ha.
En mxn-matris är en matris med m rader och n kolonner. När en matrismultiplikation sker, händer följande med storlekarna:
Som ni ser äts det mittersta talet (n) upp, och de andra två kvarstår (m och k) och ger stoleken på resultatmatrisen.
I vårt fall känner vi inte till storleken på vänstraster matrisen (som ska bli transformationsmatrisen), men på de andra två (de är vektorer, kolonnvektorer, som är då kx1-matriser). De är, eftersom vi är i 2 dimensioner, 2×1 matriser.
Alltså: mxn matris gånger 2×1-matris resulterar i en 2×1-matris. Hmm, den siffran som äts upp är i alla fall 2, det vill säga n=2. Och m ska vara samma som den första siffran i resultat, så också 2.
Vi söker en 2×2-matris och en dum men ofta fungerande lösning är att köra brute force, det vill säga ansätta
Transformationsmatrisen=
Nu ska vi faktiskt minnas vad det var vi höll på med från början. Vi ville bestämma en matris som omvandlade vektorer från standardbasen till bas d.
Det ska alltså bland annat funka för själva basvektorerna.
Som exempel kan vi välja standardbasvektorer, men jag väljer basvektorerna i basen d. Orsaken är att vi känner till koordinaterna för dem både i bas d, nämligen 
Vi kan då ställa upp:
samt
Och utförande matrismultiplikation som vanligt, även om a, b, c och f är okända, får vi:
a-b=1
c-f=0
a+b=0
c+f=1
Det ekvationssystemet kan vi lösa för hand: addera ekvationerna med a och b ledvis, då får vi 2a=1, så a=½, b=-½. På liknande sätt c=½, f=½.
Så transformationsmatrisen=
Men man kan göra samma uppgift på flera olika sätt, detta glöms alldeles för ofta när man läser matematik.
Vad händer till exempel om vi istället väljer standardbasvektorerna? De är vektorerna 
vilket ger ekvationssystemet x+y=1, -x+y=0 (det liknar lite det vi fick i del 2), som i sin tur ger oss 2y=1 och således y=½, x=½ . På liknande sätt med andra standardbasvektorn:
Bekanta tal, eller hur?
Vi har alltså 
Vad är då belöningen för denna möda?
Jo, om vi nu ställer upp matrisekvationen precis som innan, fast med nya vektorer, ser vi följande:
Och utför man matrismultiplikationen med variablerna får man:
a+0=½
c+0=½
0+b=-½
0+f=½
Praktiskt, eller hur? Utan mycket extra möda får vi igen
Det är just den här andra metoden man i allmänhet använder för att ta reda på transformationsmatriser generellt. Vi tittar på ett lite mer generellt fall i nästa del.
De flesta matematik- och ingenjörsstudenter läser någon form av linjär algebra. Det är ett högst rimlig inslag i deras utbildning – vilken vuxen människa räknar inte med matriser :)?
Just beräkningar är dessutom det studenterna måste lära sig först. Efter att de behärskat teknikerna som Gauss-elimination och matrismultiplikation är det dags för nästa steg: räkna med olika baser.
Jag har som lärare på kursen Linjär algebra II fått överlägset mest frågor om avsnittet som handlar om transformationsmatriser. De frågorna var jag också sämst på att besvara, eftersom man alltid är tvungen att hålla tungan rätt i mun med transformationsmatriser. Olika beteckningar i olika böcker förbättrar inte situationen.
Med en transformationsmatris från basen b till basen c menar jag en matris som omvandlar vektorer, uttryckta i basen b, till likadana vektorer, men uttryckta i basen c.
Eller snarare så här: tar man en vektor (föreställ er ett geometriskt objekt) och skriver upp dess koordinater i basen b och sedan multiplicerar med transformationsmatrisen från vänster (det vill säga tar produkten matris 
Därför kallas transformationsmatrisen också basbytesmatrisen. Det den gör är att byta vilken bas som för tillfället är den aktuella, i vilken bas vi just nu räknar saker.
Vissa begrepp kanske känns oklara i förklaringen ovan. Vi reder ut dem!
En bas kan ses som en sorts koordinatsystem. Om vi arbetar på det tvådimensionella planet så kan vi rita flera olika koordinatlinjer:
 |
 |
 |
Som vi ser bestäms hela bilden alltid av två sorts linjer. Det är riktningarna på linjerna som är viktiga.
På samma sätt bestämmer två vektorer en bas i planet. De skall vara riktade åt olika håll (inte parallella). En bas är alltså ett par av vektorer. (Men i rum med högre dimension ska en bas bestå av fler vektorer, antalet är lika med dimensionen.)
Så exempel på baser (som vi ska jobba med) är:
|
|
|
|
Om vi lägger på koordinater på rutnätet kan vi läsa av vad de här basvektorerna har för koordinater (i standardbasen):
Nämligen 
Eller, skrivna på kollonform: 
Det är egentligen ingen väsentlig skillnad mellan radform och kolonnform, men oftast skriver man vektorerna på kolonnform. Om man gör det, så skall matrisen skrivas till vänster om vektorn vid multiplikation.
I nästa del reder vi ut hur man beräknar och skriver vektorer i olika baser.
Jag ska försöka reda ut begreppet linjär avbildning. Det är trots allt det linjär algebra i stort sett handlar om.
För det första är linjär avbildning synonymt begrepp med linjär transformation, och båda varianterna används flitigt. Detta tyder på att det är något aktivt som sker, någonting avbildas eller någonting transformeras.
Något förändras helt enkelt. Men inte hur som helst!
För att ta exempel ur vardagen: att ta ett foto på ett vackert landskap är en linjär avbildning från naturen till kameraskärmen. Tänk dig att en linje dras mellan varje pixel och motsvarande ”punkt” i naturen. På något sätt kan vi tänka oss att det är en jämn och regelbunden hopknutning av linjer.
En avbildning som däremot inte är linjär är när någon ritar skämtteckning föreställande dig. Den är ju helt fel! Försöker man tänka sig linjer på samma sätt som i förra exempel, så blir de huller om buller.
Det är därför just linjära avbildningar studeras så mycket, dels för att de är vackra och regelbunda, dels för att de är (just därför) mycket enklare än godtyckliga transformationer.
Nu till seriösa avbildningar. Den formella definitionen för att F skall vara en linjär avbildning är att den uppfyller två saker:
Detta betyder att en linjär avbildning bevarar förhållanden mellan punkter, som ligger på en och samma linje utgående från origo. Som jag ritade linjerna på bilden med landskap så menade jag att origo skulle vara i övre vänstra hörnet. Dra en ”origolinje”, till exempel linjen som går från hörnet genom den högsta bergstoppen och in i solen. Det här villkoret säger oss att avståenden från hörnet till toppen och från hörnet till solen förhåller sig på samma sätt (med samma faktor) både i den lilla och i den stora landskapsbilden.
Det andra villkoret är lite svårare att förklara med en bild. Här ska man föreställa sig en massa vektorer (utgående från origo). Det måste alltid gälla att när vi tar två sådana vektorer och kollar på vad de avbildas på, så blir de två nya vektorer som dock också utgår från origo. Tar man summan av de ursprungliga två och summan av de senare två så ska dessa resultat hänga samman med precis samma avbildning. Det vill säga första summan avbildas på den senare summan.
Linjära avbildningar är mycket mer generella grejer än det först verkar. Det beror på att så kallade vektorer är väldigt generella objekt i sig. De behöver inte vara ”pilar i planer” eller ”pilar” överhuvudtaget. Vektorer kan vara matriser, funktioner, tal, … katter (om man vet hur man summerar två katter för att få en annan katt, samt hur man multiplicerar katter med skalärer).
Därför är det rätt svårt att kolla om villkoren 1 och 2 stämmer geometriskt. Oftast får man avbildningen genom en formel och då är det bara att ”stoppa in” och visa att vänsterledet är lika med högerledet för att möjliga indata (vektorer) och skalärer (konstanter) a.
Det finns många kända exempel på linjära transformationer som är bra att känna till. Att derivera funktioner är ett sådant exempel (slå upp deriveringreglerna och hitta två av dem som liknar våra villkor väldigt mycket). Att integrera funktioner är ett annat. Att multiplicera med en fixerad matris är en linjär avbildning också och många avbildningar representeras just på det sättet.
Sist, men inte minst, kommer lite linjära avbildningar från planet till sig självt:
Här ligger origo alltid i ”ursprungliga övre högra hörnet”, det vill säga det hörnet där solen är närmast.
I den stora boken ”Algebra” av Grillet liknar författaren viss matematikinlärning med att knåda deg. Att lära sig vissa saker går bara om man själv försöker härleda eller använda dem. Till exempel matrisräkning kan man inte utantill om man inte multiplicerat en enda matris.
Jag håller fullt med om detta. Var själv väldigt priviligerad om att gå i den hårda ryska skolan och räkna 20 polynom, ekvationer och uttryck om dagen. Samma sak med multiplikation och division i de tidigare skolåren. Detta kommer till en användning i vardagen, då jag inte alltid har dator/miniräknare med mig, men oftast tillgång till papper & penna eller tavla & krita.
Jaja, det är kanske ingen som bryr sig om att kunna räkna fort nuförtiden, varken tal eller andragradsekvationer, men människor vill kunna göra det (utan miniräknare). Speciellt studenter. Och enda vägen att lära sig är hårda vägen.
Om motivationen är ”klara provet” eller ”klara tentan” är det plötsligt en väldigt tråkig sak för dem att göra, för att man ”måste”. Det sättet som gjorde det roligt för mig i lågstadiet i alla fall var att jag tävlade mot min bänkkamrat. Oavsett om det var rysk grammatik eller matte, så tävlade vi om vem som gjorde uppgifterna snabbast på lektionen. Långt ifrån alla är tävlingsinriktade förstås och alla har olika tempo. Dessutom var det inte läraren som gjorde det roligt för oss, utan det var vi själva.
Som lärare har jag inte vågat säga åt eleverna att utföra det här repetativa uppdraget. Det har Thomas Erlandsson däremot gjort till mina nya elever och jag kan säga att det funkar hur bra som helst. Han sa åt dem att räkna ett hundratal uppgifter från boken och det gör de också. När allt kommer omkring, är inte uppgifterna så djävulkst tråkiga.
När det gäller matriser och linjära avbildningar, så har jag gjort en stencil som börjar enkelt och testar färdigheter, men sedan blir allt svårare. Jag delade ut den på lektion 9 i kursen ”Linjär algebra och geometri I” och man fick sitta med var sin stencil och komma så långt man kunde. Notera att samtidigt som att man gör standarduträkningar, smyger ovanliga uppgifter in och de får upptäcka lite matematik själva. Jag kan stolt skryta om att eleverna inte märkte när lektionstiden var ute, för de var så inne i stencilen. Här är den och stort tack går till min vän Djalal, som fixade kaninbilderna. (Bäst är att läsa den i utskriven version för sidorna på slutet är bilder som hör till tidiga uppgifter.)
Har ni några tips på att göra tråkig räkning rolig?
Lektionerna nummer ett är nu avklarade!
Det är alltid lite mer nervöst att ha lektion i en ny kurs för första gången, än med en ny grupp, men nu hände båda sakerna på en gång. Sedan var det en ny grupp tre gången till :). Varje gång gick jag igenom teoristoffet på lite olika sätt, med så många frågor som möjligt riktade till studenterna.
– Vad är ett vektorrum?
– Är linjen y=3 ett underrum till R^2?
– Hur beskriver man världen vi lever i (rummet) för en alien?
Man får då notera att alienet är kanske två-dimensionellt och lever i sin egen värld. Även om situtationen bryter mot fysikens alla lagar så förstår ju eleverna frågan. Då säger jag att alla bra svar på den här frågan är samma sak som en bas. En bas beskriver ett vektorrum på ett optimalt sätt, inte mer än så. Jag tror att det där med matematik anknyts till verkligen bäst med hjälp av aliens, ska försöka använda dem oftare.
I allmänhet är den första lektionen väldigt viktig. Det är då man fixar alla inställningarna på programmet som körs. Å ena sidan skall studenterna bilda en ungefärlig uppfattning om vad som väntar dem varje lektion, å andra sidan skall de inte bli uttråkade. Man vill rycka med dem, så det blir en bra start! Det är alltid bra när man är aktiv från början och ställer frågor.
Det där med frågor brukar min kompis, som undervisar i Stockholm, ta upp på sina första lektioner. Han berättar då om ett visst psykologiexperiment som genomfördes på någon högskola. Eleverna kom överens om att lyssna noga på läraren när han befann sig i högra halvan av klassrummet och titta lite slött i sina böcker när han befann sig i den vänstra. Läraren gick runt och pratade och allt eftersom började bara befinna sig i högra halvan av klassrummet. Då gjorde eleverna samma sak igen: kollade upp i högra fjärdedelen av klassrummet och tittade ner när läraren var någon annanstans. Utan att tänka på saken befann sig läraren så småningom i högra fjärdedelen av klassrummet. Experimentet fortsatte så … Till slut stod läraren i dörren och pratade till studenterna därifrån, som då förstås lyssnade väligt nogrannt :).
Sensmoralen är då att vi vill våra studenter känna att de har makt, men också ansvar, över sin egen utbildning. Finns det självförtroendet är det både lättare för dem och för oss att genomföra bra lektioner.
Vad är det? Ett rum där vektorerna bor, såklart! Vill man veta vad som försigår där, så kan man lyssna på låten Tänk om jag vore en skalärprodukt.
Men om man ska vara matematiskt petig, så är vektorrum en mängd med vektorer, där diverse räknelagar för dem är uppfyllda. Vi kan tänka på vektorer som förflyttningar: det viktigaste är inte var vi startar utan hur långt vi har förflyttat oss och åt vilket håll.
Låt oss säga att vi startar i origo i vårt vektorrum. Vi försöker förflytta oss med hjälp av alla möjliga vektorer tillgängliga. Som till exempel en enkel robot som vi styr genom en labyrint, den kan bara få instruktioner ”ett steg åt höger”, ”ett steg åt vänster”, ”ett steg uppåt”, ”ett steg neråt”. På samma sätt får vi instruktionerna ur mängden av vektorer, varje vektor är en instruktion till oss. Axiomen säger då att vi på så sätt inte ska kunna hoppa ur vektorrummet helt plötsligt om vi går med hjälp av instruktionerna.
Det finns dock extra saker som vi kan göra. Vi får nämligen själva bestämma hur långt vi kan gå åt varje håll som ges åt oss. Säg till exempel, att vi får vektorn som pekar ”diagonalt-uppåt-höger”. Då kan vi gå jättelångt diagonalt, men också jättekort. T.ex. ett pyttelitet steg diagonalt, eller till och med inget steg alls.
Nu kan vi till och med formulera vad det betyder att vektorer spänner upp nånting. Vektorerna spänner upp ett underrum (en del av ett vektorrum) som består av alla punkter vi kan komma fram till om vi startar i origo (med hjälp av instruktioner från föregående stycken). T.ex. robotvektorerna spänner upp en hel labyrint, för att roboten kan komma fram överallt (om det är en snäll labyrint).
Hittils har lätt förvirring rått angående mina grupper. Nu har jag till slut förstått att W2B (miljö- och vattenteknik-programmet, årskurs 2, grupp B) och KandMa1 (kandidatprogrammet i matematik) har en gemensam föreläsare (min handledare Walter Mazorchuk), och IT-ingenjörerna har en annan (Thomas Erlandsson). Dessutom går tekniska fysiker med första gruppen och ”system i teknik och samhälle”-nissarna går med den andra.
Varför har man grupperat dem så? På något sätt måste det ju göras för klassrumskapaciteten är inte godtyckligt stor. Tekniska fysiker och matematiker brukar dessutom gå rätt många genemsamma kurser, så det är naturligt för dem att fortsätta. Hur som helst, jag är nöjd med 2-2-fördelningen och med olika program i den första gruppen och samma i andra. Variationen är alltså garanterad.
Föreläsarna har nämligen bestämt sig för olika kursböcker till samma kurs. Det finns en standardbok, som är oficiell kurslitteratur (skriven av Anton och Rorres), alla har den som rekommenderad litteratur. Den boken tyckte jag till en början om, den var bra för att vara en linjär algebra-bok. Sedan började jag läsa i den för mina lektionsförberedelser och den var trååååååkig. Det gick att läsa en stund, visst, det kom definitioner och exempel som vanligt, men jag tyckte de valde tråkiga sätt att förklara saker på och rätt tråkiga beskrivningar på tillämpningar. Vissa var lyckade, men man stötte på tråk i varje kapitel i alla fall.
Den andra boken, som Walter valde, är ”Boken med kossan på”. Den finns tillgänglig på nätet, så alla kan skriva ut den förhoppningsvis. Vad jag kollat verkar den okej, men tydligen finns det inte så många bra uppgifter. Frågan är var det går att hitta passande intressanta roliga nyttiga uppgifter till kursen Linjär algebra II? Google, here I come!
© 2009-2024 Mattebloggen
![T=\left(\begin{array}{ccccc}[A_1]_B & [A_2]_B & [A_3]_B & [A_4]_B & [A_5]_B\\\end{array} \right)](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=T%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D%5BA_1%5D_B%20%26%20%5BA_2%5D_B%20%26%20%5BA_3%5D_B%20%26%20%5BA_4%5D_B%20%26%20%5BA_5%5D_B%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "T=\left(\begin{array}{ccccc}[A_1]_B & [A_2]_B & [A_3]_B & [A_4]_B & [A_5]_B\\\end{array} \right)")
