Etikett: prinsessan eller tigern

Hade kungen svarat att rum VIII var tomt, skulle inte det ge fången något mer att gå på än vad han redan hade. Men eftersom han kunde lista ut var prinsessan fanns trots allt, sade kungen till honom att det fanns någon i rum VIII. Därför kunde fången resonera på följande vis.

En prinsessa kan inte sitta i rum VIII, eftersom det skulle innebära att skylten på rummet var sann. Men skylten säger, att i rummet sitter en tiger; det ger oss en motsägelse. Men eftersom det trots allt sitter någon i rummet, måste det vara en tiger. Tigern i rummet betyder att skylter ljuger. Således, kan inte rum IX vara tomt, för det skulle göra skylten VIII sann. Så rum IX är inte tomt.

Någon sitter alltså i rum IX. Det kan inte vara en prinsessa, eftersom skylten på rummet direkt skulle säga, att en tiger satt i rummet. Så påståendet på dörren till rum IX måste vara en lögn. Vidare, om skylt VI skulle ljuga, skulle skylt IX vara sann. Eftersom så inte är fallet, står det en sanning på skylt VI.

Vidare, eftersom skylt VI är sann, betyder det att det som står på skylt III är falskt. Enda möjligheten för skylt III att vara sann är när skylt V är falsk och skylt VII är sann. Eftersom skylt V är falsk; så är även påståenden II och IV falska. Dessutom är skylt I sann, eftersom skylt V är falsk.

Nu vet vi vilka skyltar talar sanning och vilka ljuger:

Prinsessan kan då bara sitta i rummen I, VI och VII, eftersom det är de enda skyltarna som talar sanning. Eftersom skylten på rum I är sann, kan inte prinsessan sitta i rum VI. Eftersom skylten på rum VII är sann, kan inte prinsessan sitta i rum I. Således sitter prinsessan i rum VII.

Påståenden på rum II och III motsäger varandra, alltså måste ett av dem vara sant. Eftersom bara en skylt är sann enligt kungen, måste påståendet på skylt I vara falskt. Alltså sitter en prinsessa i rum I.

Om en prinsessa sitter i ett rum, ska rummets skylt tala sanning, därför kan inte en prinsessa sitta i rum II. Hade hon suttit i rum III, skulle alla tre påståenden vara sanna, vilket motsäger det vi visste om gåtan, det att åtminstone en av skyltarna är felaktig. Således måste prinsessan sitta i rum I. (Då är skylt II sann, medan skylt III är falsk.)

Skyten till ett rum med en prinsessa talar sanning, så givetvis kan inte prinsessan finnas i rum III.

Antag nu att en prinsessa finns i rum II. Då är skylten II sann och därför sitter en tiger i rum I, medan rum III är tomt. Dessutom betyder det att även skylten med rummet med en tiger är sann, vilket är omöjligt. Därför sitter en prinsessa i rum I; samtidigt är rum III tomt och i rum II sitter en tiger.

Eftersom båda skyltarna påstår samma sak, måste antingen båda de tala sanning eller båda ljuga.

Låt oss anta att båda skyltarna talar sanning, i så fall ska båda rummen ha prinsessor. Det betyder att i bland annat rum II finns en prinsessa. Men vi fick veta, att om rum II hade en prinsessa, så skulle påståendet på rummet vara falskt. Således har vi en motsägelse, och därför kan inte båda skyltarna tala sanning, utan de ljuger.

På så sätt får vi att första rummet har en tiger, men det andra har en prinsessa.

Om man skulle anta att en tiger sitter i det första rummet, skulle man få motsägelse.

I det fallet måste ju påståendet på första skylten vara en lögn, av vilket vi kan dra slutsatsen att inget rum har en prinsessa i sig, det vill säga att båda rummen innehåller tigrar. Å andra sidan vet vi av villkoren att tigerns närvaro i andra rummet innebär att skylten på andra rummet är sann, det vill säga en prinsessa sitter i första rummet. Och detta motsäger det ursprungliga antagandet om att det fanns en tiger i det första rummet.

Så en tiger kan inte finnas i första rummet, utan det måste vara en prinsessa där. Därför ljuger inte den andra skylten, och det måste finnas en tiger i andra rummet. Alltså, en prinsessa sitter i det första rummet och en tiger sitter i det andra.

Första skylten påstår att det antingen sitter prinsessor i båda rummen eller att det sitter tigrar i båda rummet, eftersom det då inte spelar någon roll, vilket rum man väljer.

Låt, till exempel, en prinsessa sitta i det första rummet. Då måste skylten på rummet vara sann och det innebär att en prinsessa sitter även i andra rummet. Å andra sidan, antag att en tiger sitter i det första rummet. Det gör att första påståendet är falskt och rummen har olika invånare. Vilket innebär återigen att det måste sitta en prinsessa i andra rummet.

På så sätt vet vi att det sitter en prinsessa i rum II, oavsett vem som sitter i rum I. Till slut, eftersom en prinsesa sitter i rum II, så är det andra påståendet falskt, alltså måste en tiger sitta i rum I.

Första skylten påstående betyder att rummen har olika invånare (ena rummet har en prinsessa och det övriga rummet har en tiger), men den säger ingenting om vem som sitter i vilket rum.

Om en prinsessa sitter i rum I, så stämmer påstående I; således sitter en tiger i rum II. Å andra sidan, om en tiger sitter i rum I så är påstående I falskt, därifrån följer det att rummens invånare är av samma typ och därför måste det sitta en tiger även i rum II.

I vilket fall som helst måste en tiger sitta i rum II. Det betyder att andra skylten är sann och därigenom vet vi att en prinsessa sitter i det första rummet.

Antag att skylten ”En tiger sitter i det här rummet” hänger på dörren till rum I. Om en prinsessa sitter i rummet blir påståendet falskt, men det motsäger reglerna som kungen har bestämt. Om en tiger sitter i det första rummet är påståendet på första rummet sant, vilket återigen motsäger de satta reglerna. Då är det klart att den skylten inte kan finns på rum I. Så den borde hänga på dörren till rum II; i sin tur kommer den nedre skylten hängas upp på dörren till rum I.

Skylten som ska finnas på rum I säger alltså ”Tigrar sitter i båda rummen”. Då kan inte en prinsessa finnas i rum I, för då skulle påståendet på skylten vara sant och tigrar skulle sitta i båda rummen – vi har uppenbarligen är en motsägelse. Således sitter en tiger i rum I. Det gör påståendet på första skylten falskt och därför måste en prinsessa finnas i rum II.

Vi vet att en av skyltarna talar sanning och en ljuger. Är det möjligt att första skylten är sann och den andra är falsk?

Såklart inte, ty om första skylten talar sannning, så måste skylten på andra rummet stämma också. Det vill säga om prinsessan sitter i rum I och tigern i rum II, så betyder det definitivt att i ett av rummen sitter en prinsessa och i det andra en tiger.

Men eftersom det inte kan hända att det första påståendet är sant och det andra falskt, ät det klart att den andra skylten är sann, medan det första är falsk.

Vidare, eftersom det andra påstendet är sant, måste verkligen ett av rummen innehålla en prinsessa och ett har en tiger. Och på grund av att det första skylten ljuger, betyder det att tigern måste sitta i rum I och prinsessan i rum II. Således ska fången välja andra rummet.

Om skylten II är falsk, så sitter en prinsessa i första rummet. Men detta innebär att åtminstone en prinsessa finns i rummen, vilket gör påståendet på skylten I sann.

Därför är det omöjligt att båda skyltarna är falska. Det betyder att båda påståenden är sanna (enligt villkoren är ju antingen båda samtidigt sanna eller båda falska.)

Så en tiger sitter i rum I och en prinsessa i rum II; det betyder att fången återigen rekommenderas välja det andra rummet.

Den här gången var kungen på speciellt bra humör, eftersom både rummen hade prinsessor. Låt oss bevisa det.

Påståendet på skylt I betyder att åtminstone ett av följande påståenden stämmer: i rum I sitter en tiger; i rum II sitter en prinsessa. (Det är inte uteslutet att båda möjligheterna kan stämma samtidigt).

Vidare, om påståendet på skylt II är falskt, så betyder det att en tiger sitter i rum I och i så fall talar första skylten sanning (eftersom den första utsagan på skylten är uppfylld).

Men på grund av villkoret vet vi att det inte kan hända att en av skyltarna är sann och en är falsk. Således, eftersom påstående II är sant, måste båda skyltarna vara sanna.

Det följer dessutom att den första varianten på skylt I är omöjlig, men eftersom åtminstone en variant skall vara uppfylld, måste det vara den andra varianten. Så det andra rummet har en prinsessa också.