Pythagoras sats – Mattebloggen

Matematik i Genikampen – första avsnittet

I höst är jag en av deltagarna i SVT:s program Genikampen. Programmet går i åtta avsnitt och jag tänkte beskriva händelserna i avsnitten ur ett matematiskt perspektiv.

Själv är jag matteintresserad och har övat mycket i problemlösning. Jag tror att detta har gjort mig smart på flera sätt, inte bara bra i huvudräkning. Matte för mig är så mycket mer än att räkna och därför vill jag visa nedan hur man kan tänka på ett matematiskt sätt även när man inte ”räknar”. Matte för mig handlar om att tänka.

Orientering på sträcka

Tävling ett börjar med att vi blir uppdelade i lag med 6 personer i varje. Uppgiften är att orientera i skogen, det vill säga passera 4 kontrollpunkter innan man kommer fram till målet. Laget får en karta, men ingen kompass. Det gäller att göra detta inte på kortast tid, utan på kortast sträcka! Två personer i laget har GPS-sändare, som sträckan mäts på, men även de andra 4 personerna i laget ska hålla ihop med personerna med GPS, ingen får ”scouta” framme. (Överlag fick deltagarna veta reglerna i detalj och även fick ställa förtydligande frågor, vilket inte visas i tv.)

Jag antar att man tar medelvärdet av de två GPS-positionerna för att få fram banan för att sedan mäta avståndet. Vi fick veta att om avståndet skiljde sig med mindre än 50 m, så var det tiden som gällde. 50 m var så pass lite i sammanhanget (man gick kanske i 35 minuter), så det rätta valet var att strunta totalt i tiden och fokusera på att gå precis kortast.

Hur hjälper matten här då? Jo, man bestämmer att personerna med GPS-sändarna måste gå så rakt som möjlig (DUH!). Detta löser man genom att de inte går först, utan i mitten eller sist. Då kan de personerna som går först gå lite fel (och på så vis ”scouta”). Om personerna som går först går längs med kateterna i en rätvinklig likbent triangel med kateterna 3 m, så kommer personen med GPS:en gå ”bara”

$\sqrt{2}*3 \approx 4,24 m$

4,24 m istället för 6 m alltså! En vinst på 1,76 m! Sker detta 100 ggr, vilket var rimligt för banan, så vinner man redan 176 m på att gå så. Pythagoras sats ftw!

Givetvis är detta egentligen en försumbar optimering i jämförelse med att ”gå rätt”, vilket sätter orienteringsskills över matten i det här fallet. Så är det ibland, men lite bidrag från olika sätt att tänka här och var är sånt som avgör tävlingarna.

Orientering på tid

Andra delen av första tävlingen gick ut på att orientera på ett fabriksområde och hitta halvgömda kontoller. I kontrollerna fanns ledtrådar, mer om dem senare. Här hade gula laget 3 minuters försprång, vilket visade sig inte bara hjälpa, utan stjälpa.

Det fanns nämligen i princip två optimala sätt att ta kontroller (med kortast sträcka): medurs eller moturs (ordningen för kontrollerna blev ganska naturlig), eftersom man skulle tillbaka till samma ställe. Gula laget började, men eftersom blåa laget följde samma riktning, kunde de spara tid på att inte leta efter kontroller, utan observera det gula laget när de var precis ikapp, men lite efter. Det hade blivit annorlunda ifall det blåa laget hade valt motsatt riktning, då skulle förmodligen inget lag få fördel (eller i alla fall är den förväntade fördelen lika) av att vara ”efter”. Banorna skulle korsa varandra i ungefär mitten och då skulle det blivit mer ”rättvisst”. Lite kul ändå att slumpen påverkar!

Uträkningar

Sista delen av första tävlingen gick ut på att göra uträkningar (Genikampen kallar det ”lösa ekvationer”, men jag håller inte med om den termen, eftersom ”ekvationer” för mig förutsätter ett närvaro av ett ”lika med”-tecken och någonting okänt.) Om uppgifterna görs i fel ordning (det vill säga, man försöker få ett resultat utan att veta att KATT = 2 och HARE = 5), så kan man inte få ett svar, men man kan förenkla uttrycken. Gula laget öppnade just ett uttryck med okända först (och visste ju inte vad som väntade), så det enda som fanns i början var att förenkla, vilket gjorde att man kunde räkna ut resultatet av det uttrycket snabbare efteråt.

Som sagt, beräkningar är inte allt som matte är. Nu råkar jag vara snabb på att göra aritmetiska beräkningar, men kanske hälften av de verksamma matematiker jag träffar är inte bra på snabba beräkningar alls. Det är lite som att vara bra på Rubiks kub: Man har antingen lärt sig det eller inte. Man kan vara smart på knep & knåp utan att vara bra på Rubiks kub. Jag skulle inte heller säga att de som är bra på huvudräkning är automatiskt bra på matte, även om man förmodligen är bra på att se mönster, vilket hjälper en att räkna snabbare. Överlag, de som är bra på räkning är personer som är så pass lata att de vill göra det snabbt :)

Testa dig själv på tid om du tycker att det är kul att räkna.

Paintball-quiz

Andra tävlingen gick ut på att ha paintball-dueller med frågesport. Inte jättemycket matte, men man kan fundera över taktiken matematiskt. Det gäller att bedöma sina chanser att träffa vid skjutningen samt chanser att svara rätt på frågan. Om du inte är säker alls på att träffa (t.ex. Valentina som aldrig har sjutit/träffat i sitt liv) bör du skjuta snabbt om det är liten sannolikhet om din motståndare träffar. Med stor sannolikhet missar båda och då har du i alla fall första tjing på frågan. Men det kan också vara dumt att svara först om du t.ex. funderar mellan två alternativ: Då kan det vara bra att motståndaren eventuellt kan utesluta ett av alternativen genom att svara fel. Men den situationen händer typ aldrig.

Om man däremot är bra på att träffa bör man förmodligen börja med att undvika skottet från motståndaren och sedan skjuta själv i lugn och ro. Detta kan ge en säkra poäng, samt chansen att svara först!

Givetvis kan motståndare av liknande ”typ” träffar varandra, vilket resulterar i symmetrisk strategi och en Nash-jämvikt, men det är inget man hinner tänka på när man står där framme :) Då blir det lite kaotiskt och återigen slumpen som avgör.

Ordbygge

Duellen gick ut på att forma ord. Ser man inte färdiga ord så är det brute force som gäller (dvs testa alla möjligheter: Vilken kub är först, vilken är tvåa, hur ska tvåan vara vriden, etc.). Under antagandet att alla bokstäver är unika får vi

$3!\cdot 4^2 = 96$

uppställningar av tre kuber, eftersom kuberna kan ordnas på 6! = 3 sätt och roteras på 4^3 sätt. Men sedan kan varje uppställning ”visas upp” på 4 sätt (genom att ha ett av de fyra orden framme), så därför delar man med 4. Tycker du sånt här med att räkna sätt är skoj, kolla upp en lektion i kombinatorik som jag har lett.

På samma sätt kan man räkna ut att fyra kuber kan ordnas på

$4!\cdot 4^3 = 1536$

sätt och fem kuber på

$5!\cdot 4^4 = 30720$

sätt (under förutsättningen att alla bokstäverna är unika). Antalet sätt halveras ungefär för varje par av likadana bokstäver, men den storleksordningen blir det i alla fall.

Såklart är det mänsikligt omöjligt att testa alla sätt på begränsad tid, men lyckligtvis behöver man det inte, eftersom man kan utesluta massa fall, för att det ska ju bildas ord. Till exempel, om ordet börjar på ett ”T”, så kan inte andra bokstaven vara ”N” och den insikten sparar en 3!*4^3 = 384 fall. Så det var ju mänskligt att lösa det sista pusslet, även om det tog lång tid. Tricket är ändå att se ett ord som är med och anpassa kubuppställningen efter det. För mig var det att se början ”AO” som fick mig att tänka på ”AORTA”, som då senare gav två möjliga uppställningar av kuben, vara den ena var rätt (gav ord även på de andra sidorna: ”LIVET”, ”KENYA” och ”TITAN”).

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 3

I del 2 såg vi att en primitiv pythagoreisk tripplel alltid kan representeras i form av rektangelareor (inuti rutnätscirklar).

Dyker det upp exakt 3 olika rekatngelareor inuti en sådan cirkel?
Nej, det kan dyka upp fler än så, vilket beror på att vi kan hitta cirklar där fler än 8 rutnätspunkter hamnar på cirkeln. Nedan ser ni nio olika rektanglar, med areor utskrivna, som vi kan hitta i en cirkel med 16 rutnätspunkter på randen. (Vad tror du förresten är det största antalet rutnätskpunkter man kan hitta på en cirkel?)

Pythagoras cirkel många punkter

Men hur gör man med icke-primitiva Pythagoreiska tripplar? Konstruktionen från förra delen fungerar inte, eftersom icke-primitiva tripplar kan inte genereras på samma sätt från m och n som primitiva.

En icke-primitiv trippel är däremot lika med en primitiv, multiplicerad med en faktor, som till exempel (6,8,10) är trippeln (3,4,5) multiplicerad med faktorn 2. Om vi på något sätt kunde förstora alla rektanlar med faktorn 2, utan att förlora rutnätsegenskaperna, så skulle problemet vara löst. Men förstorlingen av alla rektanglar med faktorn 2 skulle ske om alla sidor förstorades med faktorn √2.

Detta kan vi göra om vi helt enkelt förstorar hela rutnätet med faktorn √2! Vi gör det genom att rotera koordinataxlarna 45 grader och betrakta fyra punkter som bildar en kvadrat med sidan √2 som en enda ruta. På bilden nedan är det nya rutnätet ritat i rött ovanpå det gamla (eftersom vi trots allt använder det gamla för att rita ut cirklar).

Koordinatsystem i rött

Vi gör samma sak med rutnätscirkeln: rotera och förstora med faktor √2, då bildar från en cirkel med areorna (3,4,5) en annan cirkel med rektangelareorna (6,8,10). Punkterna på cirkeln numreras för det ska gå lättare att se rotationen.

pythagoras cirkel 3 4 5 till 6 8 10

Men såklart kan vi bilda nya rutsystem på andra sätt och med andra rutstorlekar! Bland annat går att att förstora alla areor med 5, med 13 och såklart med produkter av faktorer, som vi redan kan förstora med. (Försök att hitta ett rutsystem med rutlängderna √5). På så vis går det alltså att konstruera alla icke-primitiva taltripplar på formen t.ex. (5*(m²-n²),5*2*m*n,5*(m+n²)).

Men går att förstora på så sätt med alla faktorer? Går det till exempel att konstruera den icke-primitiva trippeln (9,12,15)? Vi besvarar den här frågan i den sista delen.

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 2

I del 1 såg vi hur vissa pythagoreiska tripplar kunde representeras i form av areor på rektanglar inuti cirklar på rutnät. I den här delen undersöker vi huruvida detta är möjligt för alla primitiva tripplar.

Primitiva pythagoreiska tripplar (a,b,c) är sådana att talen a, b och c inte har några gemensamma delare. Till exempel är (3,4,5) en primitiv pythagoreisk taltrippel, medan (6,8,10) är en icke-primitiv sådan.

två pythagoreiska trianglar

Ur varje icke-primitiv pythagoreisk taltrippel kan vi nämligen få en primitiv: Om de tre talen har största gemensamma delaren d, så kan de skrivas på följande sätt: a = d·r, b = d·s och c = d·t.

Eftersom a² + b² = c², så är även (dr)² + (ds)² = (dt)². Förkortar vi likheten med d², så får vi r² + s² = t². Således har vi fått en ny pythagoriesk trippel (r,s,t). Den är primitiv, eftersom r, s och t inte kan ha några gemensamma delare (deras gemensamma primfaktorer skulle ha ingått i d).

Ur primitiva taltripplar kan man förstår tvärtom få oändligt många icke-primitiva genom att multiplicera alla tre talen med en och samma faktor.

genererade pythagoreiska tripplar

Således finns det oändligt många pythagoreiska taltripplar, men finns det oändligt många primitiva?

Ja, det visar sig att det finns oändligt många sådana och dessutom genereras varje primitiv trippel genom två heltal, som vanligen betecknas m och n. Dessa tal bör vara relativt prima och ett av dem måste vara udda, medan det andra måste vara jämnt. Givet sådana två tal, kommer följande tre tal bilda en pythagoreisk trippel: (m²-n², 2mn, m²+n²). Kontrollera gärna att oavsett vad m och n är, så kommer Pythagoras likhet gälla för dem.

Till exempel kan trippeln (3,4,5) skrivas som (2²-1², 2·2·1, 2²+1²), det vill säga den genereras av talen 1 och 2.

Talen 3 och 8 ger oss trippeln (2·3·8, 8²-3², 8²+3²), det vill säga (48, 55, 73) och just för det exemplet kommer vi rita upp en cirkel som innehåller rektanglar med respektive areor. Men låt oss beskriva hur vi agerar för allmänna m och n, det vill säga för en godtycklig primitiv pythagoreisk taltrippel.

Talen m och n är nämligen till stor hjälp när cirkeln konstrueras. Vi börjar inte i cirkelns mittpunkt, som man skulle kunna tro, utan på en punkt på randen (en heltalspunkt, som kommer vara hörn för åtminstone en rektangel). Markera en punkt m+n steg nedanför startpunkten, samt m-n steg till höger. Komplettera till en rektangel med en fjärde punkt på rutnätet. Rektangelns area är (m+n)(m-n) = m² – n² och dess mittpunkt måste sammanfalla med cirkelns. Vi bestämmer den genom att korsa diagonalerna.

pythagoras cirkel fyra punkter

Rektangeln vi har ritat är uppenbarligen inte en kvadrat, så vi får fyra nya rutnätspunkter som också ligger på cirkeln genom att rotera rektangeln 90 grader runt cirkelns mittpunkt:

pythagoras cirkel åtta punkter

Nu har vi fått en cirkel med åtta rutnätspunkter utsatta och det är faktiskt allt vi behöver! Låt oss bevisa det.

Markera en rektangel som har sina sidor vinklade 45 grader i jämförelse med den första. Kortsidan utgör hypotenusan i en likbent rätvinklig triangel med sida n, medan långsidan är på samma sätt, fast med m. Då kommer alltså arean att vara √(2n²)·√(2m²) = √(4m²n²) = 2mn. Precis som ett av talen i den pythagoreiska trippeln.

45 rektangel pythagoras cirkel

Markera nu en rektangel, som dessutom är en kvadrat genom att ta varannan punkt på cirkeln. Sidan blir lika med √(m²+n²), så arean måste bli lika med just m²+n². Därmed är den sista arean funnen!

kvadraten pythagoras cirkel

Nu uppstår det fler frågor: Dyker det någonsin upp några extra rektanglar med en annan area vid en sådan konstruktion? Och hur gör man för att konstruera cirklar för icke-primitiva pythagoreiska taltripplar?

Vi försöker besvara dessa frågor i nästa del.

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 1

[kkratings]
Föreställ dig ett rutnät av punkter. Det går att hitta massvis med cirklar som går igenom några av punkterna. En av de minsta sådana cirklarna har hela 8 punkter på sin rand:

grid_liten_cirkel

Det går även att hitta några rektanglar inuti sådana cirklar, som har alla sina hörn i punkterna på cirkelns rand (notera att även kvadraten räknas som en rektangel). Kan du bestämma rektanglarnas areor?

grid_rektanglar