väg – Mattebloggen

Bussar på vägen

Lars går längs med en väg med konstant hastighet. Var 6:e minut ser han en buss som åker förbi honom och var 3:e minut möter han en buss som åker åt andra hållet. Bussarna åker med samma fart åt båda håll och startar från ändhållplatserna med jämna mellanrum. Hur långa är dessa mellanrum?

Visa lösningen

Skolsteg

Maria, Jakob och deras pappa går till skolan tillsammans. Under tiden som pappa tar 3 steg, så tar Maria 5 steg. Under tiden som Maria tar 3 steg, så tar Jakob 5 steg. Maria och Jakob räknade till att de tog 400 steg till skolan tillsammans. Hur många steg tog deras pappa till skolan?

Visa lösningen

Ett land utan korsningar

[kkratings]

I ett sagoland finns 8 städer. Från varje stad leder 4 vägar och inga vägar korsar varandra. Rita kartan över landet genom att beteckna städerna med punkter och vägarna med sträckor.

Visa lösningen

Fram och tillbaka igen

[kkratings]

Från by A till by B leder en enda väg som är 15 km lång. Klockan 9:30 började en hob promenera med hastigheten 4 km/h från A till B. Nästa dag startade han klockan 11:00 från byn B och gick tillbaka till A med hastigheten 5 km/h. Båda dagarna gick hoben över en bäck som korsar vägen vid exakt samma klockslag.

Vilket klockslag var det han gick över bäcken?

Visa lösningen

Tre påsar med mynt

Rekommenderad från: 13 år

[kkratings]

Du har tre påsar med hundra mynt i varje. I en av påsarna väger alla mynten 9,9g, i en annan väger alla 10g och en tredje väger alla 10,1g, men du vet inte vilka mynt som ligger i vilken påse. Du har även en våg som kan visa den exakta vikten, men går sönder om du lägger på mer än 50g på den. Hur kan du med en vägning bestämma vilka sorts mynt ligger i varje påse?

myntpåse

Visa lösningen

En kung som gillade att bygga

[kkratings]

I Sagolandet fanns en kung som tyckte mycket om att bygga. En gång bestämde han sig för att bygga 6 torn och anlägga vägar mellan varje par av torn, men på så sätt
att det bara skulle bildas tre korsningar mellan vägarna. Dessutom fick bara två vägar mötas i varje korsning, aldrig fler.

Hur skulle planen över tornen och vägarna kunna se ut?

Visa lösningen

Pilen

Rekommenderad från: 10 år

[kkratings]

Siffrorna 1 till 9 fyller kvadraten som det syns på den vänstra bilden. Man får gå på kvadratens rutor, men aldrig tillbaka till en ruta man varit på förut, och man måste alltid gå till en angränsande ruta.

Katarina gick längs med pilen som syns på den högra bilden. Hon skrev ner siffrorna som hon gick på i ordning och fick talet 84937561. Rita en annan väg, som ger ett större tal (ju större tal, desto bättre).

Visa lösningen

Spänd tråd

[kkratings]

I en vägg sitter tjugo spikar (se bilden). Avståndet mellan två spikar som sitter precis bredvid varandra är 1 cm.

Din uppgift är att spänna en 19 cm lång tråd mellan spik 1 och spik 2, så att den går igenom alla spikarna. Hur gör du?

Visa lösningen

Problem vecka 19

Uttrycket (3 poäng).
Man utvecklade uttrycket (x+y)^n med hjälp av binomialsatsen. Den andra termen i summan blev lika med 240, den tredje blev lika med 720 och den fjärde blev lika med 1080. Hitta x, y och n.

Ön (7 poäng).
a) På en platt cirkelformad ö finns 4 hamnar (i den ordningen): 1, 2, 3 och 4. Mellan dem finns vägar där det kan finnas korsningar, det vill säga punkter där vägarna möts, korsas eller grenas. På alla sträckor är trafiken enkelriktad, på så sätt att man aldrig kan komma tillbaka till en hamn eller korsning om man startar därifrån. Låt f_ij beteckna antalet vägar som går från hamn i till hamn j.
Visa olikheten f₁₄f₂₃≥f₁₃f₂₄
b)

Visa att om det finns 6 hamnar (1, 2, 3, 4, 5, 6 i den ordningen) så gäller

f₁₆f₂₅f₃₄+f₁₅f₂₄f₃₆+f₁₄f₂₆f₃₅≥f₁₆f₂₄f₃₅+f₁₅f₂₆f₃₄+f₁₄f₂₅f₃₆

Visa lösningar

Uttrycket (Toomas lösning, kompletterad):
Vi har alltså en utveckling av ett binom (x+y) upphöjt i ett tal n enligt binomialsatsen sådant att den andra termen är lika 240, den tredje 720 och den fjärde lika 1080.

Vi förnimmer oss att binomialsatsen kan skrivas

$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n$

Detta innebär att om vi ersätter den retoriska notationen i problemtexten med symbolisk algebra får ekvationssytemet

${n \choose 1}x^{n-1}y^1=240$

${n \choose 2}x^{n-2}y^2=720$

${n \choose 3}x^{n-3}y^3=1080$

som förstås kan förenklas till

$nx^{n-1}y=240$

$\frac{1}{2}(n^2-n)x^{n-2}y^2=720$

$\frac{1}{6}(n-2)(n-1)nx^{n-3}y^3=1080$

Dividera den andra ekvationen med den första, samt den tredje ekvationen med den andra:

$\frac{1}{2}(n-1)\frac{y}{x}=3\ \ \Rightarrow \ \ (n-1)y=6x$

$\frac{1}{3}(n-2)\frac{y}{x}=\frac{3}{2}\ \ \Rightarrow \ \ (n-2)y=\frac{9}{2}x$

Subtrahera den andra ekvationen från den första

$y=\frac{3}{2}x$

och gör en ersättning i en av ekvationerna för att få n:

$(n-1)\frac{3}{2}x=6x\ \ \Rightarrow \ \ n-1=4 \ \ \Rightarrow \ \ n=5$

Nu kan vi göra ersätta n med 5 i den första ursprungliga ekvationen:

$5x^4\frac{3}{2}x=240 \ \ \Rightarrow \ \ x^5=32 \ \ \Rightarrow \ \ x=2$

$y=\frac{3}{2}\cdot 2=3$

Den enda lösningen är alltså n=5, x=2 och y=3.

Ön (Skäggets lösning, något modifierad):

a) Vi noterar att f₁₃*f₂₄ kan ses som antalet sätt man kan gå från 1 till 3 och sedan från 2 till 4, och att f₁₄*f₂₃ är antalet sätt man kan gå från 1 till 4 och sedan från 2 till 3.

En väg från 1 till 3 delar vår ö i två delar, med 2 och 4 på olika sidor. Således måste en väg från 2 till 4 korsa varje väg från 1 till 3 vid minst en punkt.

Tag en godtycklig väg som går från 1 till 3 (kalla den A) och sedan magiskt fortsätter vid 2 och går till 4 (via en väg B). A och B måste korsa varann i någon punkt X (vi kan exempelvis välja den första korsningen på A).

Antag att vi börjar från 1 och följer A tills vi når X. Sedan fortsätter vi längs väg B tills vi når 4. Sedan hamnar vi på något magiskt vis i 2 och följer B tills vi når X, och följer sedan A till 3.

Vi ser att för varje sammansättning A och B får vi en väg från 1 till 4 och sedan 2 till 3. Detta ger upphov till en funktion som uppenbart är injektiv (två vägar måste ju ha identiska vägsegment såväl före som efter X för att ett vägskifte vid X ska ge samma resultat, och då är de samma väg).

Således har vi en injektiv funktion från mängden av vägar 1-3-2-4 (med magiskt hopp från 3 till 2) och mängden av vägar 1-4-2-3 (med magiskt hopp från 4 till 2). Dessas mängders storlekar är som vi noterat f₁₃*f₂₄ respektive f₁₄*f₂₃, och således har vi visat olikheten i fråga.

b)Vi ser att vänsterledet kan ses som unionen av alla vägar 1-6-2-5-3-4 och 1-5-2-4-3-6 och 1-4-2-6-3-5 (med magiska hopp), sådana vägar kallar vi udda. Högerledet kan ses unionen av alla vägar 1-6-2-4-3-5 och 1-5-2-6-3-4 och 1-4-2-5-3-6, sådana vägar kallar vi jämna. Om två hamnar med nummer 4, 5 eller 6 byter plats i en väg, byter vägen paritet.

Tag en väg 1-x-2-y-3-z, där {x,y,z} är en permutation av {4,5,6}. Om delsträckorna skär varandra någonstans, kalla skärningspunkten närmast 1 för M (det vill säga skärningspunkten som kommer först på sträckan 1-x om den sträckar korsar andra, annars skärningspunkten närmast 2 på sträckan 2-y). Byt plats på vägsluten efter punkten M, precis som i punkt a). (Om alla delsträckorna går genom M bestämmer vi en regel om att alltid byta plats på vägsluten av desträckorna 1-i och 2-j.)

Om man byter två stycken vägslut byter vägen paritet. På så sätt har vi bestämt en bijektion mellan udda och jämna vägar som har korsningar. Varje väg som inte har korsningar är dessutom en udda väg av typ 1-6-2-5-3-4. Därför finns det minst lika många udda vägar som jämna. Av det följer olikheten.

Etikett: väg

Bussar på vägen

Bussar på vägen

Skolsteg

Skolsteg

Ett land utan korsningar

Ett land utan korsningar

Valentinas lösning

Eva-Maries lösningar inkl. Lottas lösning

Jon-E:s lösning

Johans lösning

$:s lösning

Davids lösning

Fram och tillbaka igen

Fram och tillbaka igen