volym – Mattebloggen

Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen, andra träffen och tredje träffen innan du läser vidare.

Besök av Uppsalas Nya Tidning

Den fjärde gången fick vi lite halvt oväntat ett besök från Uppsalas Nya Tidning. De kom för att skriva en artikel om Matteklubben i och med att det hade blivit klart att satsningen skulle fortsätta under 2015. Tyvärr innebar det att jag behövde vara ifrån lektionen lite för att svara på journalisternas frågor. Men trots en hastig intervju blev artikeln ganska bra i alla fall! Enda felet de gjorde var att formulera läxan på ett oförståeligt sätt.

UNT: Matteklubben på Ånström gör succé

Det stod ”Uppgiften handlar om att räkna ut om det går att förflytta sig mellan våning ett och två med hiss i ett 100 våningshus om bara knapparna för våning sju och nio fungerar.” Just det där sista med knapparna vore ganska konstigt, utan uppgiften ska formuleras så som det står i läxan.

Hemuppgifterna

I den första hemuppgiften fick eleverna använda sig av knapparna +7 och -9 för att röra sig mellan våningarna. Många hade hunnit tänka på uppgiften redan på den föregående lektionen så att det fanns flera olika idéer. Den mest intressanta diskussionen uppstod när vi skulle förklara varför det går att ta sig från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst med hjälp av dessa knappar.

Någon hade en lösning som använde sig av modulo 7 (förstås utan att dessa ord yttrades), det vill säga att först ta sig till en våning som ger samma rest modulo 7 som målvåningen och sedan åka uppåt sju steg i taget (det här gäller för stora målvåningsnummer). En annan hade förklaringen om att strategin för att ta oss upp en våning egentligen kan varieras genom att man byter på knappordningen. Vi kan alltid trycka på knapparna på så sätt att vi slipper åka utanför våningarna och till slut tar oss en våning upp eller ner, vad vi nu behöver.

Det var härligt att se att några elever hade intuion för dessa ganska så abstrakta idéer som moduloräkning och kommutativitet och deras användbarhet.

Den andra uppgiften handlade om hästarna på schackbrädet. Medelst en dialog med eleverna visade jag hur uppgiften kunde lösas med hjälp av en graf. Uppgiften är typisk på det sättet att det är lätt att förstå varför det inte går men svårt att förklara varför. Med en graf av möjliga hästförflyttningar blir det mycket lättare att se och förklara varför det inte kan gå.

Blandat

Den största delen av lektionen togs upp av blandade uppgifter som eleverna löste själva eller i par. De börjar bli väldigt bekanta vid sådana problemlösningssessioner, vilket betyder att vi lärare knappt behöver lägga någon tid på organisation eller disciplin. Vi kan istället snabbt besöka alla eleverna, lyssna på dem och ställa ledande frågor om det behövs.

Under varje uppgift skriver jag ner diskussionerna som jag hann ha med några av eleverna.

1. Shrek hade en stor bit tvål i form av ett rätblock. Efter att han hade duschat 7 gånger blev biten hälften så lång, hälften så bred samt hälften så hög som den var i början. För hur många duschar till räcker den tvålbiten som är kvar?

Elever: Det är svårt att veta hur det ser ut. (De har svårt för att rita 3D-bilder.)
Lärare: Försök att rita vad som skulle hända med en rektangel först. Sedan försök att rita rätblocket.

Elever: Den minskar fyra gånger (visar upp hur de har gjort för en rektangel och säger att det är samma för rätblocket). Sedan vet vi inte hur vi ska räkna.
Lärare: Det här stämmer om tvålen hade varit platt. Men den har en volym. Minskar den inte ännu mer om den också blir mindre på bredden?

2. Hur många tresiffriga tal finns, där alla siffror är olika?

Elever: Vi skrev upp alla sådana tal som börjar med siffran 1. Eller snarare, vi skrev de som börjar med 10.. och det blev åtta stycken. Det blir åtta sådana rader för tal som börjar med 1, så 8*8 = 64 tal. Men första siffran kan väljas som vilken som helst utav 9, så totalt 64*9 = 576 sätt.
Lärare: Ja, det verkar rätt. (Märker felet sedan vid genomgången.) Varför blir det förresten åtta rader?
Elever: (Räknar…) 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 (får ”åtta” ett par gånger, men till slut får ”nio”).

3. Hur stor area har den ifyllda rektangeln på bilden? Ange arean i antalet rutor.
area_rektangel

Elev: Jag delade upp figuren i halvrutor och räknade alla de inuti bilden. Det blev 24.
Lärare: Ja, precis, så kan man göra!

Elever: På ett sätt fick vi 24, men när vi tittar på den som en rektangel så kan man dela upp den i 3*4 = 12 rutor (visar uppdelningen). Varför blir det annat svar?
Lärare: Det stämmer att man delar upp den i 12 rutor, men är det verkligen lika stora rutor som de ursprungliga? Hur var det nu man räknade ut arean på en ”stor” ruta? (Syftar på diskussion av hemuppgiften på den tredje träffen.)
Elever: Ah, de är större ja. De är två rutor stora, alltså är arean 12*2 = 24!

4. Emil plockar svarta och röda kort från en låda och lägger dem i två prydliga högar. Det är förbjudet att lägga kort av samma färg på varandra. Det tionde och det elfte kortet som Emil lägger ut är röda, det tjugofemte är svart. Vilken färg har det tjugosjätte kortet?

Elever: Om han lägger röd-svart-röd-svart och så vidare (på samma hög) från och med det tolfte kortet, så kommer det tjugofemte kortet vara svart och det tjugosjätte vara rött.
Lärare: Men om man skulle lägga korten på något annat sätt, kommer det tjugosjätte kortet fortfarande garanterat vara rött?
Elever: Ahaa, det är det som är frågan…

5. I Sifferlandet finns 9 städer som heter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. En turist upptäckte att det finns flyg mellan två städer bara om det tvåsiffriga talet som bildas av stadsnamnen är delbart med 3. Lista alla städer som man kan komma till från staden 1.

Här hann jag inte ha dialog med någon, men i efterhand fick jag se att både vissa lärare och elever var osäkra på om man fick mellanlanda. I gemensamma klassdiskussionen förtydligade vi det och gjorde klart uppgiften.

Ladda ner uppgifterna för utskrift

Olika lärare leder diskussionen

Efter den rätt så långa problemlösningssessionen hade vi en paus och sedan drog vi igång genomgången.

Redan i planeringsfasen bestämde vi att olika lärare skulle ta genomgången av varje uppgift. Så fem personer fick var sin uppgift. Det var roligt att se hur alla lärare på ett sätt var lika (frågade eleverna ungefär lika mycket som jag, ställde ledande frågor etc.), men på ett annat sätt också olika. Ingen lärare skulle ju leda redovisningen exakt likadant eller säga exakt samma ord. Jag tror att det är väldigt nyttigt, då mitt sätt att redovisa kanske tilltalar vissa elever, men inte alla. Andra lärare är helt enkelt andra bra förebilder och ju fler olika man får se desto bättre.

Samtidigt kunde jag sätta mig längst bak i klassrummet och se hur det hela såg ut från elevernas sida. Jag försökte också föregå med gott exempel och ställa frågor (som kunde verka dumma) om redovisningen tills jag förstod. Det vill säga, jag spelade inte med, utan jag förstod verkligen inte vissa saker och ställde frågor tills en av lärarna gjorde sakerna klara för mig. Det går inte trycka för mycket på att vi är på Matteklubben för att förstå och inte för att visa oss smarta inför varandra. Det finns inget skam i att inte förstå! Det hjälper ju den som förklarar att bli bättre i just konsten att förklara.

Symmetri

Genomgången tog rätt så lång tid, så den tematiska problemlösningsdelen blev rätt så kort. Några av eleverna påstod att de hade löst allting och fick därför extrauppgifter eller fyllde i utvärderingen tidigare. Vid närmare anblick såg jag att eleverna hade förhastat sig genom uppgifterna, missförstått några och bara trott att de hade löst det.

Nedan skriver jag några sätt som jag kunde syna lösningarna på.

1. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma. Hitta ett annat sätt.

samma_satt

Lärare: Man får endast skära längs med rutgränserna.

2. Observera att i samtliga fall är skärningslinjen symmetrisk kring kvadratens medelpunkt.
Således lönar det sig att rita länkarna två och två i motsatt läge. Börja vid kanten.

borjan

Bestäm vilka punkter som kan vara ändpunkter till en skärningslinje.
Försök att bestämma alla möjliga svar till uppgift 1.

Här var texten lite förvirrande (många svåra ord!), det var svårt för många att se att frågan egentligen kom efter bilden. Det var också svårt att tolka hjälpen för hur man skulle rita skärningslinjen. Jag tog en genomgång med några av eleverna hur man kan rita en sådan rotationssymmetrisk linje för att få en uppdelning.

Lärare: Kan man starta linjen på något annat ställe? Kan man ”gå” med linjen på olika sätt?

3. En kamomill-blomma har 12 kronblad. Under ett drag får man plocka antingen ett eller två intilliggande kronblad. Den som plockar det sista kronbladet vinner. Vem av spelarna, den som börjar eller den andra, kan vinna oavsett hur skicklig motståndaren är?

Lärare: Ni tror att ni vet vem som vinner? Låt oss spela! (Eleven får vara den spelaren, ettan eller tvåan, som de tror vinner.)

Då eleverna ibland trodde att man fick ta bort två blad, även om de inte satt bredvid varandra, gick deras strategi ut på det. Oftast vann jag, då de inte hade tänkt igenom sin strategi ordentligt, även om de hade fattat reglerna.

4. En turist måste promenera från ett tält till en lägereld samt hämta en hink vatten från en flod under promenaden (se bild).
Exakt vilken väg skall turisten välja för att den ska bli så kort som möjligt?

flod_biljard

Den här uppgiften hann jag inte diskutera med någon. Den är svår att formulera på ett bra sätt. Vad menas med ”exakt”? Som matematiker vet man vad som man underförstått kan konstruera (linjer genom givna och erhållna punkter till exempel). Men som barn räcker det kanske bara att rita för hand. Den ungefärliga lösningen blir ju ”bra nog”.

Ladda ner uppgifterna för utskrift

Utvärdering

Vi avslutade lektionen och terminen genom att fylla i en liten utvärdering. Följande frågor fick de svara på:

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):

1 2 3 4 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):

Ja Nej Kanske

Föräldrarna fick fylla i en utvärdering på nätet, men där har jag inte fått se svaren än.

Resultatet av utvärderingarna

Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så.

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

– Tävling 14

– Lyckas med att lösa svårare uppgifter och ha rätt

– Att lära mig nya sätt att lösa uppgifter 2

– Bra blandning av olika delar i matten (symmetri, schema mm)

– Samarbetsuppgifter 2

– När man löste ett problem genom att samarbeta med gruppen. Då blev vi stolta

– Problemlösning 4

– Att äta (3) och att göra uppgifter i små grupper 2

– Att vara med kompisar och räkna roliga uppgifter 2

– Lösa kluriga uppgifter 3

– Svår matte 2

– Läxorna/”förhören”

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

– Jobba i större grupper 2

– Långa tråkiga genomgångar och för komplicerade uppgifter

– Väldigt långa genomgångar 4

– Svåra uppgifter/uppgifter man inte förstod 3

– Lätta uppgifter 2

– Att det har varit så långt. Det kunde varit lite kortare

– Att inte få redovisa varje gång

– Inget/vet inte 9

– Att vissa fjantar sig under lektionerna

– Tävlingen – jag blir stressad …

– Göra tråkiga uppgifter

– Läxorna

– Kort rast

– Att ha fel 2

– Tävla och jobba

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 1
Betyg 3: 10
Betyg 4: 19
Betyg 5: 3

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 20
Nej: 0
Kanske: 13

Tankar efter terminen

Spontana tankar jag har efter de här fyra träffarna och efter att ha sett utvärderingarna är att det blev en väldigt lyckad start!

Såklart har inte allting varit perfekt, till exempel har de långa genomgångarna kanske inte gett så mycket som vi trodde. En idé jag får är att ha genomgångarna i små grupper, att man turas om att presentera uppgifterna inför 4-5 andra. Något att experimentera med nästa termin!

En annan tydlig sak är att eleverna älskade att tävla. Jag har tidigare skrivit om varför tävlingar engagerar så och får elever att prestera på topp. Nästa termin planerar jag att ha små tävlingar kanske var tredje träff. Om möjligt hoppas jag att vi kan få besök av en mattegrupp från en annan kommun, så att våra elever kan tävla mot varandra.

Kanske behöver nivån på uppgifterna sänkas något, jag har lätt för att dra upp svårighetsgraden onödigt mycket. Jag hoppas att andra lärare kommer kunna hjälpa mig med det, de har nu fått erfarenhet och uppfattning om vad som är lagom för högpresterande elever i den här åldern.

Jag vill tacka eleverna, föräldrarna, de andra lärarna, kommunen och matteinstitutionen för jätteroliga fyra träffar, och ser fram emot att fortsätta nästa termin!

Det är lätt att med experiment uppskatta volymer av olika tredimensionella kroppar: Exempelvis kan ett akvarium i from av en rätblock fyllas med vatten och sedan kan man mäta hur mycket vatten som gick åt. Samma kan göras med (ungefär) sfäriska behållare. Med matematik kan man bevisa att formeln för volymen av en tredimensionell boll är $\frac{4}{3}\pi R^3$ , vilket redan Arkimedes visade på den gamla goda tiden.

vatten_boll

Svårare är det när objekt har 4 eller fler dimensioner. Vi har inte längre några fysiska experiment vi kan göra, men för matematiken spelar det mindre roll hur många dimensioner det handlar om. Bollar i olika dimensioner är nämligen väldigt lika varandra om man tittar på dem med hjälp av ekvationer. Men låt oss börja från början.

Vad är en 1-dimensionell boll? Det är ju alla punkter på en linje, som ligger på ett givet avstånd från en given punkt eller närmare. Med andra ord, ett intervall. Om det givna avståndet, det vill säga radien, är lika med $R$ , så är intervallets längd lika med $2R$ . Det kan vi kalla formeln för volymen av en 1-dimensionell boll (väldigt fancy sätt att säga ”längd”).

En 2-dimensionell boll, som du säkert redan gissat, är en cirkel. På högstadiet (hoppas jag) lär man sig att cirkelns area är $\pi R^2$ om cirkelns radie är lika med $R$ . Volymen av en 2-dimensionell boll är således fastställd.

cirkel_area

Men hur räknar vi ut (hyper)volymen av en 4-dimensionell boll och hur definieras en sådan ens? Om vi ska fortsätta på samma sätt så måste vi definiera en $n$ -dimensionell boll på följande vis:

En $n$ -dimensionell boll med radie $R$ är ett område i $\mathbb{R}^n$ som innehåller alla punkter med koordinater $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ som uppfyller $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leq R^2$ .

Men hur ska vi ta reda på bollens volym? Genom att uttrycka den via de föregående volymerna! Volymen av bollen med radien $R$ i $n$ dimensioner, $V_n(R)$ , hänger nämligen ihop med volymen av bollen i $n-2$ dimensioner, $V_{n-2}(R)$ , på följande sätt:

$V_n(R)=\frac{2\pi R^2}{n}V_{n-2}(R)$

Detta bevisas genom att man ”delar upp” $n$ -bollen i $(n-2)$ -bollar (exempelvis den vanliga tredimensionella bollen kan ses som en massa vertikala streck) och sedan beräknar en dubbelintegral.

Formeln räcker, eftersom vi känner till volymerna för $n=1$ och $n=2$ , alltså kan vi konstruera formlerna för alla högre $n$ också.

$V_3(R)=\frac{2\pi R^2}{3}V_1(R) = \frac{2\pi R^2}{3}2R = \frac{4\pi R^3}{3}$ , som vi har sett tidigare.

Hyperbollen då?

$V_4(R)=\frac{2\pi R^2}{4}V_2(R) = \frac{2\pi R^2}{4}\pi R^2 = \frac{{\pi}^2 R^4}{2}$

Fler dimensioner? Från rekursionen deducerar vi en formel för udda dimensioner och en för jämna:

$V_n(R) = \frac{2^{\frac{n-1}{2}}\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot n}$ om $n$ är udda och

$V_n(R) = \frac{2^{\frac{n}{2}}\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot n}$ om $n$ är jämnt.

Vad beräknas volymen till då om radien antas vara 1? Vi får följande tabell:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Volym, ca	2	3,14	4,19	4,93	5,26	5,17	4,72	4,06	3,30	2,55	1,88	1,34	0,91	0,60	0,38

Volymen går upp först men sedan verkar den gå det mot noll! Det intressanta är att trots att den 5-dimensionella bollen har störst volym av alla här, så är den egentligen inte så speciell. Om vi ändrar radien blir det någon annan dimension som ger en boll med störst volym (testa själv med hjälp av formeln, vid radie 1,29 är det istället den 9-dimensionella bollen som har störst volym.)

Det verkar lite skumt att volymerna går mot 0, men om man ser på formeln, så innehåller den exponentiella funktioner i täljaren, men i princip fakulteter i nämnaren. För stora tal dominerar fakulteterna alltid, alltså går kvoten mot 0 (och växer i början, för små $n$ , då fakulteterna inte än börjat ”ta fart”).

Ett annat sätt att tänka på det är att för att ekvationen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 = R^2$ ska vara uppfylld för stora $n$ måste många av talen $x_i$ vara nära 0. Exempelvis ligger punkten $(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\ldots,\frac{1}{\sqrt{n}})$ på bollens yta och alla de koordinaterna närmar sig 0 när $n$ växer.

Texten ovan är baserad på följande artikel på engelska, som även innehåller beviset för rekursionsformeln. Stort tack!

Etikett: volym

Fjärde träffen med Matteklubben, åk 5-6