Vektorrum

Vad är det? Ett rum där vektorerna bor, såklart! Vill man veta vad som försigår där, så kan man lyssna på låten Tänk om jag vore en skalärprodukt.

Men om man ska vara matematiskt petig, så är vektorrum en mängd med vektorer, där diverse räknelagar för dem är uppfyllda.  Vi kan tänka på vektorer som förflyttningar: det viktigaste är inte var vi startar utan hur långt vi har förflyttat oss och åt vilket håll. 

Låt oss säga att vi startar i origo i vårt vektorrum. Vi försöker förflytta oss med hjälp av alla möjliga vektorer tillgängliga.  Som till exempel en enkel robot som vi styr genom en labyrint,  den kan bara få instruktioner ”ett steg åt höger”, ”ett steg åt vänster”, ”ett steg uppåt”, ”ett steg neråt”. På samma sätt får vi instruktionerna ur mängden av vektorer, varje vektor är en instruktion till oss.  Axiomen säger då att vi på så sätt inte ska kunna hoppa ur vektorrummet helt plötsligt om vi går med hjälp av instruktionerna.

Det finns dock extra saker som vi kan göra. Vi får nämligen själva bestämma hur långt vi kan gå åt varje håll som ges åt oss. Säg till exempel, att vi får vektorn som pekar ”diagonalt-uppåt-höger”. Då kan vi gå jättelångt diagonalt, men också jättekort. T.ex. ett pyttelitet steg diagonalt, eller till och med inget steg alls.

Nu kan vi till och med formulera vad det betyder att vektorer spänner upp nånting. Vektorerna spänner upp ett underrum (en del av ett vektorrum) som består av alla punkter vi kan komma fram till om vi startar i origo (med hjälp av instruktioner från föregående stycken). T.ex. robotvektorerna spänner upp en hel labyrint, för att roboten kan komma fram överallt (om det är en snäll labyrint).

4 reaktioner till “Vektorrum”

  1. En fråga på detta bara. Går det att geometriskt förklara ett vektorrum? Det är väl ingenting som har någon typ av volym eller area?

    En sak till, kan inte du gå igenom hela ”anton” och förklara alla begrepp så där som du gör. Det är väl inte så mycket begärt. Vad kan det ta.. 1, 2 timmar kanske….

  2. De vektorrum som man kan föreställa sig geometriskt är oftast oändliga. De exemplen som bäst återspeglar begreppet är ju en linje eller ett plan eller ett 3-dimensionellt universum. Dessa har då ingen volym eller så. På samma sätt som att tallinjen inte har någon längd (eller snarare, längden är oändlig).

    Tja du :) Att förklara bara ett begrepp på det bästa möjliga sättet kan ta 1, 2 timmar. Men visst kan jag börja nånstans. Vilket begrepp tycker du behöver förklaras mest?

Lämna ett svar

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.

© 2009-2024 Mattebloggen