Vektorrum

Vad är det? Ett rum där vektorerna bor, såklart! Vill man veta vad som försigår där, så kan man lyssna på låten Tänk om jag vore en skalärprodukt.

Men om man ska vara matematiskt petig, så är vektorrum en mängd med vektorer, där diverse räknelagar för dem är uppfyllda.  Vi kan tänka på vektorer som förflyttningar: det viktigaste är inte var vi startar utan hur långt vi har förflyttat oss och åt vilket håll. 

Låt oss säga att vi startar i origo i vårt vektorrum. Vi försöker förflytta oss med hjälp av alla möjliga vektorer tillgängliga.  Som till exempel en enkel robot som vi styr genom en labyrint,  den kan bara få instruktioner “ett steg åt höger”, “ett steg åt vänster”, “ett steg uppåt”, “ett steg neråt”. På samma sätt får vi instruktionerna ur mängden av vektorer, varje vektor är en instruktion till oss.  Axiomen säger då att vi på så sätt inte ska kunna hoppa ur vektorrummet helt plötsligt om vi går med hjälp av instruktionerna.

Det finns dock extra saker som vi kan göra. Vi får nämligen själva bestämma hur långt vi kan gå åt varje håll som ges åt oss. Säg till exempel, att vi får vektorn som pekar “diagonalt-uppåt-höger”. Då kan vi gå jättelångt diagonalt, men också jättekort. T.ex. ett pyttelitet steg diagonalt, eller till och med inget steg alls.

Nu kan vi till och med formulera vad det betyder att vektorer spänner upp nånting. Vektorerna spänner upp ett underrum (en del av ett vektorrum) som består av alla punkter vi kan komma fram till om vi startar i origo (med hjälp av instruktioner från föregående stycken). T.ex. robotvektorerna spänner upp en hel labyrint, för att roboten kan komma fram överallt (om det är en snäll labyrint).