Linjär avbildning

Rolig matte?

Jag ska försöka reda ut begreppet linjär avbildning. Det är trots allt det linjär algebra i stort sett handlar om.

För det första är linjär avbildning synonymt begrepp med linjär transformation, och båda varianterna används flitigt. Detta tyder på att det är något aktivt som sker, någonting avbildas eller någonting transformeras.

Något förändras helt enkelt. Men inte hur som helst!

För att ta exempel ur vardagen: att ta ett foto på ett vackert landskap är en linjär avbildning från naturen till kameraskärmen. Tänk dig att en linje dras mellan varje pixel och motsvarande “punkt” i naturen. På något sätt kan vi tänka oss att det är en jämn och regelbunden hopknutning av linjer.

linjar_avbildning

En avbildning som däremot inte är linjär är när någon ritar skämtteckning föreställande dig. Den är ju helt fel! Försöker man tänka sig linjer på samma sätt som i förra exempel, så blir de huller om buller.

inte_linjar_avbildning

Det är därför just linjära avbildningar studeras så mycket, dels för att de är vackra och regelbunda, dels för att de är (just därför) mycket enklare än godtyckliga transformationer.

Nu till seriösa avbildningar. Den formella definitionen för att F skall vara en linjär avbildning är att den uppfyller två saker:

F(a\cdot\vec{v})=a\cdot F(\vec{v})

Detta betyder att en linjär avbildning bevarar förhållanden mellan punkter, som ligger på en och samma linje utgående från origo. Som jag ritade linjerna på bilden med landskap så menade jag att origo skulle vara i övre vänstra hörnet. Dra en “origolinje”, till exempel linjen som går från hörnet genom den högsta bergstoppen och in i solen. Det här villkoret säger oss att avståenden från hörnet till toppen och från hörnet till solen förhåller sig på samma sätt (med samma faktor) både i den lilla och i den stora landskapsbilden.

F(\vec{v}+\vec{u})=F(\vec{v})+F(\vec{u})

Det andra villkoret är lite svårare att förklara med en bild. Här ska man föreställa sig en massa vektorer (utgående från origo). Det måste alltid gälla att när vi tar två sådana vektorer och kollar på vad de avbildas på, så blir de två nya vektorer som dock också utgår från origo. Tar man summan av de ursprungliga två och summan av de senare två så ska dessa resultat hänga samman med precis samma avbildning. Det vill säga första summan avbildas på den senare summan.

Linjära avbildningar är mycket mer generella grejer än det först verkar. Det beror på att så kallade vektorer är väldigt generella objekt i sig. De behöver inte vara “pilar i planer” eller “pilar” överhuvudtaget. Vektorer kan vara matriser, funktioner, tal, … katter (om man vet hur man summerar två katter för att få en annan katt, samt hur man multiplicerar katter med skalärer).

Därför är det rätt svårt att kolla om villkoren 1 och 2 stämmer geometriskt. Oftast får man avbildningen genom en formel och då är det bara att “stoppa in” och visa att vänsterledet är lika med högerledet för att möjliga indata (vektorer) och skalärer (konstanter) a.

Det finns många kända exempel på linjära transformationer som är bra att känna till. Att derivera funktioner är ett sådant exempel (slå upp deriveringreglerna och hitta två av dem som liknar våra villkor väldigt mycket). Att integrera funktioner är ett annat. Att multiplicera med en fixerad matris är en linjär avbildning också och många avbildningar representeras just på det sättet.

Sist, men inte minst, kommer lite linjära avbildningar från planet till sig självt:

linjar_avbildning11

linjar_avbildning31linjar_avbildning21

Här ligger origo alltid i “ursprungliga övre högra hörnet”, det vill säga det hörnet där solen är närmast.

2 reaktioner till “Linjär avbildning”

  1. I definitionen på vad en linjär avbildning är, så ingår det också att det ska vara en funktion från ett vektorrum till ett annat. Ett vektorrum kan (ganska grovt sett) ses som saker som man kan addera med varandra och multiplicera med skalärer (enligt vissa regler, kanske något för en kommande update?). Linjära avbildningar är då funktioner som bevarar den strukturen, det gör detsamma om man adderar saker och sedan applicerar funktionen eller applicerar funktionen och sedan adderar (och samma för skalärmultiplikation).

Kommentera