Mattecirkel: lektion i lådprincipen


Vår mattecirkel tuffar på vidare. Den är fortfarande med Anna, men eftersom jag tänkte skriva lite fiktion här, så skriver jag inte ut det i titeln.

För nyligen läste jag i en klok bok om hur man lär ut induktion. Bland annat fanns en påhittad dialog mellan en elev och en lärare där bådas tankegångar var klara. Man kunde se vanliga tankefel hos eleven och hur man kunde sätta eleven på rätt tankespår genom ledande frågor.

Den senaste gången handlade vår lektion om lådprincipen, som är även känd under namnet Dirichlets princip. Här är några av problemen som löstes:

1. a) Bland 22 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Visa att de finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida.
b) Bland 21 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Kan man vara säker på att det finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida?

2. Det finns 15 små hål i en maläten matta 4×4 m. Visa att man kan klippa ut en liten matta  av storlek 1×1 som är utan hål eller med ett hål på kanten.

3. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

Och här är ett (!) utav möjliga scenarion för en genomgång om lådprincipen.

Läraren: Tänk på följande problem. I en kasse ligger vita och svarta strumpor. Hur många strumpor måste man som minst ta upp ur kassen (om man måste dra på måfå) för att garanterat få upp två strumpor av samma färg?

Eleven: Det måste ju vara 3 strumpor! Har vi maximalt otur kommer de första två strumporna vara av olika färger. Men då måste den tredje ha samma färg som nån av de första två. Så minsta antalet är 3 strumpor.

Läraren: Helt rätt! Men var försiktig med vad du menar med “maximal otur”. Till exempel, att först dra upp en vit strumpa och sedan en svart eller lika mycket otur som att först dra upp en svart strumpa och sedan dra upp en vit. Och i uppgiften är det inte viktigt att få upp strumporna så snabbt som möjligt, utan vara säker på att dra upp två lika för ett visst antal.

Nästa fråga: I en studentkorrior på 5 rum bor 6 personer. Visa att det finns ett rum med minst två personer.

Eleven: Enkelt! Sätter man in 1 person i varje rum så blir det 1 över och då måste den personen flytta in i något rum där det redan finns nån!

Läraren: Men varför måste det vara minst 1 person i varje rum, det stod det inget om i villkoren?

Eleven: Nej, ok, men det var det sämsta möjliga fallet.

Läraren: På sätt och vis är väl alla fallen “sämst” hur vi än gör, det blir ju minst 2 personer i något rum i alla fall? Varför skulle vi inte kunna omplacera personerna på något smart sätt så att det inte behöver vara 2 eller fler i något rum?

Eleven: Men det går ju inte! Om något rum blir tomt, så måste det bli fler med ett annat!

Läraren: Men nu utgår du ändå från att du först placerar in 1 person i varje rum.

Eleven: Ok, jag börjar om från början. Om det är 0 eller 1 personer placerade i varje rum, så räcker inte rummen till för 6 personer.

Läraren: Precis! Nu har du i stort sett bevisat lådprincipen. Om det finns n stycken rum och fler än n personer, och personerna bor i rummen, så måste något rum ha minst 2 personer. Eller, i en mer välkänd version:

Om n lådor innehåller minst n+1 duvor, så innehåller någon låda minst 2 duvor.

Bevis är precis som i problemet. Om varje låda skulle innehålla maximalt 1 duva, skulle n lådor maximalt innehålla n duvor. Motsägelse.

Lektioner fortsätter på liknande sätt och problemen ökar i svårighetsgrad. Problem nummer 2 skulle kunna vara följande:

I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

Oftast är det bra att poängtera när man går igenom lösningen vad som är lådor och vad som är duvor. Det är inte så självklart i problemen från utdraget ovan. Notera också att man oftast drar igenom beviset för lådprincipen varje gång istället för att bara citera den. Det är essentiellt för förståelsen av principen.

Kommentera