Klassiska bevis: Monges sats


Om du precis har börjat intressera dig för matematik, då säger jag grattis! Du kommer att bli fascinerad av problem, teorier och bevis många gånger!

Det är inte lika lätt om man fått matematiken serverad på ett guldfat sedan barnsben (eller tonårsben). Ju längre tid som går, desto mer måste man lära sig för att bli imponerad av något nytt tankesätt. Men som pris får man oftast upptäcka något ännu mer fascinerande än förra gången.

Ett av de här tillfälen var jag med om när jag för första gången besökte Uppsala. Det var någon gång vid årsskiftet 2001/2002 och jag gick i ettan på gymnasiet och kunde förstås inte så mycket om universitetsmatematik. Vilket i och för sig inte behövs för historien. Men snart får ni se hur allt ändå hänger ihop.

Vi fick sitta i ett klassrum och en matematiker berättade följade problem för oss.

Tre olika cirklar ligger i planet och de skär inte varandra (och ligger inte inuti varandra heller). För varje par av cirklar dra två linjer, som tangerar båda två cirklarna. Om cirklarna är olika stora, kommer dessa två linjer att skära varandra. Frågan är nu: kommer de tre erhållna skärningspunkterna att ligga på samma linje?

monge

Det visar sig att de måste. Försök att lösa problemet med den geometrin du kan. Det verkar vara svårt att visa, genom att bara rita linjer och bestämma vinklar i planet.

Däremot finns en elegant lösning, som använder sig utav en tredje dimension!

Varför och hur?

Det är en väldigt imponerande idé, att gå högre upp än vad som verkar behövas. Om problemet inte kan lösas, så skall man försöka att titta på det ur en annan synvinkel. Men oftast ligger svårigheten i att välja rätt synvinkel.

Just att gå upp i högre dimensioner visade sig vara nyttigt även i andra vetenskaper. Mycket förklarades av insikten om att jorden är sfärisk, extra dimensioner behövs för att strängteorin skall hålla. Även min forskning handlar om att förstå enklare strukturer genom att titta på de mer kompilcerade. Men hur hjälper den tredje dimensionen i vårt problem?

Föreställ er att det inte är cirklar, utan klot som ligger på ett plant papper, då ser det hela precis ut som på bilden om vi kollar uppifrån. Linjerna är fortfarande linjer, men i rymden kan vi faktiskt konstruera oändligt många linjer som är gemensamma tangenter till två av kloten. Alla dessa gemensamma tangenter bildar en kon, som har sin spets i papprets plan. Spetsen är då även skärningspunkten för de ursprungliga två linjerna.

Men om det finns tre kulor, så är det inte bara så att alla kan läggas på ett papper, vi kan lägga ett plant papper ovanpå dem också! Det pappret tangerar alla kloten, och det har lika mycket rätt att innehålla konspetsarna som det undre planet hade.

Således finns konspetsarna, det vill sägga de erhållna tre punkterna i båda planen. Och två plan skär varandra i en linje! Alltså ligger punkterna på en och samma linje.

Nu kan vi alltså glömma bort hela tredje dimensionen-grejen. Vi har visat att de tre punkterna ligger på samma linje i det tvådimensionella planet.

Här kan ni även titta på en film som illustrerar lösningen.

Kommentera