Vad är ett fullständigt bevis?

När man löser ett riktigt matematiskt problem räcker det inte att presentera svaret. Du måste presentera lösningen också, det vill säga hur du kom fram till svaret. Ibland har inte problemet något svar, utan du skall bevisa att något påstående är sant. Hur vet man att beviset är fullständigt? Ett sätt är att berätta beviset för en kompis. Om du övertygar denne om att du har bevisat det du skulle, så är ditt resonemang antagligen korrekt. Ett annat sätt är att själv försäkra sig om att man inte glömt att undersöka några möjligheter.

På vår mattecirkel får vi träna båda sätten! På en vanlig träff får man berätta lösningen för läraren och sedan få eventuella förtydligande frågor. På den första matteträffen denna termin körde vi dessutom tävlingen där deltagarna fick berätta lösningar för varandra. Denna tävling kallas mattedrabbning och man lär sig otroligt mycket på att både försöka övertyga motståndaren om att man har löst problemet rätt och, när man spelar opponentens roll, försöka fälla motståndaren med kluriga frågor.

Ta en titt på vår första lektion under fliken Cirkel.

Har du någon att diskutera problemen med, försöka att uttnyttja det. Du och den personen kommer lära er mycket om att resonera. Om du vill ha fler att prata matte med, och går eller tänker gå på Katedralskolan i Uppsala, välkommen på vår cirkel!

Inför IMO 2010

imoHärmed vill jag gratulera min mattecirkelelev, Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg, för att han har blivit utvald till det svenska laget i tävlingsmatematik!

Tillsammans med 5 andra gymnasister kommer han att representera Sverige i den 51:a Internationella Matematikolympiaden (IMO) i Kazakhstan. IMO är en årlig tävling för hela världens ungdomar och går ut på att eleverna ska lösa 6 problem under två tävlingsdagar. Det är då rätt så svåra problem, här kan ni se förra årets.

Det är riktigt roligt att ännu en av mina elever har blivit utvald till en av de 6 bästa i Sverige. Jag önskar honom lycka till på tävlingen (och jag kommer träna honom inför den så mycket som möjligt)!

Mattecirkel på Katedralskolan i höst

Jag är glad att annonsera nyheten: det kommer hållas en matematikcirkel för intresserade gymnasieelever i höst! Som bas kommer jag att ha Katedralskolan i Uppsala (alternativt rektorsvillan), men elever från alla skolor är givetvis välkomna.

Detta har jag sett fram emot länge. Det som börjar i höst är dock på lite högre nivå än högstadiet och kanske med mer vikt på tävlingsproblem. Mattecirkeln ska kunna förbereda eleverna för Skolornas Matematiktävling, SMT.

Cirkeln välkomnar eleverna i årskurs 1-3 och även nyfikna 9:or. Man behöver inga förkunskaper än högstadiematte och cirkeln kommer inte att ta upp så mycket av skolmaterialet (Matte A, B osv). Uppgifterna som kommer att tas upp liknar snarare gåtorna på den här bloggen.

Vi drar i gång ungefär i mitten av september! Jag återkommer med mer information.

Mattecirkel: lektion i logik

Första mötet med matematisk logik är för många påståendet “Jag ljuger”. Det är förstås en paradox, eftersom någon som talar sanning,  kan inte påstå att han ljuger. Och tvärtom, någon som ljuger, kan inte tala sanning om det. (Egentligen menas påståendet “Jag ljuger just nu” här.)

Sådana här logikkluringar är perfekta för nybörjare i matematik. Det är klart och  tydligt att någonting antingen kan vara falskt eller sant. Därför är uppgifterna nedan väldigt bra exempel på hur matematiker i allmänhet resonerar. Man lär sig vad matematiskt “eller” och “implikation” betyder som en del av språket för bevisredovisning och inte som formella symboler.

Dessutom har logikuppgifter fördelen att deras formuleringar inte alls låter som matte. De ges med fördel till barn som har matteallergi. Berätta då inte att det är matematik innan de satt igång!

Exempel på problem från mattecirkeln:

1. Magdas katt nyser alltid ett dygn före regn. Idag nös katten. “Det kommer regna imorgon”, tänkte Magda. Har hon rätt?

2. `Kristian har fler än 1000 böcker”, sade Bodil.
“Nej, han har mindre än 1000 böcker“, sade Calle.
”Minst en bok har han säkert“, sade Emil.
Om bara ett av påståenden är sant, hur många böcker kan Kristian ha?

3. En gång blev Robinson tillfångatagen av en vild stam. Deras hövding sade: ”Enligt seden måste du uttala ett påstående. Om det blir sant ska vi äta upp dig. Om det blir osant ska vårt tama lejon äta upp dig.“ Vad måste Robinson säga?

4. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! “ ”I vilken stad brinner det? “ ”I Turmö “. Till vilken stad skall brandkåren?

Mattecirkel: lektion i lådprincipen

Vår mattecirkel tuffar på vidare. Den är fortfarande med Anna, men eftersom jag tänkte skriva lite fiktion här, så skriver jag inte ut det i titeln.

För nyligen läste jag i en klok bok om hur man lär ut induktion. Bland annat fanns en påhittad dialog mellan en elev och en lärare där bådas tankegångar var klara. Man kunde se vanliga tankefel hos eleven och hur man kunde sätta eleven på rätt tankespår genom ledande frågor.

Den senaste gången handlade vår lektion om lådprincipen, som är även känd under namnet Dirichlets princip. Här är några av problemen som löstes:

1. a) Bland 22 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Visa att de finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida.
b) Bland 21 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Kan man vara säker på att det finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida?

2. Det finns 15 små hål i en maläten matta 4×4 m. Visa att man kan klippa ut en liten matta  av storlek 1×1 som är utan hål eller med ett hål på kanten.

3. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

Och här är ett (!) utav möjliga scenarion för en genomgång om lådprincipen.

Läraren: Tänk på följande problem. I en kasse ligger vita och svarta strumpor. Hur många strumpor måste man som minst ta upp ur kassen (om man måste dra på måfå) för att garanterat få upp två strumpor av samma färg?

Eleven: Det måste ju vara 3 strumpor! Har vi maximalt otur kommer de första två strumporna vara av olika färger. Men då måste den tredje ha samma färg som nån av de första två. Så minsta antalet är 3 strumpor.

Läraren: Helt rätt! Men var försiktig med vad du menar med “maximal otur”. Till exempel, att först dra upp en vit strumpa och sedan en svart eller lika mycket otur som att först dra upp en svart strumpa och sedan dra upp en vit. Och i uppgiften är det inte viktigt att få upp strumporna så snabbt som möjligt, utan vara säker på att dra upp två lika för ett visst antal.

Nästa fråga: I en studentkorrior på 5 rum bor 6 personer. Visa att det finns ett rum med minst två personer.

Eleven: Enkelt! Sätter man in 1 person i varje rum så blir det 1 över och då måste den personen flytta in i något rum där det redan finns nån!

Läraren: Men varför måste det vara minst 1 person i varje rum, det stod det inget om i villkoren?

Eleven: Nej, ok, men det var det sämsta möjliga fallet.

Läraren: På sätt och vis är väl alla fallen “sämst” hur vi än gör, det blir ju minst 2 personer i något rum i alla fall? Varför skulle vi inte kunna omplacera personerna på något smart sätt så att det inte behöver vara 2 eller fler i något rum?

Eleven: Men det går ju inte! Om något rum blir tomt, så måste det bli fler med ett annat!

Läraren: Men nu utgår du ändå från att du först placerar in 1 person i varje rum.

Eleven: Ok, jag börjar om från början. Om det är 0 eller 1 personer placerade i varje rum, så räcker inte rummen till för 6 personer.

Läraren: Precis! Nu har du i stort sett bevisat lådprincipen. Om det finns n stycken rum och fler än n personer, och personerna bor i rummen, så måste något rum ha minst 2 personer. Eller, i en mer välkänd version:

Om n lådor innehåller minst n+1 duvor, så innehåller någon låda minst 2 duvor.

Bevis är precis som i problemet. Om varje låda skulle innehålla maximalt 1 duva, skulle n lådor maximalt innehålla n duvor. Motsägelse.

Lektioner fortsätter på liknande sätt och problemen ökar i svårighetsgrad. Problem nummer 2 skulle kunna vara följande:

I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

Oftast är det bra att poängtera när man går igenom lösningen vad som är lådor och vad som är duvor. Det är inte så självklart i problemen från utdraget ovan. Notera också att man oftast drar igenom beviset för lådprincipen varje gång istället för att bara citera den. Det är essentiellt för förståelsen av principen.

Mattecirkel med Anna: lektion 2

Här är ett smakprov av vår andra lektion, som handlar om att väga saker på en balansvåg och avgöra om de är lätta, tunga, falska etc. Här nedan ser ni några av lektionens svåraste problem. 

lektion2

Nu kan man försöka analysera vad det är egentligen som lärs ut på mattecirkeln. På sätt och vis är lektionerna mycket mer lika spel än någon annan undervisningsform. Mycket görs på egen hand och man “levlar” när problemernas svårighetsgrad ökar. Samtidigt används det man samlade på sig under tidigare “levels” (lättare problem).

En bra lektion lär ut idéer. Den här lektionen lärde inte ut någon specifik idé, utan var en härlig blandning av olikheter, informationsteori, falluppdelning och kombinatorik. Som inte i sig är metoder, utan just idéer till lösningar. Jag avslutar med ett citat:

What is the difference between method and device? A method is a device which you used twice.

–George Pólya, “How to solve it”

Mattecirkel med Anna: lektion 1

Jag har precis börjat mattecirkeln med Anna, en elev som nu går i nian i Uppsala.

Det är många som frågat mig vad “mattecirkel” egentligen betyder, för det känns kanske lite dumt att kalla någonting för “cirkel” när bara två personer träffas. Men jag väljer det namnet av en gammal vana, och för att det är en sorts studiecirkel oavsett hur många som kommer.

Mattecirklar är en gammal tradition i Ryssland och en ganska ny i Sverige. I de flesta fall är det träffar med några stycken elever, som kan ungefär lika mycket matte, och en lärare. Varje sådant tillfälle tar 1-2,5 timmar, lite beroende på elevernas åldrar.

Dessutom för att få lite struktur på det hela brukar lektionerna ha en genomgående tema. Kanske att det handlar om trianglar eller kanske om induktionsprincipen. Målet är att eleven ska förstå en viss idé och prova lite på tekniken genom att lösa problem ur en lista.

Här är lite smakprov vad Anna sysslade med i lördags, temat var “Uppskatta och ge exempel”. Alla problem kräver förstås förutom svar också motivering. Vill ni ha fler problem från lektionen (de nedan är de lättaste), så är det bara att maila till mig eller skriva i kommentarerna.

lektion1

Att bevisa

Idag startar min nya mattecirkel. Det är förvisso bara en elev i den än så länge, men jag kallar det hela mattecirkel i alla fall av en gammal vana. Mina mattecirklar brukar innehålla sådana problem som inte förekommer i vanliga skolan, utan snarare i matematiktävlingar, som HMT.

Det är svårt men ganska spännande att introducera någon till matematikvärlden. Vilka områden skall man lära sig mer om först av allt? Vilka problemlösningstekniker?

Det mest essentiella i matematikstudier är att kunna avgöra vad som är ett bevis eller inte. Sedan så småningom får man intuition för vad som är tillräckliga bevis eller inte. Till exempel blir studenter ganska ofta osäkra på ifall de kan anta ett visst påstående i kursboken eller om man ska visa påståendet. Eller hur många Gausseliminationer måste man redovisa för att uppgiften inte ska få avdrag?

Allt detta beror på i princip på erfarenhet, och man lär sig att avgöra sådana frågor efter några månader eller något år.

Hur började du med matematiken? Vilka bevis förstod du först av allt?

(Passande förresten att starta en mattecirkel på pi-dagen :) Grattis alla!)

Mattecirkel i Uppsala

Högstadiets matematiktävling 08/09 har precis avslutats och jag gratulerar vinnaren, Lien Tran från Rödabergsskolan i Stockholm! Här kan ni se på problemen för övrigt. Några elever från min kära residens Uppsala deltog också, de går förmodligen i åttan eller nian just nu. Det jag vill är att dra igång något med dem och andra intresserade, något som kallas mattecirkel!

En gång i tiden var jag en ny student i Uppsala, men ganska erfaren om tävlingsmatte (med andra ord rolig matte). Jag och min far upptäckte att en högstadieelev var intresserad av extramatte efter att ha deltagit i tävlingen Mattekvadraten, Peter Zarén hette han. Det sällsynta intresset finns, därför är vår uppgift att tillgodose den. Sagt och gjort, jag började åka till Balderskolan en gång i veckan och berätta för Peter och hans klasskamrat Magdalena om grundläggande logik, primtal, lådprincipen och så vidare. (Efteråt tog jag en superbillig pizza eller falafel på ett ställe på Dragarbrunngatan i närheten. Där har de rivit nu och byggt UNT-lokaler tror jag.)

När Peter började nian bytte vi till privatlektioner istället. Det var svårt att hitta någon på hans nivå i Uppsala, för han läste mycket på egen hand också. Så småningom, när jag fick amanuenstjänst och svårare kurser att klara av, fick han istället åka till Stockholm till min fars mattecirkel. Vi kan vara rätt stolta tycker jag, för nyligen fick jag reda på att Peter har kommit in på matematikutbildningen i Cambridge!

Men det är alltid roligare när man är fler. Jag tycker att den sociala biten är lika viktig som matematikbiten – man får tillfälle att träffa likasinnade och diskutera matte och annat. Får jag tillräckligt många intresserade, så skulle jag föredra att samlas på universitetsområdet. Det blir omväxling för eleverna mot att vara på skolan, dessutom tyckte jag själv att det var lite häftigt att hänga i universitetshusen när jag var mellan- och högstadieelev.

Så sprid detta till alla mattenyfikna elever ni träffar på och kontakta mig!