Lösning till problem vecka 23


En tärning låg på bordet. Den flyttades ett steg i taget genom att rullas över på en ny sida (som gränsade till sidan som nyss var i kontakt med bordet). Till slut hamnade tärningen på samma plats som i början med samma sida uppåt. Kunde den översta sidan vrida sig 90 grader i förhållande till startläget?

Svar:

Nej, det kunde den inte.

Lösning:

Låt oss beteckna kubens hörn med A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 (sidan A_1B_1C_1D_1 ligger precis under sidan ABCD). Föreställ er att finns en liten tetraeder ACB_1D_1 som är gjord av ett annat material. Vi kommer att följa den tetraederns position allt eftersom tärningen rör sig.

Om tärningen rullas över en gång, kommer tetraedern befinna sig i samma läge som BDA_1C_1 hade från början, fast parallellfärflyttad. Och vice versa, BDA_1C_1 avbildas på en parallellförflyttning av tetraedern ACB_1D_1.

För att tärningen ska komma tillbaka tillsamma ruta, måste den rullas ett jämnt antal gånger (föreställ er ett schackbräde på bordet, då byter rutan färg efter varje steg). Det innebär att den annorlunda tetraedern kommer att avbildas på sig själv.

Men om den översta sidan vrids 90 grader, så avbildas sidan AC på sidan BD, men den sistnämnda ligger utanför tetraedern av annorlunda material. Motsägelse.

Kommentera