Mattebloggen

Cirkelkonstruktion (Davids lösning):
Låt B vara mittpunkten i cirkeln c. Drag sträckan AB. Låt X vara punkten där AB skär c. Rita en cirkel med mittpunkt i A och som går genom X. Jag vill visa att denna cirkel tangerar c. De har ju en gemensam punkt X, så jag vill visa att de inte har någon annan gemensam punkt.

Antag att de har en annan gemensam punkt Y. Då finns det två sätt att gå från A till B: via X (vägens längd är |AX|+|XB|) eller via Y (vägens längd är |AY|+|YB|). AX och AY är radier i vår konstruerade cirkel, alltså |AX|=|AY|. XB och YB är radier i c, alltså |XB|=|YB|. Alltså |AX|+|XB|=|AY|+|YB|. Men när vi går via X följer vi en rät linje enligt vår konstruktion, så ingen annan väg från A till B kan vara lika kort. Vilket motsäger att vägen via Y är lika kort. En motsägelse som visar att vår cirkel och c har en och endast en gemensam punkt, alltså tangerar de varandra.

Cosinussumman (Skäggets lösning):
Vi börjar med att konstatera att ett parallellogram är ett specialfall av en parallelltrapets, så vi visar bara att en fyrhörning är antingen cyklisk eller en parallelltraptes om summan av cosinus av vinklarna är 0.

Låt oss kalla vinklarna i vår fyrhörning för A, B, C och D (med ordningen än så länge godtycklig).

Vi vet att summan av vinklarna i en fyrhörning är 360 grader, och vi kommer använda följande identitet för cosinus:

Vi antar nu att summan av cosinus av alla vinklar är noll, det vill säga:

Vi vet att D = 360 – A – B – C, samt att cos (180 – X) = – cos X. Detta ger oss:

Lås oss anta att cos (A + B)/2 är skiljt från 0. Då får vi:

Eftersom C och D är godtyckliga kan vi ignorera vårt +/- i högerledet, och vi får:

Vi får alltså att ifall cos (A + B)/2 är nollskiljt så kommer A,D och B,C vara par av supplementära vinklar.

Vi noterar att cos (A + B)/2 = 0 implicerar att (A + B)/2 = 90 eller 180, och alltså att A + B = 180 (ty A + B + C + D = 360, och alla vinklar är positiva, så A + B = 360 är ingen möjlighet).

Med andra ord, tar vi två godtyckliga vinklar i vår fyrhörning och kallar dem A och B, då gäller att A + B = 180 eller så är A + D = 180, där D är någon annan vinkel. Alltså är vi garanterade att vinklarna i vår fyrhörning är parvis supplementära.

Vi får två möjligheter, att intilliggande vinklarna är supplementära eller att motstående vinklar är det. Ifall de är intilliggande får vi att två sidor i vår figur är parallella, och vi har alltså en paralleltrapets. Och ifall motstående vinklar i en fyrhörning är supplementära, då är fyrhörningen cyklisk.

Sammanfattningsvis har vi alltså funnit att om summan av cosinus av alla vinklar är 0, då gäller att antingen så är varje vinkel supplementär till en intilliggande vinkel (och då är fyrhörningen en parallelltraptes) eller så är motstående vinklar supplementära (och där är fyrhörningen cyklisk), vilket skulle bevisas.